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高中数学数列通项公式的求法集锦

数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法,题型繁杂,方法琐碎,笔者结合近几年的高考情 况,对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如 an ? an?1 ? f (n) (n=2、3、4…...) 且 f (1) ? f (2) ? ... ? f (n ? 1) 可求,则用累 加法求 an 。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例1. 在数列{ an }中, a1 =1, an ? an?1 ? n ?1 (n=2、3、4……) ,求{ an }的通项公式。 解:∵ n ? 1 时,a1 ? 1 n ? 2时,a2 ? a1 ? 1 ? ? a3 ? a2 ? 2 ? n(n ? 1) ? = (n-1) a4 ? a3 ? 3 ? 这 n-1 个等式累加得: an ? a1 ? 1 ? 2 ? ... ? 2 ? ....... ? an ? an ?1 ? n ? 1 ? ? n(n ? 1) n2 ? n ? 2 n2 ? n ? 2 ? ? a1 ? 且 a1 ? 1 也满足该式 ∴ an ? ( n ? N ). 2 2 2 ? 故 an ? 例 2.在数列{ an }中, a1 =1, an?1 ? an ? 2n ( n ? N ),求 an 。 n ? 2时,a2 ? a1 ? 2 a3 ? a2 ? 2 解:n=1 时, a1 =1 2 a4 ? a3 ? 23 ....... an ? an ?1 ? 2n ?1 ? ? ? ? ? 以上 n-1 个等式累加得 ? ? ? ? an ? a1 ? 2 ? 22 ? ... ? 2n?1 = 2(1 ? 2n ?1 ) n = 2 ? 2 ,故 an ? 2n ? 2 ? a1 ? 2n ? 1 且 a1 ? 1 也满 1? 2 ? 足该式 ∴ an ? 2n ? 1 ( n ? N )。 二、累乘法 形如 an ? f (n) (n=2、3、4……),且 f (1) ? f (2) ? ... ? f (n ?1) 可求,则用累乘法 an?1 求 an 。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例 3.在数列{ an }中, a1 =1, an?1 ? nan ,求 an 。 解:由已知得 an ?1 ? n ,分别取 n=1、2、3……(n-1),代入该式得 n-1 个等式累乘, an 即 a a a2 a3 a4 . . ...... n =1 × 2 × 3 × … × (n-1)=(n-1)! 所 以 时 , n ? (n ? 1 ) 故 ! a1 a2 a3 an?1 a1 an ? (n ?1)! 且 a1 ? 0!=1 也适用该式 ∴ an ? (n ?1)! 例 4.已知数列{ an }满足 a1 = 解:由已知得 ( n ? N ). ? 2 n an ,求 an 。 , an ?1 ? 3 n ?1 an?1 n ,分别令 n=1,2,3,….(n-1),代入 ? an n ?1 1 2 3 n ?1 a a2 a3 a4 . . ...... n = ? ? ...... ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 上式得 n-1 个等式累乘,即 所以 2 2 an 1 。 ? ,又因为 a1 ? 也满足该式,所以 an ? 3 3n a1 n 三、构造等比数列法 原数列{ an }既不等差,也不等比。若把{ an }中每一项添上一个数或一个式子构成新数 列,使之等比,从而求出 an 。该法适用于递推式形如 an ?1 = ban ? c 或 an ?1 = ban ? f ? n? 或 an ?1 = ban ? cn 其中 b、c 为不相等的常数, f ? n ? 为一次式。 例 5、 (06 福建理 22)已知数列{ an }满足 a1 =1,an ?1 = 2an ? 1 ( n ? N ),求数列{ an } 的通项公式。 解:构造新数列 ?an ? p? ,其中 p 为常数,使之成为公比是 an 的系数 2 的等比数列 即 an?1 ? p = 2(an ? p) 整理得: an ?1 = 2an ? p 使之满足 an ?1 = 2an ? 1 即 ?an ?1 ? 是首项为 a1 ? 1 =2,q=2 的等比数列∴ an ? 1= 2 ? 2 n ?1 ? ∴p=1 an = 2 n ? 1 例 6、 (07 全国 ?? 理 21)设数列{ an }的首项 a1 ? (0,1) , an = ( ? )求{ an }的通项公式。 解:构造新数列 ?an ? p? ,使之成为 q ? ? 3 ? an ?1 ,n=2、3、4…… 2 1 的等比数列 2 3 ? an ?1 1 1 3 (an ?1 ? p) 整理得: an = ? an ?1 ? p 满足 an = 2 2 2 2 3 3 1 得 ? p= ∴p=-1 即新数列 ?an ?1 ? 首项为 a1 ? 1, q ? ? 2 的 2 2 1 n ?1 1 n ?1 (? ) (? ) 等比数列 ∴ an ? 1 = (a1 ? 1 故 an = (a1 ? 1 +1 ) ) 2 2 即 an ? p = ? 例 7、 (07 全国 ? 理 22)已知数列{ an }中, a1 =2, an ?1 = ( 2 ?1) (an ? 2) ( ? )求{ an }的通项公式。 解:构造新数列 ?an ? p? ,使之成为 q ? 2 ?1的等比数列 n? N? an?1 ? p = ( 2 ?1) (an ? p) 使之满足已知条件 整理得: an ?1 = ( 2 ?1) an + ( 2 ? 2) p an ?1 = ( 2 ?1) an +2 ( 2 ?1) ∴ ( 2 ? 2) p ? 2(

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