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拉普拉斯展开定理_图文

一、k阶子式的概念
定义 在n阶行列式D中,任取k行k列(1 ? k ? n),
位于这k行k列的交点上的k 2个元素按原来的相对位 置组成的k阶行列式S,称为D的一个k阶子式。
在行列式 D中划去S所在的k行k列,余下的元素按 原来的相对位置组成的 n ? k阶行列式 M成为S的余子式。
设S的各行位于D中第i1, i2 ,?,ik (i1 ? i2 ? ? ? ik ), S的各列位于D中第j1, j2 ,?, jk ( j1 ? j2 ? ? ? jk ),那么称
A ? (?1)(i1?i2 ???ik )?( j1? j2 ??? jk ) M为S的代数余子式。

二、拉普拉斯展开定理
若在行列式D中任意取定k个行(1 ? k ? n ?1), 则有这k个行组成的所有k阶子式与它们的代数余 子式的乘积之和等于D.
设D的某k行组成的所有k阶子式分别为S1, S2,?, St (t ? Cnk ), 它们相应的代数余子式分别为A1, A2,?, At ,则
D ? S1A1 ? S2 A2 ? ?? At St。

例1 计算 2 1 0 0 0
12100 D? 0 1 2 1 0
0 01 21
0 0 01 2

利用拉普拉斯定理(P68)可得:

a11 ? a1k

?

?

0



D

?

ak1 c11

? ?

akk c1k

b11

? b1n

?

??

?

cn1 ? cnk bn1 ? bnn

a11 ? a1k

b11 ? b1n

D1 ? det(aij ) ? ?

? , D2 ? det(bij ) ? ?

?,

ak1 ? akk

bn1 ? bnn

证明 D ? D1D2 .

分块对角阵的行列式

设A为n阶矩阵, 若A的分块矩阵只有在主对

角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非

零子块都是方阵.即

?? A1

A

?

? ?

A2

?? O

?

?

O ?

? ??,

As ???

其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.

分块对角矩阵的行列式具有下述性质:

A ? A1 A2 ? As .
若 Ai ? 0?i ? 1,2,?, s?,则 A ? 0,并有

??

A?1 1

A?1

?

? ?

A?1 2

??? o

o ??

?

??.

A?1 s

???