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高一数学平面的基本性质


平面的基本性质第二课时

复习回顾
公 理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面 内.

A ? l , B ? l , A ?? , B ? ? ? l ? ?

公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还 有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一 条过这个公共点的直线。

公理3 经过不在同一条直线上的三点,有 且只有一个平面

A, B, C不共线? A, B, C确定一平面

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们 还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一 条过这个公共点的直线。 公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只 有一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面

推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有 且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面

例题讲解

例1 直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C, 判断这三条直线是否共面,并说明理由。(如图)

解:这三条直线共面,因为直线AB和直线AC相交于点A,所以 直线AB和AC确定一个 平面α.(推论2) 因为B∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC ? α (公理1) 因此直线AB,BC,CA都在平面α内,即它们共面.
其它解法

反馈练习
1.三条直线两两相交,由这三条直线所确定平面的 个数是( D ) A.1 B.2 C.3 D.1或3 2.空间四点中,三点共线是这四个点共面的( A ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分条件,也非必要条件 3.下列各个条件中,可以确定一个平面的是( D ) A.三个点 B.两条不重合的直线 C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线 4.怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端 是否共面?

五、【小结】
1.公理3的三个推论: 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且 只有一个平面 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 2.公理3及其三个推论的作用是确定平面 3.证明若干个点、线共面的方法. (先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、 线落在此平面内)

三条直线两两相交,由这三条直线所确 定平面的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.1或3

下列各个条件中,可以确定一个平面的是
A.三个点 B.两条不重合的直线

看一看

C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线

怎样用两根拉紧的细 线来检验桌子的四条 腿的底端是否共面?

经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面

空间四点中,三点共线是这四个点共面的(

)

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分条件,也非必要条件

推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面

?
证明:设直线a、b相交于点C,在a、b上分别取不同于点C 的点A和点B,点A,B,C是不在同一条直线上的三点(否 则与a、b为两条相交直线矛盾)由公理3,过A、B、C三点 有且只有一个平面α ,因为a、b各有两点在平面α 内,所 以直线a、b在α 内,因此过直线a、b有平面α 。 因为点A、B、C分别在直线a、b上,所以它们在过a、 b的平面内。由由公理3,过A、B、C三点的平面只有一个, 过直线a、b的平面只有一个。

推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面

证明:设直线a、b满足a平行于b ,由平行线的定义, 直线a、b在同一平面内,这就是说,过直线a、b有平 面α 。 设点A为直线a上任一点,则点A在直线b外,点A 和直线b在过直线a、b的平面α 内,由公理3的推论1, 过点A和直线b的平面只有一个。过直线a、b的平面只 有一个。

推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
求证:过点A和直线a可以确定一个平面

唯一性: 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β,那么 A∈β, B ∈ β,因为B∈α,C∈α,所以B∈β,C∈β.(公理1)故 不共线的三点A,B,C既在平面α内又在平面β内.所以平面α和平 面β重合.(公理3) 所以经过点A和直线a有且只有一个平面

例题讲解

解法二:因为A在直线BC外,所以过点A和直线BC确定 ? 平面α.(推论1),因为A∈α,B∈BC,所以B∈α.故AB α,同 理AC α,所以AB,AC,BC共面. ? 解法三:因为A,B,C三点不在一条直线上,所以过A, B,C三点可以确定平面α.(公理3) 因为A∈α,B∈α,所以 ? ? AB α.(公理1)同理BC α,AC α,所以AB,BC, ? CA三直线共面.
证共面问题,可先由公理3(或推论)证某些元素确定一个平面,再证其余元素 都在此平面内;或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内,再证两个平面 重合.

怎样的直线a我们就说它在平面外?

同学们 再见


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