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计数原理 1


第2课时 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理的综合应用 类型一 组数问题 【典例1】(1)(2017·衡水高二检测)我们把个位数比十 位数小的两位数称为“和谐两位数”,则1,2,3,4四个 数组成的两位数中,“和谐两位数”有________个. (2)8张卡片上写着0,1,2,…,7共8个数字,取其中的三 张卡片排放在一起,可组成多少个不同的三位数? 【解题指南】(1)要组成一个“和谐两位数”可按个位 数进行分类,然后先排个位数再排十位数. (2)百位数字不能为0,同时每位上的数字不能重复. 【解析】(1)当个位数为1时,十位数可以是2,3,4任意 一个,有3种选法;当个位数为2时,十位数可以是3,4任 意一个,有2种选法; 当个位数为3时,十位数只能是4,有1种选法;由分类加 法计数原理,满足条件的“和谐两位数”有 3+2+1=6(个). 答案:6 (2)先排放百位从1,2,…,7共7个数中选一个,有7种选 法; 再排十位,从除去百位的数外,剩余的7个数(包括0)中 选一个,有7种选法;最后排个位,从除前两步选出的数 外,剩余的6个数中选一个,有6种选法.由分步乘法计数 原理,共可以组成7×7×6=294(个)不同的三位数. 【延伸探究】 1.典例1(2)条件不变,问可组成多少个无重复数字的三 位密码? 【解题指南】明确“三位密码”各个数位上的数字可 以是0. 【解析】完成“组成无重复数字的三位密码”这件事, 可以分为三步:第一步,选取左边第一个位置上的数字, 有8种方法;第二步,选取左边第二个位置上的数字,有7 种方法;第三步,选取左边第三个位置上的数字,有6种 方法.由分步乘法计数原理知,可以组成无重复数字的 三位密码共有8×7×6=336(个). 2.典例1(2)中将条件“8张卡片上写着0,1,2,…,7共8 个数字”,改为“4张卡片的正、反面分别写有0与1,2 与3,4与5,6与7”.问可组成多少个不同的三位数? 【解析】要组成三位数,根据百位、十位、个位应分三 步: 第一步:百位可放8-1=7个数;第二步:十位可放6个数; 第三步:个位可放4个数.故由分步乘法计数原理,得共 可组成7×6×4=168(个)不同的三位数. 【方法总结】数字问题的解决方法及注意事项 方法:对于组数问题,可从数位入手,逐位探究可能的选 取方法,再利用两个原理计算.一般按特殊位置(末位或 首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素) 优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接 法求解. 注意事项:解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些 条件是隐藏的,要善于挖掘,排数时要注意特殊位置、 特殊元素优先的原则. 【补偿训练】用0,1,2,3,4这5个数字可以组成多少 个按下列要求的无重复数字? (1)四位密码. (2)四位数. (3)四位奇数. 【解析】(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件 事,分为四个步骤: 第一步,取左边第一位上的数字,有5种选取方法; 第二步,取左边第二位上的数字,有4种选取方法; 第三步,取左边第三位上的数字,有3种选取方法; 第四步,取左边第四位上的数字,有2种选取方法. 由分步乘法计数原理知,可以组成不同的四位密码共有 N=5×4×3×2=120(个). (2)方法一:完成“组成无重复数字的四位数”这件事 分为四个步骤: 第一步,从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字,有4种 选取方法; 第二步、第三步、第四步与(1)类似,分别有

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