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第15讲 随机事件概率古典概率


第 15 讲
第一部分

随机事件的概率
知识梳理

1.事件:随机事件(random event ) ,确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event ) 2.随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在 n 次实验中发生了 m 次,当实验的次数 n 很大时,我们称事件 A 发生的概率为 P ? A? ?

m n

注意:①概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值; ②频率本身是随机的,在试验前不能确定; ③概率是一个确定数,是客观存在的,与每次试验无关! 3.概率必须满足三个基本要求 ① 对任意的一个随机事件 A ,有 0 ? P? A? ? 1 ② 用?和?分别表示必然事件和不 可能事件, 则有P??? ? 1, P??? ? 0 ③如果事件 A和B互斥, 则有 : P? A ? B? ? P? A? ? P?B? 4.概率的基本概念: (1)事件的包含:并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必 然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) (5)独立事件的概率: 若A , B 为相互独立的事件事件 , 则 P?AB? ? P? A?P?B? , 若 A1 , A2 , ..., An 为两两独立的事件 , 则 P?A1A 2 ...An ? ? P?A1 ?P?A 2 ?...P?A n ? 说明:互斥事件(exclusive events):不能同时发生的两个事件称为互斥事件 对立事件(complementary events) :两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件,事件 A 的对立 事件 记为: A ① 若 A , B 为互斥事件 , 则 A , B 中最多有一个发生 , 可能都不发生,但不可能同时发生 ,从集合 的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件,而且必须有一个发生,而互斥事件可能指的很多事件,但最多只有一个发 生,可能都不发生 ③对立事件一定是互斥事件 ④从集合论来看:表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集,但两个对立事件的并集是全集 ,而两 个互斥事件的并集不一定是全集

⑤两个对立事件的概率之和一定是 1 ,而两个互斥事件的概率之和小于或者等于 1 ⑥若事件 A, B 是互斥事件,则有 P? A ? B? ? P? A? ? P?B? ⑦一般地,如果 A1 , A2 ,..., An 两两互斥,则有 P? A1 ? A2 ? ... ? An ? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? ... ? P? An ? ⑧ P? A? ? 1 ? P A ⑨ 在本教材中 A1 ? A2 ? ... ? An 指的是 A1 , A2 ,..., An 中至少发生一个 。 第二部分 精讲点拨

??

考点 1:理解事件,必然事件、不可能事件,随机事件、互斥事件、对立事件等概念 例 1 下列事件中,不可能事件是( ) A、三角形内角和为 180
?

B、在同一个三角形中大边对大角
?

C、锐角三角形中两个内角的和小于 90

D、三角形中任意两边的和大于第三边。

例 2 总数为 10 万张的彩票,中奖率为 1/1000,下列说法正确的是( ) A、买一张一定不中奖 B、买 1000 张一定中奖 C、买 2000 张一定中奖 D、买 2000 张不一定中奖 考点 2:概率的基本性质 例 3 某人在打靶时,连续射击 2 次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A 至多有一次中靶 B 2 次都中 C 2 次都不中 D 只有一次中靶 例 4.某人将一枚硬币连续掷了 10 次,正面朝上的情况出现了 6 次,若用 A 表示正面朝上这一事件,则 事件 A 的频率是 。

例 5. 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件 A)的概率是 方块(事件 B)的概率是

1 ,取到 4

1 ,问: 4

(1)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少?

考点 3:事件的类型判断及求概率 例 6 盒中仅有 4 只白球,5 只黑球,从中任意取出一只球。 (1) “取出得球是黄球”是什么事件?它的概率是多少? (2) “取出得球是白球” 是什么事件?它的概率是多少? (3) “取出得球是白球或是黑球” 是什么事件?它的概率是多少?

例 7.袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为 黑球或黄球的概率是 多少?

1 ,得到 3

5 5 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是 12 12

第三部分 一、选择题 1.如果 A、B 是互斥事件,则正确的是( A C A+B 是必然事件

过关检测

) ( A 与 B 分别表示 A、B 的对立事件) B D

A ? B 是必然事件
A 与 B 可能互斥,也可能不互斥

A与B 一定不互斥

2.两个事件互斥是这两个事件对立的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3.从一批羽毛球产品中任取一个,质量小于 4.8 g 的概率是 0.3,质量不小于 4.85 g 的概率是 0.32,那么质 量在[4.8,4.85)g 范围内的概率是( ) A、0.62 B、0.38 C、.7 D、0.68 4. 甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是 40% ,甲不输的概率为 90% ,则甲、乙二人下成和棋的概率为 ( ) A 60% B 0% C 10% D 50% 5. 从 装 有 2 个 红 球 和 2 个 白 球 的 口 袋 内 任 取 2 个 球 , 那 么 互 斥 而 不 对 立 的 两 个 事 件 是 ( ) A. 至少有 1 个白球,都是红球 B 至少有 1 个白球,至多有 1 个红球 C 恰有 1 个白球,恰有 2 个白球 D 至多有 1 个白球,都是红球 6.一批产品共 10 件, 其中有两件次品, 现随机地抽取 5 件, 则所取 5 件中至多有一件次品的概率为 ( )

1 7 1 2 B、 C、 D、 14 9 2 9 7. 有 3 人,每人都以相同的概率被分配到 4 个房间中的一间,则至少有 2 人分配到同一房间的概率是 __ . 8.从编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的十个球中,任取 5 个球,则这 5 个球编号之和为奇数的概 率是__ . 9. 8 个篮球队中有 2 个强队,先任意将这 8 个队分成两个组(每组 4 个队)进行比赛,则这两个强队被分 在一个组内的概率是__ __. 10.有一个公用电话亭,在观察使用这个电话的人的流量时,设在某一时刻,有 n 个人正在使用电话或等
A、

待使用的概率为 P(n) ,且 P(n)与时刻 t 无关,统计得到

?? 1 ? n ? ? ?P ? 0 ? ,1 ? n ? 5 P ? n ? ? ?? ?2? ?0 , n?6 ?

,那么在某

一时刻,这个公用电话亭里一个人也没有的概率 P(0)的值是 11.52 张桥牌中有 4 张 A,甲、乙、丙、丁每人任意分到 13 张牌,已知甲手中有一张 A,求丙手中至少有 一张 A 的概率.

12. 袋中有 5 个白球,3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概率: (1)摸出 2 个或 3 个白球; (2)至少摸出 1 个白球; (3)至少摸出 1 个黑球.

13. 9 粒种子分种在甲、乙、丙 3 个坑内,每坑 3 粒,每粒种子发芽的概率为 0.5 ,若一个坑内至少有 1 粒种 子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种。 (Ⅰ)求甲坑不需要补种的概率; (Ⅱ)求 3 个坑中恰有 1 个坑不需要补种的概率; (Ⅲ)求有坑需要补种的概率。

14. 某单位 36 人的血型类型是:A 型 12 人,B 型 10 人,AB 型 8 人,O 型 6 人.现从这 36 人中任选 2 人.求: (1)两人同为 A 型血的概率; (2)两人具有不相同血型的概率.


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