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高中数学第一章立体几何初步章末复习课件北师大版必修21_图文

第一章 立体几何初步

章末复习

学习目标
1.整合知识结构,梳理知识网络,进一步巩固、深化所学知识.

2.熟练掌握平行关系与垂直关系,能自主解决一些实际问题.
3.掌握几何体的直观图,能计算几何体的表面积与体积.

内容索引

知识梳理 题型探究

达标检测

知识梳理

1.空间几何体的结构特征及其侧面积和体积 名称 定义 有两个面 互相平行 , 棱柱 多 面 体 其余各面都是 四边形, 并且每相邻两个四边形 互相平行 的公共边都________ 有一个面是 多边形 , 有一个 棱锥 其余各面都是________ 公共顶点 的三角形 __________ 图形 侧面积 体积

S直棱柱侧=Ch,C
为底面的周长,h V=Sh

为高

1 S正棱锥侧= Ch′, 1 2 V= Sh, 3 C为底面的周长, h为高 h′为斜高



平行于棱 用一个_________ 锥底面 的平面去截 _______ 棱锥,底面与截面 之间的部分 以 矩形的一边 所在

面 棱台


S正棱台侧= 1 (C+ 2 V= 1 (S上+S下 3 C′)h′,C, + S上S下 )h, C′为底面的周 h为高 长,h′为斜高

旋 转 圆柱 体

直线为旋转轴,其
余三边旋转形成的

S侧=2πrh,r为底
面半径,h为高

V=Sh=πr2h

面所围成的旋转体

以直角三角形的 一条直角边 所在直 圆锥 线为旋转轴,其余 旋 两边旋转形成的面 所围成的旋转体 平行于圆锥底面 用______________ 圆台 的平面去截圆锥, 底面和截面 之间的 部分 S侧=πrl,

1 1 r为底面半径, V= Sh= πr2h 3 3 h为高,l为母线




1 S侧=π(r1+r2)l, V= 3 (S上+S下+ 1 S上S下 )h= π r1,r2为底面半 3 2 2 ( r + r 径,l为母线 1 2+r1r2) h

旋 转 球 体

以 半圆的直径 所
在直线为旋转轴, 半圆面 旋转一 周形成的旋转体 S球面=4πR2,

4 3 V= πR 3 R为球的半径

2.空间几何体的直观图 (1)斜二测画法:主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法 .它的主 要步骤: ①画轴;②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于 x′、y′、z′轴的线 段;③截线段:平行于 x、z轴的线段的长度不变,平行于y轴的线段的长 度变为原来的一半.

(2)转化思想在本章应用较多,主要体现在以下几个方面 ①曲面化平面,如几何体的侧面展开,把曲线(折线)化为线段. ②等积变换,如三棱锥转移顶点等. ③复杂化简单,把不规则几何体通过分割,补体化为规则的几何体等.

3.四个公理
公理1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直线上所

有的点都在这个平面内.
公理2:过 不在同一条直线上 的三点,有且只有一个平面.

公理 3 :如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只
有 一条过该点的公共直线 .

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .

4.直线与直线的位置关系 平行 _____ 共面直线 相交 ______

任何 一个平面内,没有公共点 异面直线:不同在______

5.平行的判定与性质 (1)直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 定理

性质

图形
a α,b?α, ___________

条件 结论

________ a∩α=? a∥α

a∥b ______
b∥α

_______ a ∥α a∩α=?

a∥α,a β, ____________
α∩β=b ________ a ∥b

(2)面面平行的判定与性质 判定

定义
图形

定理

性质

a β,b β, ___________
条件 α∩β=? _________ a∩b=P, ___________

α∥β, ___________
α∩γ=a, ___________ α∥β,a β

a∥α,b∥α ___________
结论 α∥β α∥β

β∩γ=b ________
a∥b a∥α

(3)空间中的平行关系的内在联系

6.垂直的判定与性质 (1)直线与平面垂直 图形 条件 a⊥b,b α 结论

(b为α内的 任意 直线) 判定 a⊥m,a⊥n,m,n α,

a⊥α

___________ m∩n=O
a⊥α a∥b,______

a⊥α

b⊥α

b α a⊥α,______ 性质 a⊥α,b⊥α

a⊥b

a ∥b ______

(2)平面与平面垂直的判定与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言

判定
定理

如果一个平面经过另一 个平面的一条 垂线 ,那 么这两个平面互相垂直 如果两个平面互相垂直,

l β? ? ?α⊥β l⊥α?
? α⊥β ? α∩β=a? ? ?l⊥α l β ? ? l⊥a ?

性质 那么在一个平面内垂直
定理 于它们交线的直线垂直

于另一个平面

(3)空间中的垂直关系的内在联系

7.空间角
(1)异面直线所成的角 把a′与b′所成的 锐角(或直角) 叫作异面直线a,b所成的角(或夹角).

①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b, ②范围:设两异面直线所成角为θ,则 0°<θ≤90° .
(2)二面角的有关概念

①二面角:从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫作二面角.
②二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作

垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.

[思考辨析 判断正误] 1. 设 m , n 是两条不同的直线, α , β 是两个不同的平面,若 m∥α , n∥β , α∥β,则m∥n.( × ) a∥α且b∥α.( √ ) 3.平面α∥平面β,直线a∥α,直线b⊥β,那么直线a与直线b的位置关系一 定是垂直.( √ ) 4.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.( √ ) 5.若m,n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线,且m⊥n,则n n∥α.( √ ) α或

2.已知a,b是两异面直线, a⊥b,点P?a且P?b,一定存在平面 α,使 P∈α,

题型探究

类型一 例1

平行问题

如 图 所 示 , 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 , PB⊥ 平 面 ABCD ,

MA∥PB , PB = 2MA. 在线段 PB 上是否存在一点 F ,使平面 AFC∥ 平面 PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.

解答

反思与感悟 (1)证明线线平行的依据 ①平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行);②公 理4;③线面平行的性质定理;④面面平行的性质定理;⑤线面垂直 的性质定理. (2)证明线面平行的依据 ①定义;②线面平行的判定定理;③面面平行的性质. (3)证明面面平行的依据 ①定义;②面面平行的判定定理;③线面垂直的性质;④面面平行 的传递性.

跟踪训练 1

如图所示,四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 8 的正方

形,四条侧棱长均为2 17 .点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD, PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.

(1)证明:GH∥EF;
证明

(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.

解答

类型二 例2

垂直问题

如 图所 示 ,在 四 棱锥 P - ABCD 中 , PA⊥ 底面 ABCD , AB⊥AD ,

AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点. 证明:(1)CD⊥AE; 证明 在四棱锥P-ABCD中,

∵PA⊥底面ABCD,CD
∴PA⊥CD.

平面ABCD, 平面PAC,

∵AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,AC
∴CD⊥平面PAC.

而AE 平面PAC,∴CD⊥AE.
证明

(2)PD⊥平面ABE.

证明

反思与感悟 (1)两条异面直线相互垂直的证明方法
①定义;

②线面垂直的性质.
(2)直线和平面垂直的证明方法

①线面垂直的判定定理;
②面面垂直的性质定理.

(3)平面和平面相互垂直的证明方法
①定义;

②面面垂直的判定定理.

跟踪训练 2

如图,斜三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面是直角三角形, ∠ACB

=90°,点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=AA1.

(1)求证:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;
证明

(2)求证:BC1⊥AB1.

证明

类型三 例3

空间角问题

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是A1B1,BC,

C1D1和B1C1的中点.

(1)求证:平面MNF⊥平面ENF;
证明

(2)求二面角M-EF-N的正切值.

解答

反思与感悟

(1) 面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明,利用垂

直关系的相互转化是证明的基本方法; (2) 找二面角的平面角的方法有以下两种:①作棱的垂面;②过一个 平面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线.

跟踪训练3

如图,在圆锥PO中,已知PO⊥底面⊙O,PO= 2,⊙O

的直径AB=2,C是 AB 的中点,D为AC的中点.

(1)证明:平面POD⊥平面PAC;

证明

(2)求二面角B-PA-C的余弦值.

解答

达标检测

1.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是

A.①是棱台
C.③是棱锥 √

B.②是圆台
D.④不是棱柱

1

2

3

4

5

解析

答案

2.设 m,n 是两条不同的直线, α, β, γ是三个不同的平面,给出下列四 个说法: ①若 m⊥α , n∥α ,则 m⊥n ;②若 α∥β , β∥γ , m∥α ,则 m∥γ ;③若 m∥α,n∥α,则m∥n;④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β. 其中正确说法的序号是 A.① √ B.②③ C.③④ D.①④

解析 ②如果m γ,则m不平行于γ;
③若m∥α,n∥α,则m,n相交,平行或异面,

④若α⊥γ,β⊥γ,则α,β相交或平行.
1 2 3 4 5

解析

答案

3.正方体的8个顶点中,有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶 点,则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为

A.1∶ 2 C.2∶ 2

B.1∶ √

3

D.3∶ 6

解析 设正方体棱长为a,S正方体表面积=6a2,
正三棱锥侧棱长为 2a,

3 则三棱锥表面积为 S 三棱锥表面积=4× 4 ×2a2=2 3a2. S三棱锥表面积 2 3a2 1 ∴ = 6a2 = . 3 S正方体表面积
1 2 3 4 5

解析

答案



4. 水平放置的△ABC 的直观图如图所示,其中 B′O′ = C′O′ = 1 , 3 A′O′= ,那么原△ABC是一个 2 A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形

1

2

3

4

5

解析

答案

5.如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角 形,AC⊥BC且AC=BC,O,M分别为AB,VA的中点. (1)求证:VB∥平面MOC; 证明 因为O,M分别为AB,VA的中点, 所以OM∥VB. 又因为VB?平面MOC,OM 平面MOC, 所以VB∥平面MOC.

1

2

3

4

5

证明

(2)求证:平面MOC⊥平面VAB. 证明 因为AC=BC,O为AB的中点, 所以OC⊥AB. 又因为平面VAB⊥平面ABC, 平面VAB∩平面ABC=AB, 且OC 平面ABC, 所以OC⊥平面VAB. 又因为OC 平面MOC, 所以平面MOC⊥平面VAB.
1 2 3 4 5

证明

规律与方法
1.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路,其关系为

2.研究空间几何体,需在平面上画出几何体的直观图或三视图,由几 何体的直观图可画它的三视图,由三视图可得到其直观图,同时可以 通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决. 另外,圆柱、圆锥、圆台的表面积公式,我们都是通过展开图、化空 间为平面的方法得到的,求球的切接问题通常也是由截面把空间问题 转化为平面问题来解决.


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