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《算术平均数与几何平均数》教案及说明


《算术平均数与几何平均数》 【教学目标】 (1) 知识目标 使学生能准确表达两个重要不等式;理解它们成立的条件和意义;能正确运 用算术平均数与几何平均数定理求最值. (2) 能力目标 通过对实例的分析和提炼培养学生的观察、分析和抽象、概括能力;通过师 生间的合作交流提高学生的数学表达和逻辑思维能力. (3) 情感目标 让学生经历知识的发生、 发展、 应用的全过程, 鼓励学生在学习中勤于思考, 积极探索; 通过去伪存真的学习过程培养学生批判质疑的理性思维和锲而不舍追 求真理的精神. 【教学重点】两个正数的算术平均数与几何平均数定理及应用定理求最值. 【教学难点】在求最值时如何正确运用定理. 【教学过程】 Ⅰ.引言: 某人中秋节到超市买两斤糖果,不巧超市的电子秤坏了,但超市还有一个不 等臂但刻度准确的坏天平,于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出“一斤”, 再拿出一些糖果放在天平的右侧称出“一斤”, 然后把两次称出的糖果合在一起 给了他,并且解释:“一边多一边少,加在一起就正好.”这种称法准确么?如果 不准确,那么是称多了还是称少了? 【分析】设天平左右两侧力臂长分别为 l1 、 l2 ,两次称得的糖果实际重量为 x 、 y 则: xl1 ? l2 , l1 ? yl2 , ∴x? y ? l2 l1 ? l1 l2 这个数比 2 大还是小呢?有没有好的解决方法?请同学们阅读课本第 9, 10 页算 术平均数与几何平均数一节的正文及例 1,看看能否在课本中找到答案。同时思 考以下问题: 问题 1.糖果给多了还是少了?你用什么知识解决了这个问题?如何解决的? 问题 2.除定理外还有一个重要不等式,内容是什么?它与定理有哪些相同点和 不同点? 问题 3.认真分析例 1 及其证明过程,你能得到什么启示? Ⅱ. 阅读课文,找寻答案 学生阅读课本后回答问题 1 和问题 2,引出本节知识 一.两重要不等式 如果 a, b ? R 那么 a 2 ? b2≥2ab (当且仅当 a ? b 时取“=”号). 定理 如果 a , b 是正数,那么 a?b ≥ ab 2 (当且仅当 a ? b 时取“=”号). 想一想:“当且仅当”的含义是什么? 介绍 a?b 叫做 a 、 b 的算术平均数, ab 叫做 a 、 b 的几何平均数. 数列 2 解释:两个正数的等差中项不小于它们的正项等比中项. Ⅲ.例题精析,去伪存真 二.定理应用 例1. 已知 x, y 都是正数,求证: (1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2 P ; 1 (2)如果和 x ? y 是定值 S ,那么当 x ? y 时,积 xy 有最大值 S 2 . 4 回答问题 3,得出: 1.利用定理可以求解最值问题; 2.利用定理可以求解:和一定求积的最值;积一定求和的最值. 3.利用定理求最值应满足:一正二定三相等. 指出“一正”即满足定理成立的条件; “二定”即求和的最小值则积应为定 值,求积的最大值则和应为定值; “三相等”即要保证求出的最值可以取到 . 三 个条件在利用定理求最值时缺一不可. 练习 1.(1)已知 x ? 0 ,当 x 取什么值时, x 2 ? 81 的值最小,最小值是多少? x2 (2)已知 0 ? x ? 2 ,当 x 取什么值时, x(2 ? x) 的值最大,最大值是多少? 投影学生的解题过程,让其他学生分析是否完整,并思考这两个问题是否还 有其他解法(第一个小题还可以利用第一个重要不等式;第二小题可以利用一

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