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高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)课件 新人教A版必修4_图文

1.4.1正弦函数的图象 与性质 第二课时 本节课是在必修一学习的内容的基础上研究三角函数的周 期性和判断三角函数的单调性 . 要注意两点:1.函数的周期定 义中是对定义域中的每一个 x 值来说,对于个别的 x 满足 f(x + T) = f(x) ,并不能说 T 是 f(x) 的周期.例如:既使 sin(x + T) =sin(x)成立,也不能说T是f(x)=sinx的周期.2.判断函数 的奇偶性应坚持“定义域优先”原则,即先求其定义域,看它 是否关于原点对称,一些函数的定义域比较容易观察,直接判 断f(-x)与f(x)的关系即可;一些复杂的函数要防止没有研究 定义域是否关于原点对称而出错. 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期. 3.掌握函数y=sin x的奇偶性,会判断简 单三角函数的奇偶性. 温故知新 定 图 义 单 位 y P(x,y) 。 α O A(1,0) x x 圆 中 一 般 地 P(x,y) y 。 O 象 sin ? cos? y x y x tan ? | OP |? r(r ? 0) y r x r y x 正弦和余弦函数的图像 y 1 -4? -3? -2? -? o -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x 正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x?R 2 正弦曲线 ? 形状完全一样 只是位置不同 余弦函数的图象 y (0,1) 1 3? ( ,0) 2 余弦曲线 ( 2? ,1) 2? 3? 4? 5? 6? ? -4? -3? -2? -? ? (o ,0) 2 -1 ( ? ,-1) x (1)今天是星期一,则过了七天是星期 几? 过了十四天呢?…… (2)物理中的单摆振动,表针的运动规律如 何呢? 周期函数的定义 一般地,对于函数 y=f(x),如果存在一个不为零的常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立, 那么就把函数 y=f(x)叫做周期函数, 不为零的常数 T 叫做这 个函数的周期. 由周期函数的定义证明:函数 y=sin x 是周期函数. 证明: ∵sin(x+2π)=sin x, ∴y=sin x 是周期函数,且 2π 就是它的一个周期. 同理可得:y=cos x 是周期函数,且 2π 就是它的一个周 期.y=tan x 是周期函数,且 π 就是它的一个周期. 最小正周期 如果非零常数 T 是函数 y=f(x)的一个周期,那么 kT(k∈Z 且 k≠0)都是函数 y=f(x)的周期. (1)周期函数的周期不止一个, 若 T 是周期, 则 kT(k∈Z, 且 k≠0) 一定也是周期.例如,正弦函数 y=sin x 和余弦函数 y=cos x 的最小正周期都是 2π ,它们的所有周期可以表示为: 2kπ(k∈Z 且 k≠0) . (2)“并不是所有的周期都存在最小正周期”,即存在某些周 期函数,这些函数没有最小正周期.请你写出符合上述特征 的一个周期函数: f(x)=C(C 为常数),x∈R . 证明函数的最小正周期常用反证法. 下面是利用反证法证明 2π 是正弦函数 y=sin x 的最小正周期的过程. 请你补充完整. 证明:由于 2π 是 y=sin x 的一个周期,设 T 也是正弦函数 y= sin x 的一个周期,且 0<T<2π ,根据周期函数的定义,当 x 取定义域内的每一个值时,都有 sin(x+T)=sin x . ?π ? π π ? ? 令 x=2,代入上式,得 sin 2+T =sin 2=1, ? ? ?π ? 又 sin?2+T?= cos T ,所以 cos T=1 . ? ? 另一方面,当 T∈(0,2π)时, cos T<1 ,这与 cos T=1 矛盾. 故 2π 是正弦函数 y=sin x 的最小正周期. 函数 y=Asin(ωx+φ)的周期 2π 证明 是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期. |ω| 证明: 由诱导公式一知: 对任意 x∈R,都有 Asin[(ωx+φ)+2π]=Asin(ωx+φ), ? ? ? 2π? 所以 Asin?ω?x+ ω ?+φ?=Asin(ωx+φ), ? ? ? ? ? 2π? 即 f ?x+ ω ?=f(x), ? ? 2π 所以 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)是周期函数,ω 就是它的一个周期. 由于 x 至少要增加 此, 2π 个单位,f(x)的函数值才会重复出现,因 |ω| 2π 是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期. |ω| 例 1 求下列函数的周期. ? π? (1)y=sin?2x+3 ? (x∈R); ? ? (2)y=|sin 2x| (x∈R). π 解 (1)方法一 令 z=2x+ , 3 ∵x∈R,∴z∈R,函数 f(x)=sin z 的最小正周期是 2π, 就是说变量 z 只要且至少要增加到 z+2π, 函数 f(x)=sin z(z∈R)的值才能重复取得, π π 而 z+2π=2x+ +2π=2(x+π)+ , 所以自变量 x 只要且至少 3 3 要 增 加 到 x + π , 函数 值 才能重 复 取得, 从 而函数 f(x) = ? π? sin?2x+ 3? (x∈R)的周期是 π. ? ? ? π? 2π ? ? 方法二 f(x)=sin 2x+3 的周期为 =π. 2 ? ? 例 1 求下列函数的周期. ? π? (1)y=sin?2x+3 ? (x∈R); ? ? (2)y=|sin 2x| (x∈R). (2)作出 y=|sin 2x|的图象. π 由图象可知,y=|sin 2x|的周期为 . 2 对于形如函数 y=Asin(ωx+φ),ω≠0 时的周期求法常直 2π 接利用

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