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四川省雅安市2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文

雅安中学 2015-2016 学年高二上期 11 月半期考试 数学试题(文科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题:60 分) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1.直线 y ? ? 3x ? 2 3 的倾斜角是( A. 30 ?
2

) C. 120? D. 150? ,则 a+c 的值为( C.7 D.﹣7 )

B. 60 ?

2、若不等式 ax +5x+c>0 的解集为 A.5 B.﹣5

3、二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0

的解集是全体实数的条件是 ( )

?a ? 0 A? ?? ? 0

?a ? 0 B? ?? ? 0

?a ? 0 C? ?? ? 0

?a ? 0 D? ?? ? 0

?x ? 2 ? 0 ? 4、已知点 P( x, y ) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内运动, ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

则 z ? x ? y 的最大值是( A. ?1 B. ?2

) C.2 D.3 )

5、设正方体的全面积为 24,那么其内切球的体积是( A 6? B.

4 ? 3

C. ?

8 3

D.

32 ? 3


6. 已知 m、n 是不重合的直线, ? 、 ? 是不重合的平面,正确的是( A.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? C.若 m // ? , m ? n ,则 n ? ?

B.若 ? ? ? ? n, m // n ,则 m // ? , m // ? D.若 ?⊥? , m⊥? ,则 m∥?

7、如图,直二面角 α ﹣l﹣β 中,AB? α ,CD? β ,AB⊥l, CD⊥l, 垂足分别为 B、 C, 且 AB=BC=CD=1, 则 AD 的长等于 ( A. B. C.2 D. )

8、已知点 A? 2,3?、B ? ?3, ?2? , 若直线 l 过点 P ?1,1? 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的
1

取值范围是( A. k ?

) . B

4 ?k?2 3 1 3 2 2 9、若直线 mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆(x+3) +(y+1) =1 的弦长为 2,则 ? 的 m n
C. k ? D. 最小值为( ) A.8 B.4 C.10 D.6 10、将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠成一个四面体 ABCD,当该四面体的体积最大时,直线 AB 与 CD 所成的角为( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 11、过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 2 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( A. 3 3 B.±
2

3 或k ? 2 4

3 ?k?2. 4

4 或k ? 2 3

) C.- 3 3 D.- 3

3 3
2

12以原点O引圆? x ? m ? ? ? y ? 2 ? ? m2 ? 1 P的轨迹方程是( ) A.x 2 ? y 2 ? 2 C.( x ? 1)2 ? ( y ? 1) ? 3

的切线为y ? kx,当m变化时切点

B.( x ? 1)2 ? y 2 ? 3 D.x 2 ? y 2 ? 3
第Ⅱ卷(非选择题:90 分)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13 .不等式﹣x ﹣2x+3<0 的解集为
2



14. 如 图 是 一 个 几 何 体 的 三 视 图 , 该 几 何 体 的 体 积 是 . 14 题图

15.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P(x,y) , 则 PB ? PB 的最大值是 16. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,线段 B1 D1 上有两个动点 E , F ,且

EF ? 1 ,则下列结论中正确的有
① AC ? 面BEF ; ② AF 与BE相交 ;

.(填写你认为正确的序号)

③若 P 为 AA1 上的一动点,则三棱锥 P ? BEF 的体积为定值; ④在空间与直线 DD1 , AC, B1C1 都相交的直线只有 1 条。
16 题图

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 2 2 2 17(本小题满分 10 分)已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3≤0},B={x|x ﹣2mx+m ﹣9≤0},m∈R.
2

(1)若 m=3,求 A∩B; (2)若 A? B,求实数 m 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)右图是一个正三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一平面所截得到的几何

A 体,截面为 ABC .已知 A1 B1 ? 1 , AA 1 ? 4 , BB 1 ? 2 , CC1 ? 3 .
(1)设点 O 是 AB 的中点,证明: OC ∥ 平面 A1B1C1 ; (2)求 AB 与平面 AAC 1 1C 所成的角的正弦值;

C
O
B

A1 B1

C1

19、(本小题满分 12 分)如图,棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是矩形, PA ⊥平面 ABCD ,

PA ? AD ? 2, BD ? 2 2 .
(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P—CD—B 的大小; (3)求点 C 到平面 PBD 的距离。

P

A

D

B

C

20、(本小题满分 12 分)三角形 ABC 的三个顶点 A(1,3)B(1,﹣3)C(3,3) ,求 (Ⅰ)BC 边上中线 AD 所在直线的方程;
3

(Ⅱ)三角形 ABC 的外接圆 O1 的方程. (Ⅲ)已知圆 O2: x2 ? y 2 ? 4 y ? 6 ? 0 ,求圆心在 x-y-4=0,且过圆 O1 与圆 O2 交点的圆的方 程。

21.(本小题满分 12 分)已知⊙M:x +(y-2) =1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点. 4 2 (Ⅰ)若 AB = ,求 MQ 及直线 MQ 的方程; 3 (Ⅱ)求证:直线 AB 恒过定点.

2

2

22.(本小题满分 12 分)已知以点 C (t , ) (t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B,其中 O 为原点. (Ⅰ)求证:△AOB 的面积为定值; (Ⅱ)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M、N,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 P、Q 分别是直线 l:x+y+2=0 和圆 C 上的动点,求 PB ? PQ 的最小值。

2 t

4

雅安中学高 2015—2016 学年高二年级上期期中考试 数 一、选择题: 1 2 C D 3 D 4 C 学 5 B 14 试 题 答 6 A 30 7 B 15 案 (文科) 8 A 9 D 10 B 11 C 12 D

二、填空题 13 (??, ?3) ? (1, ??)

2 5

16 ①③、

三.解答题(共 9 小题) 2 17 解:集合 A={x|x ﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}, 2 2 B={x|x ﹣2mx+m ﹣9≤0}={x|m﹣3≤x≤m+3} (1)由于 B={x|m﹣3≤x≤m+3} 故当 m=3 时,B={x|0≤x≤6}∴A∩B=[0,3] (2)由于集合 A={x|﹣1≤x≤3},B={x|m﹣3≤x≤m+3} ∵ 18. (1)证明:作 OD ∥ AA1 交 A1B1 于 D ,连 C1D . 则 OD ∥ BB1 ∥CC1 , 因为 O 是 AB 的 中点, 所以 OD ?

1 ( AA1 ? BB1 ) ? 3 ? CC1 . 则 2

ODC 1 C是平行四边形,因此有 OC ∥ C1 D , C1 D ? 平面 C1 B 1A 1 ,且 OC ? 平面 C1 B 1A 1;
则 OC ∥面 A1B1C1 . (2) 解: 如图, 过 B 作截面 BA2C2 ∥面 A1B1C1 , 分别交 AA1 , 作 BH ⊥ A2C2 CC1 于 A2 , C2 ,

BH ⊥ 面 AAC AH ,则∠BAH 就 于 H ,因为平面 A2 BC2 ⊥ 平面 AAC 1 1C ,则 1 1C .连结
是 AB 与面 AAC 1 1C 所成的角. 因为 BH ?

3 BH 15 , AB ? 5 ,所以 sin ?BAH ? . ? 2 AB 10

19(1)在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2,

ABCD 为正方形,因此 BD⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴BD⊥PA .
又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面 PAC.

(2)由 PA⊥面 ABCD,知 AD 为 PD 在平面 ABCD 的射影,又 CD⊥AD, ∴CD⊥PD,知∠PDA 为二面角 P—CD—B 的平面角. 又∵PA=AD,∴∠PDA=45 .
0

5

(3)∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD= 2 2 ,设 C 到面 PBD 的距离为 d,

1 1 ? S ?BCD ? PA ? ? S ?PBD ? d , 3 3 2 1 1 1 1 2 0 3 即 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? (2 2 ) ? sin 60 ? d ,得 d ? 3 3 2 3 2
由 VP? BCD ? VC ? PBD ,有 20 解: (1)设 BC 的中点为 D,由中点坐标公式得:D(2,0) , 所以 AD 所在直线的斜率为 k= —3 所以 AD 所在直线的方程为 y-3=-3(x-1),即 3x+y-6=0 (2)由题知直线 AB 的斜率不存在,直线 BC 的斜率为 0, 故三角形 ABC 是角 A 为直角 BC 为斜边的直角三角形; 由(1)知,线段 BC 上的中点 D(2,0) , 所以圆 O1 的圆心坐标(2,0)半径 r ? DA ? 1? 32 ? 10 ; 三角形 ABC 的外接圆的方程为 x +y -4x-6=0 或 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 10 .
2 2

(3)方法一:设经过两圆交点的圆系方程为

x2 ? y 2 ? 4x ? 6 ? ? ( x2 ? y 2 ? 4 y ? 6) ? 0(? ? ?1)
4 4? 2 2? x? y ? 6 ? 0所以圆心的坐标为( , ) 1? ? 1? ? 1 ? ? 1+? 2 4? -4=0 则 又圆心在直线 x-y-4=0 上,所以 1+? 1+? 1 ? ? ? 所以所求圆的方程为x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 3
即x ? y ?
2 2

方法二:由 ?

2 2 ? ?x ? y ? 4x ? 6 ? 0 得两圆公共弦所在直线为y ? x 2 2 x ? y ? 4 y ? 6 ? 0 ? ?

?y ? x ? x1 ? ?1 ? x2 ? 3 由? 2 2 解得 ? 或? y ? ? 1 x + y ? 4 y ? 6 ? 0 ? 1 ? y2 ? 3 ?
所以两圆的交点分别为 A(-1,-1) ,B(3,3) , 线段 AB 的垂直平分线所在直线的方程为 y-1=-(x-1)

? y ? 1 ? ?( x ? 1) ? x ? 3 由? 得? ?x ? y ? 4 ? 0 ? y ? ?1
所以所求圆的圆心为(3,-1) ,半径为 4 所以所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 16
2 2

2 2 21.解:(1)设直线 MQ 交 AB 于点 P,则|AP|= , 3 又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ, 8 1 2 得|MP|= 1 - = .(2 分) 9 3
6

|MA| 又∵|MQ|= ,∴|MQ|=3.(4 分) |MP| 设 Q(x,0),而点 M(0,2),由 x +2 =3,得 x=± 5, 则 Q 点的坐标为( 5,0)或(- 5,0).(6 分) 从而直线 MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0.(8 分) (2)设点 Q(q,0), 由几何性质, 可知 A, B 两点在以 MQ 为直径的圆上, 此圆的方程为 x(x -q)+y(y-2)=0,而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦,相减可得 AB 的方程为 qx-2y+3 ? 3? =0,所以直线 AB 恒过定点?0, ?.(12 分) ? 2?
2 2

2

2? ? 4 2 2 2 22 解:(1)证明:由题设知,圆 C 的方程为(x-t) + ? y ? t ? =t + 2,化简得 x -2tx ? ? t
4 2 +y - y=0.

2

t

4 4 当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t,0);当 x=0 时,y=0 或 ,则 B (0, ) ,
t

t

1 1 ?4? 所以 S△AOB= |OA|?|OB|= |2t|?? ?=4 为定值. 2 2 ?t? (2)∵|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN, 2 t 2 1 ∴C、H、O 三点共线,则直线 OC 的斜率 k= = 2= , t t 2 ∴t=2 或 t=-2. ∴圆心为 C(2,1)或 C(-2,-1), 2 2 2 2 ∴圆 C 的方程为(x-2) +(y-1) =5 或(x+2) +(y+1) =5.(10 分) 2 2 由于当圆方程为(x+2) +(y+1) =5 时,直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时 不满足直线与圆相交,故舍去, 2 2 ∴圆 C 的方程为(x-2) +(y-1) =5.(12 分) (3)点 B(0,2)关于直线 x+y+2=0 的对称点 B’ (-4,-2) 则 | PB | ? | PQ |?| PB | ? | PQ |?| B Q |
' '
' 又 B’到圆上点 Q 的最短距离为 | B C | ? r ?

(?6) 2 ? 32 ? 5 ? 2 5
'

所以 | PB | ? | PQ | 的最小值为2 5, 直线B C的方程为y ? 则直线 B’C 与直线 x+y+2=0 的交点 P 的坐标为 ( ?

1 x 2

4 2 ,? ) 3 3

7