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圆的一般方程.ppt6


4.1.2

圆的一般方程

课本121页 课本121页 121

复习引入
下列方程表示什么图形

1、(x-1)2+(y+2)2=4

以(1, -2)为圆心 ,以 2为半径的圆 为圆心 为半径的圆 配方
2、x2+y2-2x+4y+1=0 3、x2+y2+4x+6y+13=0

(x-1)2+(y+2)2=4 (x-2)2+(y+3)2=0 (x-1)2+(y+1)2=-1

以(1, -2)为圆心 ,以 2为半径的圆 为圆心 为半径的圆 X=2 ,Y=-3.
4、x2+y2-2x+2y+3=0

表示点( , ) 表示点(2,-3)

不存在满足方程的解, 不存在满足方程的解,既不存在这样的点

新课探究: 新课探究:
方程x 在什么条件下表示圆? 方程 2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆? 在什么条件下表示圆

x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2

D? ? E? D2 + E 2 ? 4F ? ?x+ ? +? y+ ? = 2? ? 2? 4 ?
2 2

(1)当 )

D2 + E 2 ? 4F > 0

表示圆 时,表示圆,
D2 + E 2 ? 4F 2

? D E? 圆心 ? - , ? ? ? 2 2?
2 2

r=

表示点 (2)当 D + E ? 4 F = 0 时,表示点 )

? D E? ?- ,? ? ? 2 2?

(3)当 D 2 + E 2 ? 4 F < 0 时,不表示任何图形 )

练习
1、判断下列方程是否表示圆? 、判断下列方程是否表示圆?

(1) x + y +2by ? b = 0(b ≠ 0) x 2 + ( y + b) 2 = 2b 2
2 2 2

以(0,-b)为圆心,以 2 b 为半径的圆 , )为圆心,

(2) x + y ? 4 x ? 6 y + 13 = 0 2 2 ( x ? 2) + ( y ? 3) = 0 x = 2, y = 3
2 2

(3) x + y ? 4 x ? 6 y + 15 = 0
2 2

表示点( , ) 表示点(2,3)
2 2

( x ? 2) + ( y ? 3) = ?2 不表示任何图形

2、方程 x + y +ax +2ay +2a +a?1= 0 表示的图形是一个圆, 的取值范围. 表示的图形是一个圆,求a的取值范围. 的取值范围
2 2 2

解:∵D2+E2-4F>0 ∴a2+4a2-4(2a2+a-1)>0 整理得 3a2+4a-4<0 解得-2<a<
2 3

求过三点O ),A ),B 例4 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标. 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
解:设所求圆的方程为: 设所求圆的方程为:

方法一: 几何方法
0

y
A(1,1) ( , ) A(4,2) ( , )

x

求过三点O ),A ),B 例4 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标. 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标. 方法二:
待定系数法

解:设所求圆的一般方程为: 设所求圆的一般方程为:

x + y + Dx + Ey + F = 0(D + E ? 4F > 0)
2 2 2 2

因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则 都在圆上, 因为 都在圆上

? F=0 ? F=0 ? ? D+E+F+2=0 解得 ? D=-8 ? ? 4D+2E+F+20=0 ? E=6 ? ?
所求圆的方程为: 所求圆的方程为

x2+y2-8x+6y=0 即(x-4)2+(y+3)2=25

求过三点O ),A ),B 例4 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标. 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标. 设所求圆的标准方程为: 方法三: 解:设所求圆的标准方程为:
(x-a)2+(y-b)2=r2
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上 因为 都在圆上

?(a)2+(b)2=r2 ?(1-a)2+(1-b)2=r2 ? ?(4-a)2+(2-b)2=r2 ?
所求圆的方程为: 所求圆的方程为:

? a=4 ? 解得 ? b=-3 ? r=5 ?

即(x-4)2+(y+3)2=25

[小结]: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目 条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径 我们一般采用 若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 涉及圆心和半径 圆的标准方程较简单 标准方程较简单. 圆的标准方程较简单 ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆 若已知三点求圆的方程 我们常常采用 三点求圆的方程 我们常常采用圆 一般方程用待定系数法求解. 方程用待定系数法求解 的一般方程用待定系数法求解 (特殊情况时,可借助图象求解更简单) 特殊情况时, 借助图象求解更简单)

已知线段AB的端点B的坐标是( AB的端点 例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1) =4上运动 求线段AB 上运动, AB的中点 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点 的轨迹方程. M的轨迹方程.
的坐标是( ) 点 的坐标为 的坐标为( 解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标为(x0,y0) y 设点 的坐标是 由于B点坐标为 点坐标为( , ), ),M为 的中点 的中点, 由于 点坐标为(4,3), 为AB的中点, 所以 x0 + 4 y0 + 3 x= ,y= A 2 2 整理得 x0 = 2 x ? 4, y0 = 2 y ? 3. 又因为点A在圆上运动,所以 点坐标满足 又因为点 在圆上运动,所以A点坐标满足 在圆上运动 方程, 方程,又有(x0+1)2+y02=4 所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4 3 2 3 2 整理得 ( x ? ) + ( y ? ) = 1 2 2 o B M x

所以, 所以,点M的轨迹是以( 的轨迹是以(

3 3 , )为圆心,1为半径的圆 为圆心, 2 2

课堂小结: 课堂小结: 1.任一圆的方程可写成 1.任一圆的方程可写成x2 + y2 +Dx+Ey +F =0 的形式, 的形式,但方程 x2 + y2 +Dx+Ey +F =0表示 的曲线不一定是圆, D 的曲线不一定是圆,当2 + E2 ?4F > 0 时, D E 方程表示圆心为 , ? ) , 半径 (? 2 2 的圆. 为 1 D2 + E2 ?4F 的圆.
2

2.用待定系数法求圆方程的基本步骤: 2.用待定系数法求圆方程的基本步骤: 用待定系数法求圆方程的基本步骤 ;(2 列方程组; (1)设圆方程 ;(2)列方程组; 求系数; 小结. (3)求系数; (4)小结.

3.求轨迹方程的基本思想: 3.求轨迹方程的基本思想: 求轨迹方程的基本思想 求出动点坐标x 所满足的关系. 求出动点坐标x,y所满足的关系.

练习:求过三点 练习:求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 的圆的方程 解:设所求圆的方程为: 设所求圆的方程为:

x + y + Dx + Ey + F = 0(D + E ? 4F > 0)
2 2 2 2

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 因为 都在圆上
? 52 + 12 + 5D + E + F = 0 ? D = ?4 ? 2 ? 2 ? 7 + (?1) + 7 D ? E + F = 0 ? ? E = 6 ? 2 2 + 82 + 2 D + 8 E + F = 0 ? F = 12 ? ?

所求圆的方程为

x + y ? 4 x + 6 y + 12 = 0 2 2 即 (x?2) +(y +3) = 25
2 2

知识沿深, 知识沿深,能力突破
1、一个圆过A(4,2)、B(-1,3)两点,且在坐 、一个圆过 两点, 、 - , 两点 标轴上的四个截距之和为14,求此圆的方程。 标轴上的四个截距之和为 ,求此圆的方程。

2、如图,等腰梯形ABCD底边长分别为 和 、如图,等腰梯形 底边长分别为6和 底边长分别为 4,高为 ,求这个等腰梯形的外接圆的方程, ,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程, 并求这个圆的圆心坐标和半径长
D A C B


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