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标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4:第一章 1.2 1.2.2 同角三角函数的基本关系

1.2.2 同角三角函数的基本关系 预习课本 P18~20,思考并完成以下问题 (1)同角三角函数的基本关系式有哪两种? (2)已知 sin α,cos α 和 tan α 其中的一个值,如何求其余两个值? [新知初探] 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:tan_α= π sin α ? α≠kπ+ ,k∈Z?. 2 ? cos α? 这就是说,同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角 α 的正切 ?α≠kπ+π,k∈Z?. 2 ? ? [点睛] 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,这 里“同角”有两层含义:一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提 下).关系式成立与角的表达形式无关,如 sin23α+cos23α=1. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) α α (1)对任意角 α,sin2 +cos2 =1 都成立.( 3 3 (2)对任意角 α, sin 2α =tan 2α 都成立.( cos 2α ) ) ) (3)若 cos α=0,则 sin α=1.( 答案:(1)√ (2)× (3)× π 3 0, ?,sin α= ,则 cos α=( 2.已知 α∈? 2 ? ? 5 A. 4 5 1 7 B.- D. 3 5 4 5 ) C.- 答案:A 1 3.已知 cos α= ,且 α 是第四象限角,则 sin α=( 2 1 A.± 2 C.- 3 2 B.± 3 2 ) 1 D.- 2 答案:C π 5 ? 4.已知 sin α= ,α∈? ?2,π?,则 tan α=________. 13 5 答案:- 12 利用同角基本关系式求值 [典例] (1)已知 sin α= 12 ,并且 α 是第二象限角,求 cos α 和 tan α. 13 (2)已知 sin α+2cos α=0,求 2sin αcos α-cos2α 的值. [解] 12?2 ? 5 ?2 (1)cos2α=1-sin2α=1-? ?13? =?13? ,又 α 是第二象限角,所以 cos α<0,cos α sin α 5 12 =- ,tan α= =- . 13 cos α 5 (2)由 sin α+2cos α=0,得 tan α=-2. 所以 2sin αcos α-cos2α= 2sin αcos α-cos2α 2tan α-1 -4-1 = = =-1. sin2α+cos2α tan2α+1 4+1 1.求三角函数值的方法 (1)已知 sin θ(或 cos θ)求 tan θ 常用以下方式求解 (2)已知 tan θ 求 sin θ(或 cos θ)常用以下方式求解 当角 θ 的范围不确定且涉及开方时, 常因三角函数值的符号问题而对角 θ 分区间(象限) 讨论. 2.已知角 α 的正切求关于 sin α,cos α 的齐次式的方法 (1)关于 sin α,cos α 的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin α,cos α 的式子且它们 的次数之和相同,设为 n 次,将分子、分母同除以 cos α 的 n 次幂,其式子可化为关于 tan α 的式子,再代入求值. (2)若无分母时,把分母看作 1,并将 1 用 sin2α+cos2α 来代换,将分子、分母同除以 cos2α,可化为关于 tan α 的式子,再代入求值. [活学活用] 4 (1)已知 cos α=- ,求 sin α 和 tan α. 5 (2)已知 tan α=2,试求 2sin α-3cos α 的值. cos α+sin α 4?2 ?3?2 解:(1)sin2α=1-cos2α=1-? ?-5? =?5? , 4 因为 cos α=- <0,所以 α 是第二或第三象限角, 5 sin α 3 3 当 α 是第二象限角时,sin α= ,tan α= =- ; 5 cos α 4 sin α 3 3 当 α 是第三象限角时,sin α=- ,tan α= = . 5 cos α 4 (2)由 tan α=2 可得 sin α=2cos α, 故 2sin α-3cos α 4cos α-3cos α cos α 1 = = = . cos α+sin α cos α+2cos α 3cos α 3 三角函数式的化简 [典例] (1)化简: 1-2sin 130°cos 130° sin 130°+ 1-sin2130° . (2)若角 α 是第二象限角,化简:tan α [解] (1)原式= sin 130°+ cos2130° = = |sin 130°-cos 130°| sin 130°+|cos 130°| sin 130°-cos 130° =1. sin 130°-cos 130° 1-sin2α =tan α sin2α 1 -1. sin2α sin2130°-2sin 130°cos 130°+cos2130° (2)原式=tan α 所以 sin α>0,cos α<0, cos2α sin α |cos α| = × ,因为 α 是第二象限角, sin2α cos α |sin α| sin α |cos α| sin α -cos α 所以原式= × = × =-1. cos α |sin α| cos α sin α 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简 的目的. (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目 的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造 sin2α+cos2α=1,以 降低函数次数,达到化简的目的. [活学活用] sin α 化简:(1) · 1

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