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2018版高中数学北师大版必修三:第一章 统计 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差-4.2 标准差_图文

第一章 §4 数据的数字特征 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差 学习 目标 1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点. 2.要重视数据的计算,体会统计思想. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 众数、中位数、平均数 的数. 1.众数、中位数、平均数定义 (1)众数:一组数据中重复出现次数 最多 (2)中位数:把一组数据按从小到大的顺序排列,处在中间 位置(或中间两 个数的 平均数 )的数称为这组数据的中位数. 1 (3)平均数:如果 n 个数 x1,x2,…,xn,那么 x = (x1+x2+…+xn)称为 n 这 n 个数的平均数. 答案 2.三种数字特征与频率分布直方图的关系 众 数 众数是最高长方形的中点所对应的数据,表示样本数据的中心值 中 (1)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等, 位 由此可以估计中位数的值,但是有偏差;(2)表示样本数据所占频 数 率的等分线 平 均 (1)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和; (2)平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点 数 知识点二 标准差、方差 1.标准差 (1)平均距离与标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示. 假设样本数据是 x1,x2,…,xn, x 表示这组数据的平均数.xi 到 x 的距离是|xi - x |(i=1,2,…,n),则用如下公式来计算标准差: s= 1 2 2 2 [ ? x - x ? + ? x - x ? + … + ? x - x ? ]. 2 n n 1 (2)计算标准差的步骤 ①求样本数据的平均数 x ; ②求每个样本数据与样本平均数的差 xi- x (i=1,2,…,n); ③求(xi- x )2(i=1,2,…,n); 1 ④求 s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]; 2 ⑤求 s= s2,即为标准差. 2.方差 标准差的平方 s2 叫作方差. 1 s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2], 2 其中,xi(i=1,2,…,n)是 样本数据 ,n 是 样本容量 , x 是 样本平均数. 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 众数、中位数、平均数的简单运用 例1 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表: 职务 董事长 人数 工资 1 5 500 副董 事长 1 董事 总经理 2 1 3 000 经理 5 2 500 管理员 3 2 000 职员 20 1 500 5 000 3 500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; 解 平均数是: x =1 500+ 4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 33 ≈1 500+591=2 091(元), 中位数是1 500元,众数是1 500元. 解析答案 (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资从5 500元 提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是多少?(精确到元) 解 新的平均数是 x′ =1 500+ 28 500+18 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 ≈1 500 + 33 1 788=3 288(元), 新的中位数是:1 500元,新的众数是1 500元. 解析答案 (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一 谈你的看法. 解 在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平,因为 公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与 中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员 的成绩如表所示: 成绩 (单位:m) 人数 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数. 解析答案 题型二 平均数和方差的运用 例2 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm的零件,为检验质量,各从 中抽取6件测量,数据为 甲:99 100 98 100 100 103 乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; 解析答案 (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 解 两台机床所加工零件的直径的平均值相同, 2 又 s2 > s 甲 乙,所以乙机床加工零件的质量更稳定. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上 每隔30分钟抽取一包产品,称其质量,分别记录抽查数据如下 (单位:kg): 甲:102 101 99 乙:110 115 90 98 85 103 98 75 99 115 110 (1)这种抽样方法是哪一种方法? 解 采用的抽样方法是:系统抽样. 解析答案 (2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差,并说明哪个车间产品 比较稳定. 解析答案 题型三 数据的数字特征的综合应用 例3 在一次科技知识竞赛中,两组学生的成绩如下表: 分数 人 甲组 50 2 60 5 70 10 80 13 90 14 100 6 数 乙组 4 4 16 2 12 12 已经算得两个组的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识,进 一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练

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