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高中数学人教A版必修一同步辅导与检测3.2.3函数模型的应用实例_图文

函数的应用 3.2 函数模型及其应用 3.2.3 函数模型的应用实例 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式,初 步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问 题.体会运用函数思想处理现实生活和社会中的简单 问题. 2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指 数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了 解函数模型的广泛应用. 基础梳理 1.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括, 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出 的关于实际问题的数学描述. 例如:已知一支钢笔3元,现需购x支,其需要钱数 y=3x(x∈N*) 为y,则y与x的函数关系是:____________. 2.数学模型方法,是把实际问题加以抽象概括, 建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的 一般数学方法. 例如:一个正方形边长为x,其面积为y,则y与x的 y__________. =x2(x∈R) 函数关系是: 3.数学应用题的能力要求 (1)阅读理解能力; (2)抽象概括能力; (3)数学语言的运用能力; (4)分析、解决数学问题能力. 4.解答应用题的基本步骤 (1)合理、恰当假设; (2)抽象概括数量关系,并能用数学语言表示; (3)分析、解决数学问题; (4)数学问题的解向实际问题还原. 例如:一个细胞一次分裂成二个,第二次由这两个分 裂成四个,等等,经x次分裂后得到y个细胞,则y与x的函数 y=2x(x∈N*) 关系是:______________. 5.在实际问题中函数的定义域必须根据自变量所代表 的实际意义来确定,准确确定函数的定义域是建立函数模 型解答实际问题的一个关键环节,不可忽视. 6.数学模型来源于实践,是实际问题的抽象和概括, 因此首先必须对实际问题要有深刻的理解,应不断培养自 己的抽象概括能力和坚实的数学基础,当然需要有较强的 运算能力. 例如:某种动物繁殖数量y只与时间x年的关系为y= 24只 . 3· 2x,则第3年这种动物繁殖有______ 7.根据收集到的数据,作出散点图,然后通过观 察图象判断问题所适用的函数模型,再用得到的函数模 型解决相应问题,这是函数应用的一个基本过程. 例如:某同学最近5年内的学习费用y千元与时间x 年的关系如下图所示,可选择的模拟函数模型是( B ) A.y=ax+b C.y=aex+b B.y=ax2+bx+c D.y=aln x+b 8.我们已经学习到的用来与实际问题拟合的函 数有:一次函数、反比例函数、二次函数、指数型函 数、对数型函数等. 9.在求其具体解析式时用到的最重要的方法是: 待定系数法. 例如:已知y与x是一次函数关系,现已知当x=2 时,y=6; 当x=3时,y=8则y与x的函数关系是: y=2x+2 ____________. 思考应用 1.在没有给出具体模型的问题中,如何建立函数模型? 解析:首先画出散点图,然后根据散点图描绘出函数草 图,联想熟悉的函数图象预测可能的函数模型,最后要检测所 求函数模型与实际误差的大小,在多个模型中选择最优模 型.关于函数拟合与预测的主要步骤有:根据原始数据、表格, 绘出散点图;通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线, 即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或 曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情.但在 实际应用中,这种情况是不可能发生的.因此,使实际点尽可 能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点大体相等,得出的 拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.根据所学函数知识, 求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.利用函数关系式,根 据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据. 2.若已知函数模型的类型,如何确定函数模型 的解析表达式? 解析:已知函数模型的类型后,可以用待定系数 法求函数模型的解析表达式.如一次函数模型可设y =ax+b,需两个条件求待定系数a,b.二次函数模型 可设y=ax2+bx+c (a?0),需三个条件求待定系数a, b,c.指数型函数模型可设y=kax+b,需三个条件求待 定系数k,a,b. 自测自评 1.某地土地沙化严重,最近三年测得沙漠增加值分 别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加值y 公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( C ) A.y=0.2 x B.y= 10 (x2+2x) 2x C.y= D.y=0.2+log16x 10 2.某人2009年7月1日到银行存入一年期款a元,若年 利率x复利计算,则2012年7月1日可取款( A ) 1 A.a(1+x)3元 C.a+(1+x)3元 B.a(1+x)4元 D.a(1+x3)元 3.制造印花机的成本y元与印花机的生产能力x米/分钟 之间有函数关系y=a ? x .已知印花机的生产能力达到每分钟 花布1000米时,需投入成本50000元,问要使生产能力达到 2 3 60500 元. 每分钟印花布1331米时,需投入成本是__________ 利用散点图拟合函数,建立函数模型 某皮鞋厂,从今年1月份开始投产,并且前4 个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万 双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的销售情况良 好.为了推销员在推销产品时,接受定单不至于过多或过 少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加 是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里暂时不准备 增加设备和工人.假如你是厂长,将会采取什么办法估算 以后几个月的产量? 分析:作出图象如右图, 图上可以得到四个点: A(1,1)、B(2,1.2)、 C(3,1.3)、D(4,1.37). 解析:法一:(一次函数模拟) 设模拟函数为y=ax+b,将B、C两点的坐标代入函数 式, 有 ?3a+b= 1.3, ? ? ? ?2a+b= 1.2. 解之得 ? ?a= 0.1, ? ?b= 1. ? 所

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