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高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)课件 新人教A版必修4_图文


1.4.1正弦函数的图象 与性质 第二课时 本节课是在必修一学习的内容的基础上研究三角函数的周 期性和判断三角函数的单调性 . 要注意两点:1.函数的周期定 义中是对定义域中的每一个 x 值来说,对于个别的 x 满足 f(x + T) = f(x) ,并不能说 T 是 f(x) 的周期.例如:既使 sin(x + T) =sin(x)成立,也不能说T是f(x)=sinx的周期.2.判断函数 的奇偶性应坚持“定义域优先”原则,即先求其定义域,看它 是否关于原点对称,一些函数的定义域比较容易观察,直接判 断f(-x)与f(x)的关系即可;一些复杂的函数要防止没有研究 定义域是否关于原点对称而出错. 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期. 3.掌握函数y=sin x的奇偶性,会判断简 单三角函数的奇偶性. 温故知新 定 图 义 单 位 y P(x,y) 。 α O A(1,0) x x 圆 中 一 般 地 P(x,y) y 。 O 象 sin ? cos? y x y x tan ? | OP |? r(r ? 0) y r x r y x 正弦和余弦函数的图像 y 1 -4? -3? -2? -? o -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x 正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x?R 2 正弦曲线 ? 形状完全一样 只是位置不同 余弦函数的图象 y (0,1) 1 3? ( ,0) 2 余弦曲线 ( 2? ,1) 2? 3? 4? 5? 6? ? -4? -3? -2? -? ? (o ,0) 2 -1 ( ? ,-1) x (1)今天是星期一,则过了七天是星期 几? 过了十四天呢?…… (2)物理中的单摆振动,表针的运动规律如 何呢? 周期函数的定义 一般地,对于函数 y=f(x),如果存在一个不为零的常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立, 那么就把函数 y=f(x)叫做周期函数, 不为零的常数 T 叫做这 个函数的周期. 由周期函数的定义证明:函数 y=sin x 是周期函数. 证明: ∵sin(x+2π)=sin x, ∴y=sin x 是周期函数,且 2π 就是它的一个周期. 同理可得:y=cos x 是周期函数,且 2π 就是它的一个周 期.y=tan x 是周期函数,且 π 就是它的一个周期. 最小正周期 如果非零常数 T 是函数 y=f(x)的一个周期,那么 kT(k∈Z 且 k≠0)都是函数 y=f(x)的周期. (1)周期函数的周期不止一个, 若 T 是周期, 则 kT(k∈Z, 且 k≠0) 一定也是周期.例如,正弦函数 y=sin x 和余弦函数 y=cos x 的最小正周期都是 2π ,它们的所有周期可以表示为: 2kπ(k∈Z 且 k≠0) . (2)“并不是所有的周期都存在最小正周期”,即存在某些周 期函数,这些函数没有最小正周期.请你写出符合上述特征 的一个周期函数: f(x)=C(C 为常数),x∈R . 证明函数的最小正周期常用反证法. 下面是利用反证法证明 2π 是正弦函数 y=sin x 的最小正周期的过程. 请你补充完整. 证明:由于 2π 是 y=sin x 的一个周期,设 T 也是正弦函数 y= sin x 的一个周期,且 0<T<2π ,根据周期函数的定义,当 x 取定义域内的每

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