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高中数学复习指导系列专题一:集合与函数


高中数学复习指导系列专题

第一讲 集合与函数

第一章 集合 【知识要点】 知识要点】
(一)集合的概念
1.集合、子集、空集的概念. 2.集合中元素的 3 个性质:确定性、互异性、无序性.集合的 3 种表示方法:列举法、描 述法、图示法.
n 3.子集的个数:含有 n 元素的集合的所有子集的个数为 2 .



1.解决集合问题,首先要弄清楚集合中的元素是什么;
法 概 述
2.弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简; 3.抓住集合中元素的 3 个性质,对互异性要注意检验; 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化.

(二)集合的运算
1.交集、并集、全集、补集的概念; 2. A I B = A ? A ? B , A U B = A ? A ? B ; 3. (痧 A )I U
方 法 概 述

( U B)=  (AU B), (痧 A)U( U B)=  (AI B). U U U
1. 交集、并集、补集,要 分 数 或 图的 用; 2.含 数的问题,要有 的意 ,分 要 空集 问题; 3.集合的化简是 的 , 转化 是 解题的关 .

【例题分析】 例题分析】
例 1、已知集合, P = { y | y = x 2 + 1} , Q = {x | y = x 2 + 1} , R = {( x, y) | y = x2 +1} ,则 P、 Q、R 之间的关系为( ) A. P = Q = R ; B. P ? Q C. P ? Q D. P ? Q ? R 解法要点:弄清集合中的元素是什么,能化简的集合要化简. 例 2、设集合 M = {x | x = A. M = N

k 1 k 1 + , k ∈ Z } , N = {x | x = + , k ∈ Z } ,则( 2 4 4 2 B. M ? N C. M ? N D. M I N = φ ≠



解法要点:通分或用列举法表示集合. 例 3、已知全集 U = R ,集合 A = { x | ?2 ≤ x ≤ 3} , B = { x | x < ?1或x > 4} ,那么集合

A I ( ?U B ) 等于(

) B. { x | x ≤ 3或x ≥ 4} ; D. { x | ?1 ≤ x ≤ 3} .

C. { x | ?2 ≤ x < ?1} ;

A. { x | ?2 ≤ x < 4} ;

解法要点:把集合表示在数轴上. 例 4、集合 A = { - 2 x,1,3}, B = 1, x 2 ,并且 A U B = A ,那么满足条件的实数 x 个数 3 有( )
1

{ }

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第一讲 集合与函数

A.1; B. 2; C.3; D.4. 解法要点:从 A U B = A 出发,推出集合 A 与 B 关系,再根据子集的类型分类讨论. 例 5、设集合 A = {1, ,则满足 A U B = {1 2, 的集合 B 的个数是( 2} , 3} A.1; B.3; C.4; D.8. 解法要点:列举集合 B. 例 6、如图 1—1,I 是全集,M、P、S 是 I 的 3 个子集,则阴影 部分所表示的集合是( ) A. (M∩P)∩S; B. (M∩P)∪S; C.(M∩P)∩ ? IS; D. (M∩P)∪ ? IS 解法要点:先考虑集合 P 与 N 的交集. )

I

6 例 7、用列举法化简集合 M={ x | ∈ Z , x ∈ Z }= 3? x
解法要点:从元素的特征进行分析.

图 1—1

【过关检测】 过关检测】
(一)选择题
1.集合{1,2,3}的非空真子集共有( ) A.5 个; B.6 个; C.7 个; 2.已知集合 A={ x x 2 ? 2 ≥ 0 } D.8 个. )

B={ x x 2 ? 4 x + 3 ≤ 0 }则 A U B = (

A.R; B.{ x x ≤ ? 2或x ≥ 1 }; C.{ x x ≤ 1或x ≥ 2 }; D.{ x x ≤ 2或x ≥ 3 }. 3.已知 A={1,2, a - 3a - 1 }, B = { }, A I B = { },则 a 等于( 1,3 3,1 A.-4 或 1; B.-1 或 4; C.-1; D.4. )
2



4.设 U={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={2,3,4},则( ? UA) U ( ? UB)=( A.{0}; B.{0,1}; C.{0,1,4}; D.{0,1,2,3,4}.

5.设 A={ x ∈ Z x 2 ? px + 15 = 0 },B={ x ∈ Z x 2 ? 5 x + q = 0 },若 A U B={2,3,5}, 则 A、B 分别为( ) A.{3,5}、{2,3}; C.{2,5}、{3,5}; 6.下列表示方法正确的是( ) {0}. )

B.{2,3}、{3,5}; D.{3,5}、{2,5}.

A.1 ? {0,1,2}; B.{1}∈{0,1,2};C.{0,1,2} ? {0,1,3};D. φ

N M 则 ( 7. 设集合 M = {3,a} , = {x | x 2 - 3 x < 0,x  Z } , I N = {1} , M U N 为
A.{1,3, a }; B.{1,2,3, a }; C.{1,2,3}; D.{1,3}.

8.集合 P= {( x,y ) | x - y = 2,x  R} ,Q= {( x,y ) | x + y = 2,x  R} ,则 P I Q 等于 ( )
2

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第一讲 集合与函数

A.(2,0);

B.{(2,0 )}; C.{0,2};

D. { y | y ≤ 2} .

二、填空题
9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为 10.若 A={1,4, x },B={1, x }且 A I B=B,则 x = 11.若 A= x x + 3 x - 10 < 0
2
2

. .

{

2

}

B= { | x < 3},,全集 U=R,则 A U (?U B)= x .



12.方程 x - 5 x + 6 = 0 的解集可表示为 方程组 ?

?2 x + 3 y = 13 的解集可表示为 ?3 x ? 2 y = 0



13.设集合 A= { - 3 #x x

2},B= {x | 2k - 1 #x

2k + 1},且 A ? B,则实数 k 的取

值范围是 . 14.设 U={三角形},M={直角三角形},N={等腰三角形},则 M I N= M U N= , ? UM=

, ,

? UN=

. 15.设全集为 U,用集合 A、B、C 的交、并、补集符号表图中的阴影部分。 (1) , (2) , (3)

? U(M U N)=



三、解答题
16. 设全集 U= {, 3,}, A= x x - 5 x + m = 0, x  U , ? A = {,}, m 的值. 1 2, 4 且 若 U 14 求

{

2

}

3

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第一讲 集合与函数

17.已知集合 A = a , a + 1, - 3 , B = a - 3, 2a - 1, a + 1 , 若 A I B = { 3},求实 数 a 的值.

{2

}

{

2

}

18.设 A =

{x | x 2 + 4 x = 0},B = {x x 2 + 2(a + 1) x + a 2 -

1 = 0},其中 x ? R ,如果

A I B=B,求实数 a 的取值范围.

第二章 函数的概念及性质
【知识要点】 知识要点】
(一)函数的概念
1、函数的概念及表示方法;2、用区间表示数集;3、函数定义域的求法;4、函数值域 的求法;5、函数解析式的求法;4、函数图象的画法.
1、判断函数是否为同一函数,看定义域和对应关系是否相同. 2、求函数的定义域转化为不等式(组)求解.对于实际问题,要考虑自变量应使实际问题有 意义;


若已知

f ( x) 的定义域 [ a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由 a ≤ g ( x) ≤ b 解出. f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法.

法 概 述
3、求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知

(3)已知函数图像,求函数解析式. (4)

f ( x) 满足某个等式,构造方程(组)求解.

4、求函数的值域,常用的方法有:直接法,配方法,判别式法,基本不等式法,逆求法(反 函数法) ,换元法,图像法,利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等. 4

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第一讲 集合与函数

(二)函数的单调性
1、判断函数的单调性;2、求函数的单调区间;3、求复合函数的单调区间;4、求函数 的最(小)值;
1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行, 因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,


函数的单调区间是定义域的子集;

法 概 述

2.判断函数的单调性的方法有: (1)用定义; (2)用已知函数的单调性; 3、复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则; 证明函数的单调性的一般步骤:①取值;②作差;③定号;④判断. 4、 求函数的最值要考虑区间的端点值, 对于二次函数, 还应考虑对称轴与区间的位置关系; 5.注意函数的单调性的应用,注意分类讨论与数形结合的应用.

(三)函数的奇偶性
1、函数奇偶性的定义; 2、奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数 的图象关于原点对称; (3)若 f ( x ) 为偶函数,则 f ( x ) = f (| x |) ; (4)若奇函数 f ( x ) 的定 义域包含 0 ,则 f (0) = 0 .
方 法 概 述
1.判断函数的奇偶性, 先要研究函数的定义域,有 还要对函数 注意 定义域 ; 2. 奇偶函数的图象 ,有 于判断函数的奇偶性; 3.判断函数的奇偶性有 用定义的 形 : , 必须

f ( x ) ± f ( ? x ) = 0 , f ( x ) = ±1 .
f (? x)
5.注意数形结合 的应用.

【例题分析】 例题分析】
例 1、设集合 A = 的函数的是( A. f : x ? y C. f : x ? y

{x | 0 #x 2}, B = {y | 0 # y 1},下列对应关系是表示从 A 到 B


1 x; 2 1 x; 3

B. f : x ? y D. f : x ? y

2x ; x.

解法要点:判断是否对于任意 x ? A ,按照对应法则 f 都有唯一的 y ? B 与之对应. x y

ì x 2 + 1(x < 0) ? ? 例 2、已知函数 f (x)= í ,则 f 轾(- 1) = ( f 臌 ? - x 2 (x > 0) ? ?



A.-1; B.1; C.4; D.-4. 解法要点:根据自变量的取值范围,选择相应的解析式求值. 例 3、 (1)函数 y =

2- x 的定义域是 x- 1
5

: (2)函数 y =

1 的定义 x+ 1- 1

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第一讲 集合与函数

域是 . 解法要点:列出 x 的不等式或不等式组求解 例 4*、 (1)已知函数 f ( x ) 的定义域是 [ ?1, 4 ] ,求函数 f (2 x + 1) 的定义域. (2)已知函数 f (2 x ? 1) 的定义域是 [ ?3, 3] ,求函数 f ( x ) 的定义域. 解法要点: (1)把 2 x + 1 看作整体,由 - 1 ? 2 x 的定义域为 [ ?3, 3] 就是 - 3 #x

3 ,再由 - 3 #x

1  4 求 x 的范围,; (2) f (2 x ? 1) 3 求 2 x - 1 的取值范围.

例 6、求下列函数的值域:

(1) y = 3 x 2 ? x + 2 ; (3) y =| x ? 1| + | x + 4 | ;

(2) y = ? x 2 ? 6 x ? 5 ;
(4) y =

2 ? sin x 2 + sin x

解法要点:利用配方法、图象法、分离系数法.

例 7、函数 f (x)= x + 1 的图象是( y y

) y y

1
O

1
A

x

1

O B

x

O

x

O D .

x

1
C

解法要点:利用图象平移规律. 例 8、 (1)已知一次函数 f ( x ) 满足 f (0) = 5 , f (- 2) = 1 ,则 f ( x ) = (2)已知函数 f (2 x ? 1) = 4 x + 1 ,则函数 f ( x ) = . (3)已知函数 f ( x ) 满足: f ( x ) + 2 f ( ? x ) = x , f ( x ) = 解法要点: (1)待定系数法; (2)换元法或配凑法; (3)方程组法.
6

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第一讲 集合与函数

例 9、函数 y = ? 1 ? 4 x 2 的单调递减区间是( A. ?-  , ú; ?



纟 ? è

1 2ú ?

+ ÷ B、 ê ,  ÷; ÷ ?

轹 1 ê2 ?

0 C、 犏 , ;

轾1 犏2 臌

0, D、 犏 .

轾1 犏2 臌

解法要点:利用复合函数的单调性求解. 例 10、试判断函数 f ( x ) = x +

2 在[ 2 , +? )上的单调性. x

解法要点: “定号”是关键,将“差式”变形,讨论分子、分母各因式的符号.

例 11、判断下列函数的奇偶性:

? x2 + x ( x < 0) 1 ? x2 ? . (1) f (x)= x - x ; (2) f ( x ) = ; (3 ) f ( x ) = ? 2 x+2 ?2 ? x ? x ( x > 0) ?
3

解法要点:先看定义域是否关于原点对称,再看 f (- x)=  f (x)是否成立.

2 例 12、函数 y = f (x ) 在( - 1 , 1 )上是减函数,且为奇函数,满足 f a - a - 1 +

(

)

f (a - 2) > 0 ,试 a 求的范围.
解法要点:利用单调性及定义域建立不等式组求解.

7

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第一讲 集合与函数

【过关检测】 过关检测】
1.下列函数可以表示同一函数的有 (1) f ( x ) = x, g ( x ) = ( x ) ;
2

. (2) f ( x) = x, g ( x) =

x2 ;

1 x0 , g ( x) = ; (4) f ( x) = x ? x + 1, g ( x) = x( x + 1) . x x 2.函数 f ( x) = x ? 2 + 3 ? x 的定义域为 . 1 的定义域为 . 3.函数 f ( x) = 9 ? x2 4.若函数 f ( x) = x 2 , 则f ( x + 1) = ______________ . 5.已知 f ( x + 1) = 2 x - 1, 则f ( x) = _____________ .
(3) f ( x) = 6.已知 f ( x ) = x ? 1 ,则 f ( 2) = ______ .

?x 2 , x < 0 7.已知 f ( x) = ? ,则 f (0) = _____ , f [ f ( ?1)] = _____ . ?2,  x ≥ 0 2 . 8.函数 y = ? 的值域为 x 9.函数 y = x 2 + 1, x ∈ R 的值域为 . 2 10.函数 y = x ? 2 x, x ∈ (0,3) 的值域为 . 11.下列函数在 (0,+∞) 上是减函数的有 . 2 (1) y = 2 x + 1 ; (2) y = ; (3) y = ? x 2 + 2 x ; (4) y = ? x 2 ? x + 1 . x
12.下列函数为奇函数的有____ ____(填序号) .

1 . x 13.设 f ( x ) 是 ( ?∞, +∞) 上的奇函数,且 f ( x + 2 ) = ? f ( x ) ,当 0 ≤ x ≤ 1 , f ( x ) = x ,则
① y = x + 1 ;② y = x 2 ? x ;③ y = 1 ;④ y = ?

f ( 7.5) = (



15.若函数 y = f ( x ) , x ∈ R 是奇函数,且 f (1) < f ( 2 ) ,则必有( C. f ( ?1) = f (1) ; A. f ( ?1) < f ( ?2 ) ; B. f ( ?1) > f ( ?2 ) ; D. f ( ?2 ) = f (1) .

A. 0.5 ; B. ?0.5 ; C. 1.5 ; D. ?1.5 . 14.下列结论正确的是( ) A.偶函数的图象一定与轴相交; B.奇函数的图象一定过原点; C.偶函数的图象若不经过原点,则它与轴的交点的个数一定是偶数; D.奇函数在定义域上一定单调. )

16.若偶函数 f ( x ) 在 ( ?∞, ?1] 上是增函数,则下列关系式成立的是( A. f ? ? ? < f ( ?1) < f ( 2 ) ; C. f ( 2 ) < f ( ?1) < f ? ? ? ;



? 3? ? 2?

? 3? ? 2?

? 3? ? 2? ? 3? D. f ( 2 ) < f ? ? ? < f ( ?1) . ? 2?
B. f ( ?1) < f ? ? ? < f ( 2 ) ;
8

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第一讲 集合与函数

17.若 f ( x ) =

18.已知 f ( x ) = ax + bx ? 4 ,其中 a 、 b 为常数,若 f ( ?2 ) = 2 ,则 f ( 2 ) 的值为(
2

C. f ( ?3) < f ( ?4 ) ;

1 是奇函数,则下列关系式成立的是( ) x?a B. f ( 3) < ? f ( ?4 ) ; A. f ( 3) < f ( 4 ) ;
D. f ( ?3) < f ( ?4 ) . D. ?10 .



A. ?2 ;

B. ?4 ;

C. ?6 ;

19.若 f ( x ) 为偶函数,其定义域为 R,且 f ( x ) 在 [ 0, +∞ ) 上为增函数,试比较 f ? ? ? 与

f ( a2 ? a + 1) 的大小.

? 3? ? 4?

20.判断下列函数的奇偶性:

x2 + 1 (1) f ( x ) = ; x

(2) f ( x ) = 2 x ? 3x + 1 ;
4 2

(3) f ( x ) = x + 1 + x ? 1 ;

(4) f ( x ) =

x2 ? x . x ?1

21.已知定义在 ( ?1,1) 上的奇函数 f ( x ) 为减函数,且 f (1 ? a ) + f (1 ? 2a ) > 0 ,求实数 a 的取值范围.

9


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