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22.2降次——解一元二次方程-因式分解法


22.2.3降次 解一元二次方程 因式分解法 降次—解一元二次方程 降次 解一元二次方程—因式分解法

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复习回顾
一元二次方程的解法有: 一元二次方程的解法有: 1、配方法; 配方法; 2、公式法; 公式法;

复习回顾
1、当b2-4ac≥0时,一元二次方程 4ac≥0时 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实数根: +bx+c=0(a≠0)有两个不等实数根 有两个不等实数根:

?b ? b ?4ac ?b + b ?4ac x1 = , x2 = 2a 2a
2
2

2、当b2-4ac=0时,一元二次方程 4ac=0时 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根: +bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根 有两个相等实数根:

b x1 = x2 = ? 2a
3、当b2-4ac<0时,一元二次方程 4ac<0时 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根: +bx+c=0(a≠0)没有实数根 没有实数根:

一个数的平方与它本身互为相 反数, 反数,问:这个数是多少? 这个数是多少? 设这个数为x 则有: 解:设这个数为x,则有: x2+x=0
你可以有哪些方 法解这个方程? 法解这个方程?

观察
x2+x=0 除了配方法、公式法外, 除了配方法、公式法外,还有没有 更简便的方法解这个方程呢? 更简便的方法解这个方程呢? 方程右边为0 左边因式分解, 方程右边为0。左边因式分解,得: x(x+1)=0

x2+x=0 解:原方程整理得 x(x+1)=0 ∴x=0 或 (x+1)=0 则x1=0 ,x2=-1 可以发现, 可以发现,利用因式分解可以很快 捷地解出方程。 捷地解出方程。

梳理
上述解法中,通过因式分解使一元 上述解法中, 二次方程化为两个一次式的乘积等于0 二次方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式,再使这两个一次式分别等于0,从 形式,再使这两个一次式分别等于0 而实现降次,求出方程的根, 而实现降次,求出方程的根,这种解法 叫做因式分解法 叫做因式分解法。 因式分解法。

1、 什么样的一元二次方程 可以用因式分解法来解? 可以用因式分解法来解? 2、用因式分解法解一元二方 必须要先化成一般形式吗? 程,必须要先化成一般形式吗? 3、用因式分解法解一元二次方 其关键是什么? 程,其关键是什么?

例题讲解

解下列方程: 解下列方程:

(1)3x(x + 2) = 5(x + 2)

(2)(3x +1) ? 5 = 0
2

(1)3x(x + 2) = 5(x + 2)
解:移项,得 移项,

3x( x + 2) ? 5( x + 2) = 0
提公因 式.

(x+2)(3x-5)=0 - x+2=0或3x-5=0 或 - 5 ∴ x1=-2 , x2= 3

(2)(3x+1)2-5= 0
解:原方程可变形为

平方差 公式. 公式.

(3x +1+ 5)(3x +1? 5) = 0 ∴3x +1+ 5 = 0 3x +1? 5 = 0
?1? 5 ?1+ 5 , x2 = 则x1 = 3 3

梳理
用因式分解法解一元二次方程的步骤: 用因式分解法解一元二次方程的步骤: 1、方程右边化为 零 。 2、将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 乘积。 3、至少 有一个 因式为零,得到两个 因式为零, 一元一次方程。 一元一次方程。 4、两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。 的解。

练习

1.不计算,请你说出下列方程的根. 1.不计算,请你说出下列方程的根. 不计算

(1) x( x ? 2) = 0 x1 = 0, x2 = 2
(2)( y + 2)( y ? 3) = 0 y1 = ?2, y2 = 3 2 1 (3)(3x + 2)(2x ?1) = 0 x1 = ? , x2 =

(4)x = x x1 = 0, x2 = 1
2

3

2

2.下面的解法正确吗?如果不正确, 下面的解法正确吗?如果不正确, 下面的解法正确吗 错误在哪? 错误在哪? (1)解方程: x + 2)( x ? 1) = 3 (1)解方程 ( 解方程:

Q 解: ( x + 2)( x ? 1) = 3 × 1

∴ x + 2 = 3,  x ? 1 = 1 ×
则x1 = 1,  x 2 = 2

这个方程需要先转化为一般形式再求解. 这个方程需要先转化为一般形式再求解.

(2)解方程: y = 4 y (2)解方程 解方程:
2

解:Q y = 4 y
2

∴y=4

×

根据等式性质,等式两边都除以一 根据等式性质, 个不为0的数时,等式仍然成立。 个不为0的数时,等式仍然成立。上式 方程两边同除以y 有可能为0. 中,方程两边同除以y,而y有可能为0. 那么,这个方程应该怎样解呢? 那么,这个方程应该怎样解呢?

y = 4y
2

解:移项,得 移项,

y ?4y = 0
2

因式分解,得 因式分解,

y( y ? 4) = 0
∴ y = 0 或  ? 4 = 0 y 则 y1 = 4, y2 = 0

例题讲解

解方程: 解方程:

1 3 2 5x ? 2x ? = x ? 2x + 4 4
2

分析:等号右边不为0 分析:等号右边不为0,需要先移 项整理。使方程右边为0,再对方程左 项整理。使方程右边为0 边因式分解。 边因式分解。

1 3 2 (1)5 x ? 2 x ? = x ? 2 x + 4 4
2

解:移项,合并得: 移项,合并得:
2

因式分解,得: 因式分解,

4 x ?1 = 0

( 2 x + 1)( 2 x ? 1) = 0 ∴ 2 x + 1 = 0或 2 x ? 1 = 0 1 1 则 x1 = - ,x2 = 2 2

练习

解下列方程: 解下列方程:

(1)(2a (1)(2a-3)2=(a-2)(3a-4) =(a 2)(3a (2)(4x (2)(4x-3)2=(x+3)2 =(x

小结
因式分解法的基本步骤: 因式分解法的基本步骤: (1)将方程变形,使方程的右边为零; 将方程变形,使方程的右边为零; (2)将方程的左边因式分解; 将方程的左边因式分解; (3)根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解 根据若A B=0, A=0或B=0, 一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 一元二次方程转化为解两个一元一次方程.

小结
一元二次方程的解法: 一元二次方程的解法: 1、配方法; 配方法; 适用任何一 2、公式法; 元二次方程 公式法; 3、因式分解法. 因式分解法. 适用部分一 元二次方程

谢 谢!
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