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全国大联考2015届高三第三次联考数学(理)试题

全国大联考
2015 届高三第三次联考·数学试卷
考生注意:
1.本试卷共 150 分.考试时间 120 分钟. 2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚. 3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上. 4.交卷时,可根据需要在加注“ ”标志的夹缝处进行裁剪. 5.本试卷主要考试内容:前 2 次联考内容+数列+不等式.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则 M∩( RN)等于 A.(-2,1) B. (-2,3] C.(-3,1) D.(-1,2] 2.已知数列{an}为等差数列,若 a3+a7=20,则数列{an}的前 9 项和 S9 等于 A.40 B.45 C.60 D.90 3.若 tan θ=1,则 sin 2θ 的值为 A.
2 2

B.1

C.

1 2

D.

3 2

4.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分不必要条件是 A.a>b+1 B.a>b-1 C.a+1>b+1 D.a2>b2 5.已知在等比数列{an}中,a3+a6=6,a6+a9=4,则 a8+a11 等于 A. B.
3 4 3 8 3

C.

3 16

D.

3 32

6.已知平面向量 a、b,|a|=3,|b|=2 3且 a-b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为 A.6 B.3
π π

C. 3



D. 6



7.在各项均为正数的等比数列{an}中,

a3 +a11 ≤2,则下列结论中正确的是 a7

A.数列{an}是递增数列 B.数列{an}是递减数列 C.数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列 D.数列{an}是常数列 8.若函数 f(x)=ax-k-1(a>0,a≠1)过定点(2,0),且 f(x)在定义域 R 上是减函数,则 g(x)=log a(x+k)的图象是

9.若 0<x<1,则x+

4

9 的最小值为 1-x

A.24 B.25 C.36 D.72 10.已知在各项为正的等比数列{an}中,a2 与 a8 的等比中项为 8,则 4a3+a7 取最小值时首 项 a1 等于 A.8 B.4 C.2 D.1 11.在数列{an}中,若存在一个确定的正整数 T,对任意 n∈N*满足 an+T=an,则称{an}是周期 数列,T 叫做它的周期.已知数列{xn}满足 x1=1,x2=a(a≤1),xn+2=|xn+1-xn|,若数列{xn}的周期 为 3,则{xn}的前 2014 项的和为 A.1344 B.1343 C.1224 D.1223 12.已知 log3(x+y+4)>log3(3x+y-2),若 x-y<λ 恒成立,则 λ 的取值范围是 A.(-∞,10] B.(-∞,10) C.(10,+∞) D.[10,+∞)

第Ⅱ卷
a b

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.已知 a>0,b>0,ab=4,当 a+4b 取得最小值时, = ▲ . ▲ .

x+y ≥ 3 14.设变量 x,y 满足约束条件 x-y ≥ -1 ,则目标函数 z=2x+3y 的最大值为 2x-y ≤ 3

15.函数 y=ax+2-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0, 则m+n的最小值为
1 2



.

16.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S6≥21 且 S15≤120,则 a10 的最大值是 ▲ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=x2-kx+k-1. (1)当 k 为何值时,不等式 f(x)≥0 恒成立; (2)当 k∈R 时,解不等式 f(x)>0. 18.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且满足 sin A+sin B=2sin C,a=2b. (1)求 cos A 的值; (2)若△ABC 的面积 S△ABC=4 15,求△ABC 三边的长. 19.(本小题满分 12 分) 已知正项等比数列{bn}(n∈N*)中,公比 q>1,且 b3+b5=40,b3·b5=256,an=log2bn+2. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 cn=a
1 ,求数列{cn}的前 · a n n+1 3

n 项和 Sn.

20.(本小题满分 12 分) 某公司新研发了甲、乙两种型号的机器,已知生产一台甲种型号的机器需资金 30 万元, 劳动力 5 人,可获利润 6 万元,生产一台乙种型号的机器需资金 20 万元,劳动力 10 人,可 获利润 8 万元.若该公司每周有 300 万元的资金和 110 个劳动力可供生产这两种机器, 那么每周这两种机器各生产多少台,才能使周利润达到最大,最大利润是多少? 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(ax2-1)·ex,a∈R. (1)若函数 f(x)在 x=1 时取得极值,求 a 的值; (2)当 a≤0 时,求函数 f(x)的单调区间. 22.(本小题满分 12 分) 各项均为正数的数列{xn}对一切 n∈N*均满足 xn+x 证明:(1)xn<xn+1; (2)1-n<xn<1.
1 1
n+1

<2.

2015 届高三第三次联考·数学试卷 参 考 答 案
1.C 由题知集合 M={x|-3<x<2}, 所以 M∩( 2.D 3.B 4.A 5.C 6.A S9=
RN)={x|-3<x<1}. RN={x|x<1

或 x>3},

9(a1 +a9 ) 9(a3 +a7 ) 9×20 = = =90. 2 2 2 2sinθcosθ 2tanθ = =1. sin2 θ+cos2 θ tan2 θ+1

sin 2θ=

根据题意可知,选项 A、C 都能推出 a>b 成立,但是根据 a>b 不能推出 A 选项成立,故答案选 A.
a6 +a9 3 1 1 3 1 3 =q = ,q= ,a8+a11=(a6+a9)q2= × = . a3 +a6 8 2 4 4 16

因为 a-b 与 a 垂直,所以(a-b)·a=0,所以 a·a=b·a,所以 cosa,b=
π 6

a· b a· a |a| 3 = = = ,所以 |a||b| |a||b| |b| 2

a,b= . 7.D 由题意可知,a3+a11≥2 a3 · a11 =2a7,所以有 2≤
a3 +a11 a3 +a11 ≤2,从而 =2,当且仅当 a3=a11 时取得 a7 a7

等号.此时数列{an}是常数列. 8.A 由题意可知 f(2)=0,解得 k=2,所以 f(x)=ax-2-1,又因为是减函数,所以 0<a<1.此时 g(x)=loga(x+2)也 是单调减的,且过点(-1,0).故选 A 符合题意. 9.B
2 5

因为 0<x<1,所以 +

4 9 4 9 4(1-x) 9x =( + )[x+(1-x)]=4+9+ + ≥13+2 x 1-x x 1-x x 1-x

36=25,当且仅当

4(1-x) 9x = ,即 x 1-x

x= 时取得等号. 10.C 由题意知 a2a8=82=a2 5 ,即 a5=8,设公比为 q(q>0),所以
4a5 32 32 +a5q2= 2 +8q2≥2 2 × q2 q q

4a3+a7=

8q2 =32,当且仅当 q2 =8q2,即 q2=2 时取等号,此时 a1=q5 4 =2.

32

a

11.B 由 xn+2=|xn+1-xn|,得 x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4=|x3-x2|=|1-2a|,因为数列{xn}的周期为 3,所以 x4=x1, 即|1-2a|=1,解得 a=0 或 a=1.当 a=0 时,数列为 1,0,1,1,0,1…,所以 S2014=2×671+1=1343.当 a=1 时,数 列为 1,1,0,1,1,0,…,所以 S2014=2×671+1=1343.

x+y+4 >0 x+y+4 >0 12.D 要使不等式成立,则有 3x + y-2 > 0 ,即 3x + y-2 > 0 ,设 z=x-y,则 y=x-z.作出不 x<3 x + y + 4 > 3x + y-2
等式组对应的可行域如图所示的阴影部分(不包括左右边界):

平移直线 y=x-z,由图象可知当直线 y=x-z 经过点 B 时,直线在 y 轴上的截距最小,此时 z 最大,由

x+y+4 =0 ,解得 y = -7,代入 z=x-y 得 z=x-y=3+7=10,又因为可行域不包括点 B,所以 z<10,所 x=3 x=3
以要使 x-y<λ 恒成立,则 λ 的取值范围是 λ≥10,即[10,+∞). 13.4 14.23 a+4b≥2 4ab=8,当且仅当 a=4b 时取等号,结合 a>0,b>0,ab=4,所以 a=4,b=1, =4. 作出可行域,如图所示:
a b

当目标函数 z=2x+3y 经过 x-y+1=0 与 2x-y=3 的交点(4,5)时,有最大值 2×4+3×5=23. 15.8 函数 y=ax+2-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A(-2,-1), 所以(-2)·m+(-1)·n+1=0,2m+n=1,又 mn>0,所以
1 2 1 2 n 4m n 4m n 4m 1 1 + =( + )·(2m+n)=4+ + ≥4+2 · =8.当且仅当 = ,即 m= ,n= 时取等号. m n m n m n m n m n 4 2

16.10

法一:S6=6a1+15d≥21,S15=15a1+105d≤120,∴2a1+5d≥7,a1+7d≤8.
2 9 13 9

又 a10=a1+9d=- (2a1+5d)+ (a1+7d) ≤- ×7+ ×8=10. 法二:设 a1=x,d=y,
2 9 13 9

2x + 5y ≥ 7 , x + 7y ≤ 8

目标函数 a10=z=x+9y,画出平面区域知 a10=z=x+9y 在点(1,1)处取到最大值 10.

17.解:(1)由 f(x)≥0 恒成,立即 x2-kx+k-1≥0 恒成立,所以 Δ=k2-4(k-1)=(k-2)2≤0,所以 k=2. ................. 5 分 (2)当 k∈R 时,f(x)>0 等价于 x2-kx+k-1>0?(x-1)[x-(k-1)]>0. 由 k-1=1,得 k=2. ∴当 k=2 时,不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞), 当 k<2 时,不等式的解集为(-∞,k-1)∪(1,+∞), 当 k>2 时,不等式的解集为(-∞,1)∪(k-1,+∞). ................................................................................... 10 分 18.解:(1)因为 sin A+sin B=2sin C,由正弦定理得 a+b=2c. 又 a=2b,可得 a= c,b= c, 所以 cos A=
2 2 2 b2 +c2 -a2 9c +c - 9 c 1 = =- .............................................................................................. 6 分 2 2bc 4 2× 3c2

4 3

2 3

4

16

(2)由(1)cos A=- ,A∈(0,π),所以 sin A= 所以 S△ABC= bcsin A= × c×c×
1 2 1 2 2 3 15 3 = 4 4

1 4

15 , 4

15,

得 c2=9,即 c=3 ,所以 b=2,a=4. ..................................................................................................... 12 分 19.解:(1)由

b3 + b5 = 40, 知 b3,b5 是方程 x2-40x+256=0 的两根,注意到 bn+1>bn, b3 · b5 = 256,
b b3

得 b3=8,b5=32,因为 q2= 5=4,所以 q=2 或 q=-2(舍去), 所以 b1= 2= =2,所以 bn=b1qn-1=2n,an=log2bn+2=log22n+2=n+2. 因为 an+1-an=[(n+1)+2]-[n+2]=1, 所以数列{an}是首项为 3,公差为 1 的等差数列. .............................................................................. 7 分 (2)因为 an=3+(n-1)×1=n+2,所以 cn= 所以 Sn=
11 11 34 45 1 1 1 + +…+ 3×4 4×5 (n+2)(n+3) 1 1 n+2 n+3 1 , (n+2)(n+3) b3 8 q 4

= - + - +…+ =

n . ......................................................................................................................................... 12 分 3n+9

30x + 20y ≤ 300 5x + 10y ≤ 110 20.解:设每周生产甲种机器 x 台,乙种机器 y 台,周利润 z 万元,则 x ≥ 0 y≥0 x,y∈Z,
目标函数为 z=6x+8y. 作出不等式组表示的平面区域,且作直线 l:6x+8y=0,即 3x+4y=0,如图:

...................................................................................................................................................... 6 分 把直线 l 向右上方平移至 l3 的位置时,直线 l3 过可行域上的点 M 时直线的截距最大,即 z 取最大值,解方 程组

30x + 20y = 300 x=4 (x≥0,y≥0,x,y∈Z)得 ,所以点 M 坐标为(4,9),将 x=4,y=9 代入目标函数 y=9 5x + 10y = 110

z=6x+8y 得最大值 z=6×4+8×9=96(万元). 所以每周应生产甲种机器 4 台、乙种机器 9 台时,公司可获得最大周利润为 96 万元. .................. 12 分 21.解:(1)f'(x)=(ax2+2ax-1)·ex,x∈R. ................................................................................................. 2 分 依题意得 f'(1)=(3a-1)·e=0,解得 a= .经检验符合题意. .................................................................... 4 分 (2)f'(x)=(ax2+2ax-1)·ex,设 g(x)=ax2+2ax-1. ①当 a=0 时,f(x)=-ex,f(x)在(-∞,+∞)上为单调减函数. ........................................................................ 5 分 ②当 a<0 时,方程 g(x)=ax2+2ax-1=0 的判别式为 Δ=4a2+4a, 令 Δ=0,解得 a=0(舍去)或 a=-1. 1°当 a=-1 时,g(x)=-x2-2x-1=-(x+1)2≤0, 即 f'(x)=(ax2+2ax-1)·ex≤0, 且 f'(x)在 x=-1 两侧同号,仅在 x=-1 时等于 0, 则 f(x)在(-∞,+∞)上为单调减函数. 2°当-1<a<0 时,Δ<0,则 g(x)=ax2+2ax-1<0 恒成立, 即 f'(x)<0 恒成立,则 f(x)在(-∞,+∞)上为单调减函数. 3°a<-1 时,Δ=4a2+4a>0,令 g(x)=0,得 x1=-1+
a2 +a a2 +a ,x2=-1,且 x2>x1. a a a2 +a a2 +a 时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-1+ )上为单调减函数; a a 1 3

所以当 x<-1+ 当-1+

a2 +a a2 +a a2 +a a2 +a <x<-1时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(-1+ ,-1)上为单调增函数; a a a a

当 x>-1-

a2 +a a2 +a 时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(-1,+∞)上为单调减函数. a a

综上所述,当-1≤a≤0 时,函数 f(x)的单调减区间为(-∞,+∞);当 a<-1 时,函数 f(x)的单调减区间为(-∞,1+
a2 +a a2 +a a2 +a a2 +a ),(-1,+∞),函数 f(x)的单调增区间为(-1+ ,-1)......................................... 12 分 a a a a 1 <2, xn+1

22.证明:(1)因为 xn>0,xn+ 所以 0<
1 <2-xn, xn+1 1 ,且 2-xn>0. 2-xn

所以 xn+1> 因为 所以

2 1 x2 n -2xn +1 (xn -1) -xn= = ≥0. 2-xn 2-xn 2-xn

1 1 ≥xn,所以 xn≤ <xn+1,即 xn<xn+1. ...................................................................................... 5 分 2-xn 2-xn 1 n

(2)下面用数学归纳法证明:xn>1- . ①当 n=1 时,由题设 x1>0 可知结论成立; ②假设 n=k 时,xk>1- , 当 n=k+1 时,由(1)得 xk+1>
1 n 1 1 k 1 > = =1. k+1 2-xk 2-(1-1) k+1
k

1 k

由①,②可得 xn>1- . ....................................................................................................................... 8 分 下面先证明 xn≤1. 假设存在自然数 k,使得 xk>1,则一定存在自然数 m,使得 xk>1+ . 因为 xk+
1 1 1 m <2,xk+1> > = , xk+1 2-xk 2-(1+ 1 ) m-1
m

1 m

1 1 m-1 m-(m-2) xk+2> > = ,…,xk+m-1> =2, 2-xk+1 2-(1+ 1 ) m-2 m-(m-1)
m-1

与题设 xk+

1 <2 矛盾,所以 xn≤1. xk+1

若 xk=1,则 xk+1>xk=1,根据上述证明可知存在矛盾. 所以 xn<1 成立............................................................................................................................. 12 分


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