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高中数学2、2-2-1综合法与分析法课件新人教A版选修1-2_图文

2.2 直接证明与间接证明 1.知识与技能 了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了 解分析法和综合法的思考过程和特点. 2.过程与方法 进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系 与差异. 本节重点:综合法和分析法的概念及思考过程、特 点. 本节难点:运用综合法和分析法解答问题. 从实际问题中命题的条件或结论出发,根据已知的定 义、公理、定理,直接推证结果的真实性,从证明过程上 认识分析法和综合法的推理过程,学会用分析法和综合法 证明实际问题,并且理解分析法和综合法之间的内在联 系. 一、综合法 1.对综合法的理解 简言之,综合法是一种由因导果的证明方法,其逻辑 依据是三段论式的演绎推理方法. 由此可见,综合法是“由因导果”,即由已知条件出 发,推导出所要证明的结论成立. 2.综合法的特点 从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步 推理,实际上是寻找“已知”的必要条件. 二、分析法 1.分析法的定义及其理解 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的 充分条件,直至最后,把要证明的结论结为判定一个明显 成立的条件 ( 已知条件、定理、定义、公理等 ) .这种证明 的方法叫分析法.可见分析法是“执果索因”,步步寻求 上一步成立的充分条件,它与综合法是对立统一的两种方 法. 2.分析法的特点 从“未知”看“需知”,再逐步靠近“已知”. 3.分析法与综合法的区别与联系 (1)区别:综合法是“由因导果”,而分析法则是“执 果索因”,它们是截然相反的两种证明方法.分析法便于 我们去寻找思路,而综合法便于过程的叙述,两种方法各 有所长,在解决具体的问题时,结合起来运用效果会更 好. (2)联系:在分析法中,从结论出发的每一步所得到的 判断都是使结论成立的充分条件,最后的一步归结为已被 证明了的事实.因此从分析法的最后一步又可以倒推回去, 直到结论,这个倒推的证明方法就是综合法. 综合法 分析法 定义 从要证明的 结论出发 ,逐步 利用 已知条件 和某些数 寻求使它成立 学 定义 、 定理 、 的 充分条件 ,直至最后, 公理 等,经过一系列 把要证明的结论归结为判定一 的 推理论证 ,最后推导出所 个明显成立的条件(已知条 、 定义 、 要证明的结论成立,这种证明 件)、 定理 公理 等),这种证明方法叫 方法叫做综合法 做分析法 框 图 表 示 特点 (P表示 已知条件 、已有 的 定义 、 定理 、 公理 等, Q表示 所要证明的结论 ) 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法 [例 1] 已知 a,b 是正数,且 a+b=1, 1 1 求证:a+b≥4. [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①a,b 是正数且 a+b=1; 1 1 ②求证的是 + ≥4. a b 解答本题可由已知条件出发,结合基本不等式,即可得 出结论. [证明] 方法一:∵a,b 是正数且 a+b=1, 1 1 1 ∴a+b≥2 ab,∴ ab≤2,∴ab≤4,ab≥4. 1 1 a+b 1 ∴a+b= ab =ab≥4. 方法二:∵a,b 是正数, 1 1 1 ∴a+b≥2 ab>0, + ≥2 >0, a b ab 1 1 ∴(a+b)(a+b)≥4. 1 1 又 a+b=1,∴a+b≥4. 1 1 a+b a+b b a 方法三: a+b= a + b =1+a+b+1≥2+2 4.当且仅当 a=b 时,取“=”号. ba a· b= [点评] 1.综合法证明问题的步骤 第一步:分析条件,选择方向.仔细分析题目的已知 条件 ( 包括隐含条件 ) ,分析已知与结论之间的联系与区别, 选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方 法. 第二步:转化条件,组织过程.把题目的已知条件, 转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种 语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语 言,清晰的思路. 第三步:适当调整,回顾反思.解题后回顾解题过程, 可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰, 反思总结解题方法的选取. 2. 综合法证明不等式依赖的主要是不等式的基本性质和 已知的重要不等式,其中常用的有如下几个: ①a2≥0(a∈R). ②(a - b)2≥0(a 、 b∈R) , 其 变 形 有 a2 + b2≥2ab , 2 a+b 2 ( a + b ) ( 2 ) ≥ab,a2+b2≥ 2 . a+b ③若 a、b∈(0,+∞),则 2 ≥ ab, b a 特别是a+b≥2. 1 1 25 本例已知条件不变,求证:(a+a)(b+b)≥ 4. [证明] ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2 ab, 1 ∴ab≤4. 2 2 1 1 25 a +1 b +1 25 ∴(a+a)(b+b)- 4 = a · b - 4 4a2b2-33ab+8 (1-4ab)(8-ab) = = ≥0. 4ab 4ab 1 1 25 ∴(a+ )(b+ )≥ . a b 4 [例 2] 2 设 a,b 为实数,求证 a +b ≥ 2 (a+b). 2 2 [证明] 2 当 a+b≤0 时,∵ a2+b2≥0, 2 2 ∴ a +b ≥ (a+b)成立. 2 当 a+b>0 时, 用分析法证明如下: 2 要证 a +b ≥ 2 (a+b), 2 2 2 只需证( a +b ) ≥[ 2 (a+b)]2. 2 2 2 1 2 即证 a +b ≥2(a +b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. 2 2 ∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立, 2 ∴ a +b ≥ 2 (a+b)成立.综上所述,不等式得证. 2 2 [点评 ] (1) 分析法证明不等式的依据是不等式的基本 性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论; (2)分析法证明不等式的思维是从要

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