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函数的单调性


威海三中

函数的单调性
刘亚丽

函数的单调性
1
2 3 4 5 6

教材的地位与作用 教学目标 教学重点、难点 教法 学法 教学过程

教材的地位与作用

?“函数的单调性”是高中课本第一册第二章 第三节,是函数重要性质之一,在教材中起 着承上启下的作用。一方面,是初中有关内 容的深化,提高,使学生对函数单调性从感 性认识提高到理性认识。另一方面,可以通 过对函数单调性的学习,为后面学习指数函 数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下 基础,与不等式、求函数的值域、最值,导 数等等都有着紧密的联系。

教学目标

1
基础知识目标 理解函数单调性概 念,并能作简单的 函数单调性判断及 应用

2
能力训练目标 培养学生细心观察 、认真分析、严谨 论证的良好思维习 惯,培养学生数形 结合,辩证思维的 能力。

3
情感目标 让学生发现形和数 的统一和谐美,体 会自己发现、解决 问题的乐趣。

教学重点、难点

重点 函数单调性的判断 和应用

难点 理解函数单调性的 概念,判断或证明 函数的单调性

教法

启发式教学

计算机辅助教学

讨论式教学

老师耐心引导、 分析、讲解和 设置启发式提 问,引导学生 对本节知识的 理解和掌握

运用计算机的辅 助教学,将抽象 概念生动、直观 地表达出来,从 视觉、听觉上刺 激学生,激发学 生探索的兴趣。

让学生自己观 察,自主讨论, 探索研究获得 知识,得出结 论

学法

?在老师的引导下,充分发挥学生的主观能动 性,紧紧围绕函数的图象进行分析,通过观 察、讨论、分析、探索等步骤,自己发现问 题,提出问题,解决问题,一方面渗透数形 结合的思想,另一方面,能过“师生互动”、 “生生互动”,提高学生的合作意识,共同 来完成教学目标。

教学过程
1 2 3 4 5 6 创设情境――引入课题 观察归纳――形成概念 讨论研究――深化概念 即时训练――强化新知 思考总结――提高认识 布置作业 ― ― 课后反馈

创设情境――引入课题

? 我国的人口出生率变化曲线(如下图),请同学们 观察说出人口出生的大致变化情况。我们可以很方 便地从图象观察出人口出生的变化情况,对今后的 工作具有一定的指导意义。

创设情境――引入课题

?再如:由于某种原因,2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7
月25日推迟到8月8日,请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. ? 课上通过交流,可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因,北京的 天气到8月中旬,平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下 降,比较适宜大型国际体育赛事.

?(设计意图:由于数学的一切发展都不同程 度地归结为现实的需要,因此,创设实际生 活的情境,能够让学生切实感受到数学是源 于生活的,激发学生学习数学知识的兴趣, 调动学生学习数学知识的欲望,唤起学生的 “主角”意识。)

观察归纳――形成概念
?1、观察引入 ? (1)函数y=2x+1随自变量x 变化的情况 (同学们自己画)
y y=2x+1

1 -1 -1 1

x

观察归纳――形成概念
?1、观察引入 ? (2)函数y= -2x+1随自变量x 变化的情况 (同学们自己画)
y=-2x+1 y

1 -1 -1 1

x

观察归纳――形成概念
?设计意图

由初中知识过度到今天要学的知识,对初中 知识进行深化,激起学生新的认知冲突,从 而调动学生积极性

观察归纳――形成概念
? 1、步步深化 y ? x 2 随自变量x 变化的情况,设置启 ? (3)函数 发式问题:
y

y ? x2

1 -1 -1 1

x

观察归纳――形成概念
? 在y轴的右侧部分图象具有什么特点? ? 指出在y轴的右侧部分自变量与函数值的变化规律? ? 如果在y轴右侧部分取两个点(x1,y1),(x2,y2), 当x1<x2时,y1,y2的大小关系如何?是不是在定义域内 任取两个点都有这个规律呢? ? 如何用数学符号语言来描述这个规律? 教师补充:这时我们就说函数y==在(0,+ )上是增函数 ? 反过来,如果y=在(0,+ )上是增函数,我们能不能得到 自变量与函数值的变化规律呢? 类似地分析图象在y轴的左侧部分。

观察归纳――形成概念
?设计意图 通过启发式提问,实现学生从“图形语言” “文字语言”“符号语言”多方面认识函数 的单调性,实现“形”到“数”的转换,另 外,我认为学生对“任意性”较难理解,特 设计了(3)、(4)问题,步步深入,从而 突破难 点,突出重点。

? 问题2:如何从解析式的角度说明在上为增函数? ? 学生错误的回答主要有两种: ? (1)在给定区间内取两个数,例如1和2,因为,所以为 增函数. ? (2)仿(1),取很多组验证均满足,所以为增函数. ? 对于这两种错误,我鼓励学生分别用图形语言和文字 语言进行辨析.引导学生明确问题的根源是两个自变量 不可能被穷举.在充分讨论的基础上,引导学生从给定 的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大 小,从而得到正确的回答

观察归纳――形成概念
?形成概念 ?注意: (1)变量属于定义域 (2)注意自变量x1、x2取值的任意性 (3)都有f(x1 )>f(x2 ) 或f(x1 )<f(x2 )成 立(无一例外) (4)函数的单调性是函数在定义域某个区间 上的局部性质,也就是说,一个函数在不同 的区间上可以有不同的单调性。

观察归纳――形成概念
?设计意图 体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。 在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、 技能的途径和方法。通过探索,培养学生的 观察能力和运动变化的观点,同时充分利用 图形的直观性,渗透了数形结合的思想,学 生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘 甜,感受到耕耘后的丰收喜悦,更激起了学 生的探索创新意识。

讨论研究――深化概念
?例1 如图6是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调 区间,以及在每一单调区间上,函数y=f(x) 是增函数还是减函数.

通过讲解例1,让学生学会通过观察图象写出函数的单 调区间。

讨论研究――深化概念
?例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
证明:设 x1、x2 是R上的任意两个实数,且 x1< x2,(取值)

x 则f( x1)-f( x2 )=(3 x1+2)-(3 x2 +2)=3(x1 - 2 ), (作差变形)
由 x1<x2x,得 x1- x2<0 ,于是f(x1)-f(x2)<0 (定号)
即 f(x1 )<f( x2). ∴f(x)=3x+2在R上是增函数. (判断结论)

紧扣定义,讲解例2,让学生了解证明的几个关键步骤

1 x2

讨论研究――深化概念
1 ?例3 证明函数f(x)= 在(0,+ ? )上是减函数. x

x x 证明:设 x1、 x2 ,是(0,+ ? )上的任意两个实数,且 1 < 2 ,
x 2 ? x1 1 1 则f( x1 )-f( x2)= x - x = x x , (注意变形程度) 1 2 1 2

由 x1 、x2 ∈(0,+

?),得 x1 、x2 >0, ? )上是减函数.

又由 x1 < x2,得 x2-x1 >0 ,于是f( x1 )-f( x2)>0,即 f( x1)>f( x2)

1 ∴f(x)= 在(0,+ x

(此题是为了进一步加强证明的规范性,严谨性)

讨论研究――深化概念
?设计意图

通过例题的教学,有助于学生内化所学的概 念,建构新的知识体系,在例题教学中通过 学生的交流,实现师生互动;通过教师针对 性点评,有利于深刻理解概念。

即时训练――强化新知
?课堂练习: 1、书P60 练习1(请同学口答)
1 2、判断函数f(x)= x 在(-

? ,0)上是增函数

还是减函数并证明你的结论

即时训练――强化新知
?设计意图

一个新知识的出现,要达到熟练运用的效果, 仅仅了解是不够的,一定量的“重复”是有 效的,也是必要的,所谓“温故而知新”、 “熟才能生巧”。

思考总结――提高认识

练习处理完后与学生一起作小结:
? (ⅰ)判断函数单调性的方法: (1)用图象;(2)用定义;(3)其它(后面会学 到)。 ? (ⅱ)证明函数单调性的方法:目前只能用定义,解 题步骤如下 (1)在指定区间上任意取两个数x1 ,x2,且x1< x2 (2)作差变形(主要是配方或分解因式等) (3)定号 (4)判断结论

思考总结――提高认识
?设计意图

有利于学生巩固所学知识,也能培养归纳、 概括等能力,进一步完成能力目标和情感目 标。

x1( x)在??a,b?? f , x2 ? a, b

布置作业——课后反馈

? 书P64习题2.3中,第1、2、3、6题
? 补充:课后思考题: 1、设 x1 , x2 ? ?a, b? ,若有 (1)
f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,则有 f ( x)在?a, b?上是____函数。 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2

(2)

<0,则有 f ( x)在?a, b?上是____函数。

2、判断f(x)=x+ 1 在区间(0,1)的单调性,并加以证明 x

布置作业——课后反馈
?设计意图 根据学生不同程度,布置思考题和作业,思 考题让学有余力的学生适当加深,以满足他 们学习的愿望,发展他们的数学才能。作业 进一步反馈知识的掌握情况,进一步落实教 学目标,也符合面向全体,分层教学和因材 施教原则。


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