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(非常好)等差等比数列基础知识点以及练习题(含答案)

2013 一、等差等比数列基础知识点
(一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {a n }满足 a n ?1 ? a n ? d (常数 ), 则{a n } 称等差数列; 2°.通项公式: a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? a k ? ( n ? k ) d ; 3°.前 n 项和公式:公式: S n ?
n ( a1 ? a n ) 2 ? na 1 ? n ( n ? 1) 2

d.

② 等 比 数 列 : 1 ° . 定 义 若 数 列 { a n }满足

a n ?1 an

? q ( 常 数 ) 则 {a n } 称 等 比 数 列 ; 2 ° . 通 项 公 式 : ,

a n ? a1 q

n ?1

? ak q

n?k

; 3°.前 n 项和公式: S n ?

a1 ? a n q 1? q

?

a 1 (1 ? q )
n

1? q

( q ? 1), 当 q=1 时 S n ? na 1 .

2.简单性质: ①首尾项性质:设数列 {a n } : a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n , 1°.若 { a n } 是等差数列,则 a 1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ; 2°.若 { a n } 是等比数列,则 a 1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a 3 ? a n ? 2 ? ? .

②中项及性质: 1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ?
a?b 2 ;

2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab . ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s , 1°. 若 { a n } 是等差数列,则 a p ? a q ? a r ? a s ; 2°. 若 { a n } 是等比数列,则 a p ? a q ? a r ? a s ; ④顺次 n 项和性质:

1°.若 { a n } 是公差为 d 的等差数列, 则 ? a k ,
k ?1 n

n

k ? n ?1

?

2n

ak ,

k ? 2 n ?1

?a
3n

3n

k

组成公差为 n2d 的等差数列;

2°. 若 { a n } 是公差为 q 的等比数列, 则 ? a k ,
k ?1

k ? n ?1

?

2n

ak ,

k ? 2 n ?1

?a

k

组成公差为 qn 的等比数列.(注意:当 q=-1,n 为

偶数时这个结论不成立) ⑤若 { a n } 是等比数列,
1

则顺次 n 项的乘积: a 1 a 2 ? a n , a n ?1 a n ? 2 ? a 2 n , a 2 n ?1 a 2 n ? 2 ? a 3 n 组成公比这 q ⑥若 { a n } 是公差为 d 的等差数列,

n

2

的等比数列.

1°.若 n 为奇数,则 S n ? na 中 且 S 奇 ? S 偶 ? a 中 ( 注 : a 中 指中项 , 即 a 中 ? a n ?1 , 而 S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶
2

数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ?
nd 2 .

(二)学习要点: 1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差 d≠0 的等差数列的通项公式是项 n 的一 次函数 an=an+b;②公差 d≠0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;③公比 q≠1 的等 比数列的前 n 项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的. 2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证 明的性质解题. 3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m(或 a-m,a,a+m ) ② 三 数 成 等 比 数 列 , 可 设 三 数 为 “ a,aq,aq2( 或 ”
a q

, a,aq) ” ③ 四 数 成 等 差 数 列 , 可 设 四 数 为

“ a , a ? m , a ? 2 m , a ? 3 m (或 a ? 3 m , a ? m , a ? m , a ? 3 m ); ” ④ 四 数 成 等 比 数 列 , 可 设 四 数 为 “ a , aq , aq , aq (或
2 3

a q
3

,?

a q

, aq , ? aq ), ”等等;类似的经验还很多,应在学习中总结经验.
3

[例 1]解答下述问题: 1 1 1 (Ⅰ)已知 , , 成等差数列,求证: a b c b?c c?a a?b , , (1) 成等差数列; a b c b b b (2) a ? , ? , c ? 成等比数列. 2 2 2 [解析]该问题应该选择“中项”的知识解决,
?

① ? 2 ac ? b ( a ? c ), ② 2 2 2 2 b ? c a ? b bc ? c ? a ? ab b(a ? c) ? a ? c (1) ? ? ? ? a c ac ac
a ? c ? b ? ac ? b ? 2(a ? c )
2

1

1

2

a?c

2

b(a ? c)

?

2(a ? c ) b

.

?

b?c c?a a?b , , 成等差数列 ; a b c b 2 )( c ? b b 2 ) ? ac ? b b 2 (a ? c) ? b b 2 ? (? ) , 4 2
2

( 2 )( a ? ?a? b

成等比数列 . 2 2 2 [评析]判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有:根据“中项”性质、根据“定义”判断,. ①
2

,?

,c ?



(Ⅱ)等比数列的项数 n 为奇数,且所有奇数项的乘积为 1024,所有偶数项的乘积为
128 2 ,求项数 n.
a1 a 3 a 5 ? a n a 2 a 4 ? a n ?1
(1)
35 35 2 5

[解析]设公比为 q ,?
n ?1

?

1024 128 2

?4 2

? a1 ? q

2

?4 2

而 a 1 a 2 a 3 ? a n ? 1024 ? 128 2 ? 2
n ?1 35

? a1 ? q
35 n 2

1? 2 ? 3

? ? ( n ? 1) ? 2

2

? ( a1 ? q ? 5n 2 ? 2

2

) ?2
n

2

, 将 (1) 代入得 ( 2 2 ) ? 2

,

35

, 得 n ? 7.

( Ⅲ ) 等 差 数 列 {an} 中 , 公 差 d ≠ 0 , 在 此 数 列 中 依 次 取 出 部 分 项 组 成 的 数 列 :
a k1 , a k 2 , ? , a k n 恰为等比数列 , 其中 k 1 ? 1, k 2 ? 5, k 3 ? 17 ,

求数列 {k n }的前 n 项和 . [解析]? a 1 , a 5 , a 17 成等比数列 ,? a 5 ? a 1 ? a 17 ,
2

? ( a 1 ? 4 d ) ? a 1 ? ( a 1 ? 16 d ) ? d ( a 1 ? 2 d ) ? 0
2

? d ? 0 ,? a 1 ? 2 d , ? 数列 { a k n }的公比 q ? ? a k n ? a1 ? 3
n ?1

a5 a1
n ?1

?

a1 ? 4 d a1

? 3,

? 2d ? 3

① ②

而 a k n ? a 1 ? ( k n ? 1) d ? 2 d ? ( k n ? 1) d 由 ①,② 得 k n ? 2 ? 3
n ?1

? 1,
n

{ k n }的前 n 项和 S n ? 2 ?

3 ?1 3 ?1

? n ? 3 ? n ? 1.
n

[评析]例 2 是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例 3]解答下述问题: (Ⅰ)三数成等比数列,若将第三项减去 32,则成等差数列;再将此等差数列的第二项减去 4,又成等比数列, 求原来的三数. [解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单, 设等差数列的三项分别为 a-d, a, a+d,则有
? ( a ? d )( a ? d ? 32 ) ? a 2 ? d 2 ? 32 d ? 32 a ? 0 ? ? ? ? ? 2 ? ( a ? 4 ) ? ( a ? d )( a ? d ) ?8 a ? 16 ? d 2 ? ? ? 3 d ? 32 d ? 64 ? 0 ,? d ? 8或 d ?
2

8 3

, 得 a ? 10 或

26 9

,

? 原三数为 2 ,10 ,50 或

2 26 338 , , . 9 9 9

(Ⅱ)有四个正整数成等差数列,公差为 10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数.
3

[解析]设此四数为 a ? 15 , a ? 5, a ? 5, a ? 15 ( a ? 15 ) ,
? ( a ? 15 ) ? ( a ? 5 ) ? ( a ? 5 ) ? ( a ? 15 ) ? ( 2 m ) ( m ? N )
2 2 2 2 2 ?

? 4 a ? 500 ? 4 m ? ( m ? a )( m ? a ) ? 125 ,
2 2

? 125 ? 1 ? 125 ? 5 ? 25 , ? m ? a 与 m ? a 均为正整数 , 且 m ? a ? m ? a , ?m ? a ? 1 ?m ? a ? 2 ?? ? ? ? m ? a ? 125 ? m ? a ? 25

解得 a ? 62 或 a ? 12 (不合 ), ? 所求四数为 47,57,67,77 [评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主 要方法.

等差数列

等比数列 (定义) (等差中项) (通项公式)

?an-an-1=d ?2an=an-1+an+1 ?an=am+(n-m)d

?=q ?an2=an-1an+1 ?an=amqn-m

(定义) (等差中项) (通项公式)

?m+n=p+q am+an=ap+aq(通项公式) ?S1=a1 ?an=Sn-Sn-1

?m+n=p+q aman=apaq (通项公式) ?S1=a1 ?an=Sn-Sn-1

?a1+an=a2+an-1=a3+an-2?(在等差数列中, ? Sn , S2n-Sn , S3n-S2n ,?, Skn-S(k-1)n 成等比数列,
首末两项距离相等的两项和等于首末两项 q=qn 的和)[e.g.? a7+a8=a1+a14 ?2a10=a5+a15]

?Sn= ?S2n-1=(2n-1)an ? Sn , S2n-Sn , S3n-S2n ,?, Skn-S(k-1)n 成等差数
列,公差 d=n2d

4

1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 (A)为常数数列 (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在





2.、在等差数列 ?a n ? 中, a 1 ? 4 ,且 a 1 , a 5 , a 13 成等比数列,则 ?a n ? 的通项公式为 (A) a n ? 3 n ? 1 (B) a n ? n ? 3 (C) a n ? 3 n ? 1 或 a n ? 4

( (D) a n ? n ? 3 或 a n ? 4



3、已知 a , b , c 成等比数列,且 x, y 分别为 a 与 b 、 b 与 c 的等差中项,则

a x

?

c y

的值为





(A)

1 2

(B) ? 2

(C) 2

(D) 不确定
2 2
2

4、互不相等的三个正数 a , b , c 成等差数列, x 是 a,b 的等比中项, y 是 b,c 的等比中项,那么 x , b , y 三个数( (A)成等差数列不成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列 5、已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , S 2 n ?1 ? 4 n (A) a n ? 2 n ? 2 6、已知 ( z ? x )
2



(B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列
2

? 2 n ,则此数列的通项公式为
(C) a n ? 2
n ?1

( (D) a n ? n
2



(B) a n ? 8 n ? 2

?n
( )

? 4 ( x ? y )( y ? z ) ,则
1 1 1 , , 成等差数列 x y z

(A) x , y , z 成等差数列

(B) x , y , z 成等比数列

(C)

(D)

1 1 1 , , 成等比数列 x y z
( )

7、数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? a

n

? 1 ,则关于数列 ?a n ? 的下列说法中,正确的个数有
②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (D)1

①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 (A)4 8、数列 1 (B)3

③可能是等比数列,也可能是等差数列

(C)2

1 2

,3

1 4
2

,5 ?

1 8 1 2

,7

1 16

, ? ,前 n 项和为
(B) n
2





(A) n

n

?1

? 2

1
n ?1

?

1 2

(C) n

2

?n?

1 2
n

?1

(D) n

2

?n? 2

1
n ?1

?

1 2
( )

9、若两个等差数列 ?a n ? 、 ?b n ? 的前 n 项和分别为 A n 、 B n ,且满足

An Bn
7 8

?

4n ? 2 5n ? 5

,则

a 5 ? a 13 b 5 ? b13

的值为

(A)

7 9

(B)

8 7
2

(C)

19 20

(D)

10、已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ? n (A)56 (B)58

? 5 n ? 2 ,则数列 ? a n ? 的前 10 项和为
(D)60





(C)62

11、已知数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? n ? 5 为, 从 ?a n ? 中依次取出第 3,9,27,…3n, …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列 的前 n 项和为 ( (B) 3 ? 5
n



(A)

n ( 3 ? 13 )
n

(C)

3 ? 10 n ? 3
n

(D)

3

n ?1

? 10 n ? 3 2
5

2

2

12、下列命题中是真命题的是 A.数列 ?a n ? 是等差数列的充要条件是 a n ? pn ? q ( p ? 0 ) B.已知一个数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ? an C.数列 ?a n ? 是等比数列的充要条件 a n ? ab D.如果一个数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? ab 二、填空题 13、各项都是正数的等比数列 ?a n ? ,公比 q ? 1 a 5 , a 7 , a 8 ,成等差数列,则公比 q = 14、已知等差数列 ?a n ? ,公差 d ? 0 , a 1 , a 5 , a 17 成等比数列,则 15、已知数列 ?a n ? 满足 S n ? 1 ?
n 2

(

)

? bn ? a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

n ?1

? c ( a ? 0 , b ? 0 , b ? 1) ,则此数列是等比数列的充要条件是 a ? c ? 0

a 1 ? a 5 ? a 17 a 2 ? a 6 ? a 18

=

1 4

a n ,则 a n =

16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 一、 解答题 17、已知数列 ?a n ? 是公差 d 不为零的等差数列,数列 a b

? ? 是公比为 q 的等比数列, b
n

1

? 1, b 2 ? 10 , b 3 ? 46 ,求公比 q 及 b n 。

18、已知等差数列 ?a n ? 的公差与等比数列 ?b n ? 的公比相等,且都等于 d ( d ? 0 , d ? 1) , a 1 ? b1 ,a 3 ? 3b 3 , a 5 ? 5b 5 ,求 a n , b n 。

19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。

20、已知 ?a n ? 为等比数列, a 3 ? 2, a 2 ? a 4 ?

20 3

,求 ? a n ? 的通项式。

21、数列 ? a n ? 的前 n 项和记为 S n , a1 ? 1, a n ?1 ? 2 S n ? 1 ? n ? 1 ? (Ⅰ)求 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ? b n ? 的各项为正,其前 n 项和为 T n ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a 2 ? b2 , a 3 ? b3 成等比数列,求 T n

22、已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2 a n ? 1( n ? N ).
*

(I)求数列 ? a n ? 的通项公式; (II)若数列 ? b n ? 满足 4
b1 ?1

.4

b2 ? 1

...4

bn ?1

? ( a n ? 1) n ( n ? N ) ,证明: ? b n ? 是等差数列;
b ?

6

数列综合题
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13.
1? 2 5

1 B

2 D

3 C

4 A

5 A

6 A

7 C

8 A

9 D

10 D

11 D

12 D

14.

26 29

15.

4

1 n (? ) 3 3

16. ? 6 3

三、解答题 17.a b1 =a1,a b 2 =a10=a1+9d,a b 3 =a46=a1+45d 由{abn}为等比数例,得(a1+9d)2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第 bna 项,及 abn=ab1·n-1=3d·n-1,a1+(bn-1)d=3d·n-1 4 4 4

∴bn=3·n-1-2 4 18.∴ a3=3b3 , ? a1+2d=3a1d2 , ? a1(1-3d2)=-2d ? a5=5b5, ? a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d
4

① ② bn=a1dn-1=- 5 · (
5 5

② 1 ? 5d 1 5 5 ,得 =2,∴ d2=1 或 d2= ,由题意,d= ,a1=- 5 。∴an=a1+(n-1)d= (n-6) 2 ① 5 5 5 1 ? 3d 19.设这四个数为
a q , a , aq , 2 aq ? a

)n-1

?a ? · a ? aq ? 216 则?q ? a ? aq ? ( 3 aq ? a ) ? 36 ?



由①,得 a3=216,a=6




③代入②,得 3aq=36,q=2

∴这四个数为 3,6,12,18

a3 2 20.解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q q q 所以 2 20 1 + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, q 3 3

1 1 - 18 - 当 q1= , a1=18.所以 an=18× )n 1= n-1 = 2× 3 n. ( 3 3 3 3 当 q=3 时, a1= 2 2 - , 所以 an= × 3n-1=2× n 3. 3 9 9

21.解:(I)由 a n ?1 ? 2 S n ? 1 可得 a n ? 2 S n ?1 ? 1 ? n ? 2 ? ,两式相减得
a n ?1 ? a n ? 2 a n , a n ?1 ? 3 a n ? n ? 2 ?

又 a 2 ? 2 S 1 ? 1 ? 3 ∴ a 2 ? 3 a1 故 ? a n ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列
7

∴ a n ? 3 n ?1 (Ⅱ)设 ? b n ? 的公差为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a 2 ? 3, a 3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1 ? ? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? 解得 d 1 ? 2, d 2 ? 10 ∵等差数列 ? b n ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3 n ?
n ? n ? 1? 2 ? 2 ? n ? 2n
2
2

22(I) ? a n ?1 ? 2 a n ? n ?,)N * : ( 1
? a n ?1 ? 1 ? 2( a n ? 1),

? ? a n ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2 .
n



a n ? 2 ? 1( n ? N ).
2 * b1 ?1

(II)证法一:? 4
?4
( b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n

4

b2 ? 1

...4

bn ?1

? ( a n ? 1) n .
b

?2

nbn

.

? 2[( b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n ] ? nbn , 2[( b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn ?1 ) ? ( n ? 1)] ? ( n ? 1)bn ?1 .

① ②

②-①,得 2( bn ?1 ? 1) ? ( n ? 1) bn ?1 ? nbn , 即 ( n ? 1) bn ?1 ? nbn ? 2 ? 0,
nbn ? 2 ? ( n ? 1) bn ?1 ? 2 ? 0.

③ ④

④-③,得

nbn ? 2 ? 2 nbn ?1 ? nbn ? 0,
8



bn ? 2 ? 2 bn ?1 ? bn ? 0,
*

? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn ( n ? N ),

? ? bn ? 是等差数列。

9


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