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江苏省扬州市江都区第一中学2016届高三2015-2016学年第一学期数学月考试卷


江都区第一中学高三月度检测试题 2015.10


位置上 . ... 1、函数 y ?



一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题 纸 相应 .. . ..

x ?1 的定义域为 ? ,函数 y ? lg ? 2 ? x ? 的定义域为 ? ,则 ? ???
. . .



2、写出命题“ ?x ? 0 , x 2 ? 1 ? 0 ”的否定: 1 3、已知复数 z= ,其中 i 是虚数单位,则|z|= 1+i 4、函数 y ? ? sin x ? cos x ? 的最小正周期是
2

5、设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? 6、已知角 ? 的终边经过点 ?1, 3 ,则 sin ? ? ?

?

?

?

?

?

?

. .

?

?

? ?

??

? 的值为 2?

7、 “

??

?

2 ”是“函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象关于 y 轴对称”的

条件.

(填“充分必要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分也不必要” ) .
2 2 8、若圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0 ( a , b ? R )对称,则 ab 的

最大值是



9、如图,函数

f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ?

?
(? ? 0 , 2

?? ??


的部分图象,其中 ? , ? 分别是图中的最高点和最低 点,且 ?? ? 5 ,那么

? ? ? 的值为

. .

? ?a, x≥1, 10、若 f(x)=?x 是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围为 ?-x+3a,x<1 ?
π? ? π? 4 ? 11、设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为_______.

12、设 f(x)=x2-3x+a,若函数 f(x)在区间(1,3)内有零点,则实数 a 的取值范 围为 .
? 3 , 边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是边 BC、CD

13、在平行四边形 ABCD 中,∠A=

上的点,且满足 | BM | ? | CN | ,则 AM ? AN 的取值范围是_________ . | BC | | CD | 14、若不等式| ax ? ln x |≥1 对任意 x ? (0,1] 都成立,则实数 a 取值范围是
3



1

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题 纸 指定区域 内作答. 解答时应写出文字 .. . .... 说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题满分 14 分) 2 已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3≤0,x∈R},集合 B={x|m﹣2≤x≤m+2,x∈R,m∈R }. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范围.

16、(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,向量 m ? ( 2 cos C ,? sin C ) , 2

C ,2 sin C ) ,且 m ? n. 2 (1)求角 C 的大小; n ? (cos
2 2 2 (2)若 a ? 2b ? c ,求 tan A 的值.

2

17、(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? sin( (1) 求 f ( ) 的值;

?

?

? x) sin( ? x) ? 3 sin x cos x( x ? R) . 4 4

?

6

(2) 在 ?ABC 中, 若 f ( ) ? 1 , 求 sin B ? sin C 的最大值.

A 2

18、(本题满分 15 分) 已知平面直角坐标系 xOy中, A(4 ? 2 3,2), B(4,4) ,圆 C 是△OAB 的外接圆。 (1)求圆 C 的方程; (2)若过点(2,6)的直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4 3 ,求直线 l 的方程。

3

19. (本小题满分 16 分) 如图,公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 α 的角形耕地,其中 tanα=-2.在该块土地 中 P 处有一小型建筑,经测量,它到公路 AM,AN 的距离分别为 3km, 5km.现要过点 P 修建一条直线公路 BC,将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园. (1)、现有两种方案: 1 方案一:以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系, ○ 设直线 BC 的斜率为 k,把△ABC 的面积 S 表示为关于 k 的函数;
A N C

·
α
B M

P

2 方案二:设 AB=x,AC=y,把△ABC 的面积 S 表示为 x、y 关系式,并说明 x、y 满足的 ○ 关系。 (2)、任选一种方案,确定 B 点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.

20、 (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=lnx﹣x, .

(1)求 h(x)的最大值; 2 (2)若关于 x 的不等式 xf(x)≥﹣2x +ax﹣12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围; 3 2 (3)若关于 x 的方程 f(x)﹣ x +2ex ﹣bx=0 恰有一解,其中 e 是自然对数的底数,求实 数 b 的值.

4

江都区第一中学高三月度检测答题纸 2015.10


位置上 . ...



一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题 纸 相应 .. . ..

1、 ________________ 2、 ________________ 3、 ________________ 4、 _________________ 5、 ________________ 6、 ________________ 7、 ________________ 8、 _________________ 9、 ________________ 10、 ________________ 11、 ________________ 12、 _________________ 13、______________ 14、______________ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题 纸 指定区域 内作答. 解答时应写出文字 .. . .... 说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题满分 14 分)

16、(本题满分 14 分)

5

17、(本题满分 15 分)

18、(本题满分 15 分)

6

19. (本小题满分 16 分) 1 方案一: (1)、○
N C y

·
A O B x

P

2 方案二: ○

N C

·
A

P

α

B

M

(2)

7

20、 (本小题满分 16 分)

8

江都区第一中学高三月度检测试题 2015.10 答案


位置上 . ... 1 、函数 y?



一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题 纸 相应 .. . ..

? x? 的 定 义 域 为 ? , 则 x ?1 的 定 义 域 为 ? , 函 数 y ? l g ? 2
. [1,2) . ?x ? 0, x 2 ?1 ? 0 . .? 2 2

?? ? ?

2、写出命题“ ?x ? 0 , x 2 ? 1 ? 0 ”的否定: 1 3、已知复数 z= ,其中 i 是虚数单位,则|z|= 1+i 4、函数 y ? ? sin x ? cos x ? 的最小正周期是
2

5、设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? 6、已知角 ? 的终边经过点 ?1, 3 ,则 sin ? ? ?

?

?

?

?

?

?

. .?

1 2

?

?

? ?

??

? 的值为 2?

1 2

7、 “

??

?

2 ”是“函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象关于 y 轴对称”的

条件.

(填“充分必要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分也不必要” ) . 充分不必要
2 2 8、若圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0 ( a , b ? R )对称,则 ab 的

最大值是

.1/4

9、如图,函数

f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ?

?
(? ? 0 , 2

?? ??


的部分图象,其中 ? , ? 分别是图中的最高点和最低 点,且 ?? ? 5 ,那么

? ? ? 的值为



?a, ? x≥1, 10、若 f(x)=?x 是 R 上的单调函数,则实数 a 的 ?-x+3a,x<1 ?
取值范围为 1 .[ ,+∞) 2

π? 17 2 ? π? 4 ? 11、设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为_______. 50 12、 设 f(x)=x2-3x+a, 若函数 f(x)在区间(1, 3)内有零点, 则实数 a 的取值范围为 9 (0, ] 4 .

9

?

13、在平行四边形 ABCD 中,∠A= 3 , 边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满足 | BM | ? | CN | ,则 AM ? AN 的取值范围是_________ . | BC | | CD | [解析] 如图建系,则 A(0,0),B(2,0),D( 2 ,
| BM | | CN | ? ?t 设 | BC | | CD | ?[0,1],则 | BM
1

3 2

),C( 2 ,

5

3 2

).

y D A N B C M x

|? t , | CN |? 2t ,

所以 M(2+ ,

t 2

3t 2

),N( -2t,
t 5

5 2

3 2

),
3t 2

故 AM ? AN =(2+ 2 )( 2 -2t)+

?

3 2

= ? t ? 2t ? 5 ? ?(t ? 1) ? 6 ? f (t ) ,
2 2

因为 t?[0,1],所以 f (t)递减,( AM ? AN )max= f (0)=5,( AM ? AN )min= f (1)=2. 14、若不等式| ax ? ln x |≥1 对任意 x ? (0,1] 都成立,则实数 a 取值范围是
3



解:显然 x ? 1 时,有 | a |? 1, a ? ?1, or, a ? 1 。
2 令 g ( x) ? ax ? ln x, g ?( x) ? 3ax ?

3

1 3ax3 ? 1 ? x x 3ax3 ? 1 ? 0 , g ( x) 在 (0,1] 上递减, x

①当 a ? ?1 时,对任意 x ? (0,1] , g ?( x) ?

g ( x)min ? g (1) ? a ? ?1 ,此时 g ( x) ? [a, ??) ,| g ( x) |的最小值为 0,不适合题意。
②当 a ? 1 时,对任意 x ? (0,1] , g ?( x) ?

3ax3 ? 1 1 ?0? x ? 3 x 3a

| g ( x) |的最小值为 g ( 3

e2 e2 1 1 1 a ? a ? 。故所求 ) ? ? ln(3a) ≥1,解得: 3 3 3a 3 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题 纸 指定区域 内作答. 解答时应写出文字 .. . .... 说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题满分 14 分) 2 已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3≤0,x∈R},集合 B={x|m﹣2≤x≤m+2,x∈R,m∈R }. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范围. 解:由已知得:集合 A={x|﹣1≤x≤3},集合 B={x|m﹣2≤x≤m+2} (1)因为 A∩B=[0,3],所以 所以 ,所以 m=2;

10

(2)CRB={x|x<m﹣2 或 x>m+2} 因为 A ? C R B ,所以 m﹣2>3 或 m+2<﹣1,所以 m>5 或 m<﹣3.

16、(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,向量 m ? ( 2 cos C ,? sin C ) , 2

C ,2 sin C ) ,且 m ? n. 2 (3)求角 C 的大小; n ? (cos
2 2 2 (4)若 a ? 2b ? c ,求 tan A 的值.

17、(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? sin( (1)求 f ( ) 的值;

?

?

? x) sin( ? x) ? 3 sin x cos x( x ? R) . 4 4

?

6

(2)在 ?ABC 中, 若 f ( ) ? 1 , 求 sin B ? sin C 的最大值.
11

A 2

⑴ f ( x) ? sin(

π π π 1 3 ? x) sin( ? x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) , 4 4 6 2 2

π 6 A A s i n ( ⑵由 f ( ) ? 1 , 有f ( ) ? 2 2
所以 f ( ) =1 .

π π π π A? ) 1 ? ,因 为0 ? A ? π , 所 以A ? ? , 即A ? . 6 6 2 3

sin B ? sin C ? sin B ? sin(
因为 0 ? B ?

2π 3 3 π ? B) = sin B ? cos B ? 3 sin( B ? ) . 3 2 2 3

2π π π π ,所以 ? B ? ? π , 0 ? sin( B ? ) ≤ 1 , 3 3 3 3

所以 sin B ? sin C 的最大值为 3 . 18、(本题满分 15 分) 已知平面直角坐标系 xOy中, A(4 ? 2 3,2), B(4,4) ,圆 C 是△OAB 的外接圆。 (1)求圆 C 的方程; (2)若过点(2,6)的直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4 3 ,求直线 l 的方程。 解: (1)设圆 C 方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0,
?F ? 0 则? ?4 D ? 4 E ? F ? 32 ? 0 ? ?(4 ? 2 3 ) D ? 2 E ? F ? 32 ? 16 3 ? 0

解得 D= —8,E=F=0。所以圆 C: ( x ? 4) ? y ? 16.
2 2

(2)当斜 率不存在时, l : x ? 2被圆截得弦长为 4 3, 符合题意; 当斜率存在时,设直线 l : y ? 6 ? k ( x ? 2),即kx ? y ? 6 ? 2k ? 0, 因为被圆截得弦长为 4 3 ,所以圆心到直线距离为 2, 所以 | 4k ? 6 ? 2k | ? 2, 解得k ? ? 4 , 3 1? k 2 所以直线 l : y ? 6 ? ?

4 ( x ? 2), 即4 x ? 3 y ? 26 ? 0. 3

故所求直线 l为x ? 2, 或4 x ? 3 y ? 26 ? 0.

19. (本小题满分 16 分)

12

如图,公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 α 的角形耕地,其中 tanα=-2.在该块土地 中 P 处有一小型建筑,经测量,它到公路 AM,AN 的距离分别为 3km, 5km.现要过点 P 修建一条直线公路 BC,将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园. (1)、现有两种方案:
N C

1 方案一:以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系,设直线 BC 的斜率为 k,把△ABC ○ α M A B 的面积 S 表示为关于 k 的函数; 2 方案二:设 AB=x,AC=y,把△ABC 的面积 S 表示为 x、y 关系式,并说明 x、y 满足的 ○ 关系。 (2)、任选一种方案,确定 B 点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积. 解: (方法一) 如图 1,以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系. 因为 tanα=-2,故直线 AN 的方程是 y=-2x. 设点 P(x0,y0).因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3. 由 P 到直线 AN 的距离为 5, 得 ∣2x0+y0∣ = 5,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去), 5 ???????????? 4 分
N C y

·

P

·
A O B x

P

所以点 P(1,3).

显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1),k∈(-2,0). 3 令 y=0 得 xB=1- . k
?y-3=k(x-1), 6-2k 由? 解得 yC= . k+2 ?y=-2x

???????????? 6 分 ???????????? 8 分

-k2+6k-9 8k-9 1 设△ABC 的面积为 S,则 S= ?xB?yC= =-1+ 2 . ????? 10 分 2 k2+2k k +2k 由 S?= -2(4k+3)(k-3) 3 =0 得 k=- 或 k=3. 2 2 4 (k +2k)

3 3 当-2<k<- 时,S?<0,S 单调递减;当- <k<0 时,S?>0,S 单调递增.? 13 分 4 4 3 所以当 k=- 时,即 AB=5 时,S 取极小值,也为最小值 15. 4 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2.????? 16 分 (方法二) -k2+6k-9 8k-9 1 同方法一:S= ?xB?yC= =-1+ 2 . ????? 10 分 2 2 k +2k k +2k

13

t+9 令 8k-9=t,则 t∈(-25,-9),从而 k= . 8 t 64t 64 因此 S=-1+ =-1+ 2 =-1+ .??? 13 分 225 t+9 2 t+9 t +34t+225 34+t+ ( ) +2× t 8 8 因为当 t∈(-25,-9)时,t+ 225 ∈(-34,-30], t

225 当且仅当 t=-15 时,此时 AB=5,34+t+ 的最大值为 4.从而 S 有最小值为 15. t 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2.????? 16 分 (方法三) 如图 2,过点 P 作 PE⊥AM,PF⊥AN,垂足为 E、F,连接 PA.设 AB=x,AC=y. 因为 P 到 AM,AN 的距离分别为 3, 5, 即 PE=3,PF= 5. 由 S△ABC=S△ABP+S△APC 1 1 1 = ?x?3+ ?y? 5 = (3x+ 5y). ① ?? 4 分 2 2 2 因为 tan?=-2,所以 sin?= 1 2 所以 S△ABC= ?x?y? . 2 5 ② 2 . 5 ??????????????? 8 分
F A E B M N C P ·

1 2 1 由①②可得 ?x?y? = (3x+ 5y). 2 5 2 即 3 5x+5y=2xy. ③ ???????????????10 分

因为 3 5x+5y≥2 15 5xy,所以 2xy≥2 15 5xy. 解得 xy≥15 5. ???????????????13 分

当且仅当 3 5x=5y 取“=” ,结合③解得 x=5,y=3 5. 1 2 所以 S△ABC= ?x?y? 有最小值 15. 2 5 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2.????? 16 分 20、 (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=lnx﹣x, .

(1)求 h(x)的最大值; 2 (2)若关于 x 的不等式 xf(x)≥﹣2x +ax﹣12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围; 3 2 (3)若关于 x 的方程 f(x)﹣ x +2ex ﹣bx=0 恰有一解,其中 e 是自然对数的底数,求实 数 b 的值.

14

解: (1)因为

,所以

,…(2 分)

由 h′(x)>0,且 x>0,得 0<x<e,由 h′(x)<0,且 x>0,x>e,…(4 分) 所以函数 h(x)的单调增区间是(0,e],单调减区间是[e,+∞) , 所以当 x=e 时,h(x)取得最大值 ;…(6 分) (2)因为 xf(x)≥﹣2x +ax﹣12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立, 2 2 即 xlnx﹣x ≥﹣2x +ax﹣12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立, 亦即 对一切 x∈(0,+∞)恒成立,…(8 分)
2



,因为



故 ?(x)在(0,3]上递减,在[3,+∞)上递增,?(x)min=?(3)=7+ln3, 所以 a≤7+ln3. …(10 分) 3 2 (3)因为方程 f(x)﹣x +2ex ﹣bx=0 恰有一解, 即 lnx﹣x﹣x +2ex ﹣bx=0 恰有一解,即 由(1)知,h(x)在 x=e 时,
2 3 2

恰有一解, ,…(12 分)

而函数 k(x)=x ﹣2ex+b+1 在(0,e]上单调递减,在[e,+∞)上单调递增, 2 故 x=e 时,k(x)min=b+1﹣e , 故方程
2

=x ﹣2ex+b+1 恰有一解当且仅当 b+1﹣e = ,

2

2

即 b=e + ﹣1;

15


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