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高中数学第一章计数原理5二项式定理(1)教案北师大版选修2_3

二项式定理 一、教学目标:1、知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。 2、过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题。 3、情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般 性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 二、教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用。 教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用。 三、教学方法:探析归纳,讨论交流 四、教学过程 (一)新课引入:(提问):若今天是星期一,再过 810 天后的那一天是星期几? 在初中,我们已经学过了 (a ? b) ? a ? 2ab ? b 2 2 2 0 10 1 9 810 = (7+1)10 = C10 7 + C10 7 +… 9 10 + C10 7+ C10 (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b 3 3 2 2 4 =2(733+c133732+…+c3233· 7+2 3 (提问):对于 (a ? b) , (a ? b) (再提问): (a ? b) 100 5 如何展开?(利用多项式乘法) 又怎么办? (a ? b) n (n∈N+)呢? n 我们知道,事物之间或多或少存在着规律。这节课,我们就来研究 (a ? b) 的二项展开式 的规律性 (二)新课探析: (如何着手研究它的规律呢)?采用从特殊到一般(不完全归纳)的方法。 规律: (a ? b) =a+b 1 (a ? b) 2 =(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b= a 2 ? 2ab ? b 2 (a ? b)3 = (a ? b) 2 (a+b)= (a 2 ? 2ab ? b 2 ) (a+b)= a 3 ? 3a 2b ? 3ab 2 ? b3 (a ? b) 4 = (a ? b)3 (a+b)= (a 3 ? 3a 2b ? 3ab 2 ? b3 ) (a+b)= a 4 ? 4a 3b ? 6a 2b 2 ? 4ab3 ? b 4 根据以上的归纳,可以想到 (a ? b) 的展开式的各项是齐次的,它们分别为 n a n , a n ?1b, a n ? 2b 2 , ???, b n 展开式中各项系数的规律,可以列表: (a ? b)1 1 1 1 ( a ? b) 2 ( a ? b)3 ( a ? b) 4 ( a ? b)5 1 1 5 1 1 3 4 10 6 2 3 4 10 1 1 1 5 1 (这表是我国宋代杨辉于 1261 年首次发现的,称为杨辉三角,比欧洲至少早了三百年。) 【指出】:这个公式叫做二项式定理(板书),它的特点: 1.项数:共有(n+1)项 2.系数:依次为 系数 【说明】:二项式系数 项中系数为 r Cn 与展开中某一项系数是有区别的。例如: 0 Cn C1 C 2 Cr Cn Cr , n , n ,… n ,… n ,其中 n (r=0,1,2,…n)称为二项式 (1 ? 2 x)6 展开式中第 3 2 C6 C2 ·22=60 而第三项的二项式系数是 6 =15。 3.指数: a n ? r b r 指数和为 n,a 的指数依次从 n 递减到 0,b 的指数依次从 0 递增到 n (三)、例题 (2 x ? 例 2.展开 1 6 ) x 。 (2 x ? 解: 1 6 1 ) ? 3 (2 x ? 1)6 x x ? 1 1 3 2 1 [(2 x)6 ? C6 (2 x)5 ? C62 (2 x) 4 ? C6 (2 x)3 ? C6 (2 x) 2 ? C6 (2 x) ? 1] 3 x 60 12 1 ? ? x x 2 x3 . ? 64 x3 ? 192 x 2 ? 240 x ? 160 ? 2 0 n 1 n ?1 r n?r r n n (四)、小结:(1)二项式定理 (a ? b) = Cn a ? Cn a b ? ??? ? Cn a b ? ??? ? Cn b 是通 n 过不完全归纳法,并结合组合的概念得到展开式的规律性,然后用数学归纳法加以证明。 (2)二项式定理的特点:1.项数 2.系数 3.指数 (五)、课堂练习:课本 P25 页练习题 (六)作业:课本第 28 页习题 1-5 中 A 组 2、3、4、5 3

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