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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质课时训练新人教版选修2-1

【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 2.2.2 第 1 课 时 椭圆的简单几何性质课时训练 新人教版选修 2-1

一、选择题

x2 y2 1.已知点(3,2)在椭圆 2+ 2=1 上,则( a b
A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上

)

D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上 【解析】 因为椭圆 2+ 2=1 关于 x 轴、y 轴,原点对称,而点(3,2)在椭圆上,故点 (3,-2)、(-3,2)、(-3,-2)都在椭圆上. 【答案】 C 2.曲线 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系是( 25 9 9-k 25-k A.有相等的焦距,相同的焦点 B.有相等的焦距,不同的焦点 C.有不等的焦距,不同的焦点 D.以上都不对 【解析】 曲线 + =1 的焦距为 2c=8,而曲线 + =1(0<k<9)表示的椭 25 9 9-k 25-k 圆的焦距也是 8,但由于焦点所在的坐标轴不同,故选 B. 【答案】 B 3.焦点在 x 轴上,长、短半轴长之和为 10,焦距为 4 5,则椭圆的方程为( A. + =1 36 16 )

x2 y2 a b

x2

y2

x2

y2

)

x2

y2

x2

y2

x2

y2

B.

+ =1 16 36

x2

y2

C. + =1 6 4
2 2

x2 y2

D. + =1 6 4
2

y2 x2

【解析】 ∵c=2 5,a =b +c , ∴a =20+b .① 又 a+b=10,② 由①②知,a=6,b=4,
1
2 2

∴焦点在 x 轴上的椭圆方程为 + =1. 36 16 【答案】 A 4.(2013·天水高二检测)椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离 心率为( A. 1 2 ) 1 B. 3 1 C. 4 D. 2 2

x2

y2

【解析】 由题意知 a=2c,∴e= = 【答案】 A

c c 1 = . a 2c 2

5.我国于 2007 年 10 月 24 日成功发射嫦娥一号卫星,并经四次变轨飞向月球.嫦娥一 号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆. 若第一次变轨前卫星的近地点到地心的 距离为 m,远地点到地心的距离为 n,第二次变轨后两距离分别为 2m,2n(近地点是指卫星距 离地面最近的点,远地点是距离地面最远的点),则第一次变轨前的椭圆的离心率与第二次 变轨后的椭圆的离心率相比较( A.没变 ) B.变小 C.变大 D.无法确定

【解析】 由题意,第一次变轨前,{a+c=n ∴?a=
? ?

a-c=m.

m+n
2

n-m c=
2



第二次变轨后,{a′+c′=2n a′-c′=2m. ∴{a′=m+n c′=n-m ∴ = 【答案】 A 二、填空题 6.椭圆 9x +y =36 的短轴长为________. 【解析】 把椭圆化为标准方程得: + =1,∴b =4,b=2,∴2b=4. 4 36 【答案】 4 7.(2013·吉林高二检测)已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A,B 为焦点,且过 C、
2 2

c c′ . a a′

x2

y2

2

D 的椭圆的离心率为________.
2c 4 【解析】 如图,AB=2c=4,∵点 C 在椭圆上,∴CB+CA=2a=3+5=8,∴e= = 2a 8 1 = . 2

2

【答案】

1 2

8.(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 方程为________. 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的 2

【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1,由 e=

x2 y2 a b

2 c 2 b 1 知 = ,故 2= . 2 a 2 a 2

2

由于△ABF2 的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+ |BF2|=4a=16,故 a=4.∴b =8. ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 【答案】 + =1 16 8
2

x2

y2

x2

y2

三、解答题

x y 5 9.(1)求与椭圆 + =1 有相同的焦点,且离心率为 的椭圆的标准方程; 9 4 5
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为 8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点 在 x 轴上的椭圆的标准方程. 【解】 (1)∵c= 9-4= 5, ∴所求椭圆的焦点为(- 5,0),( 5,0). 设所求椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0). ∵e= =

2

2

x2 y2 a b

c a

5 2 2 2 ,c= 5,∴a=5,b =a -c =20, 5

∴所求椭圆的方程为 + =1. 25 20 (2)因椭圆的焦点在 x 轴上,

x2

y2

x2 y2 设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b
∵2c=8,∴c=4, 又 a=6,∴b =a -c =20.
2 2 2

3

∴椭圆的方程为 + =1. 36 20 10. 椭圆以直线 3x+4y-12=0 和两坐标轴的交点分别作顶点和焦点, 求椭圆的标准方 程. 【解】 直线 3x+4y-12=0 与两坐标轴的交点为(0,3),(4,0). ①若以(4,0)为焦点,即焦点在 x 轴上, 则 c=4,b=3,a=5. ∴椭圆的标准方程为 + =1; 25 9 ②若以(0,3)为焦点,即焦点在 y 轴上. 则 c=3,b=4,a=5, ∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 16 综上,椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 25 9 16 25

x2

y2

x2

y2

y2

x2 x2

y2

x2

y2

图 2-2-3 11.如图 2-2-3,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; → → (2)若椭圆的焦距为 2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程.

x2 y 2 a b

c 【解】 (1)由∠F1AB=90°及椭圆的对称性知 b=c, 则 e= = a

c2 = a2

c2

b2+c2



2 . 2

→ → → 2 2 (2)由已知 a -b =1,设 B(x,y),A(0,b),则AF2=(1,-b),F2B=(x-1,y),由AF2 3 b 9 b → 2 2 =2F2B,即(1,-b)=2(x-1,y),解得 x= ,y=- ,则 2+ 2=1,得 a =3,因此 b 2 2 4a 4b =2,方程为 + =1. 3 2
2

x2 y2

4