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2013年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷


二○一三年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷
(2013 年 6 月 23 日 9:00—11:30)
解答题 题 号 得 分 评卷人 复核人
考生注意:
1.本试卷满分 120 分,第一题共 10 小题,满分 60。 2.用蓝色(或黑色)钢笔、签字笔,圆珠笔作答。 3.解题书写不要超过装订线。 4.不能使用计算器。 一、填空题(本大题共 10 小题,第小题 6 分,共 60 分) 1 . 已 知 集 合 A={x||x-2|<a},B={x|x2-2x-3<0}, 若 B ? A , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ???????????????????? ? ? ?.某程序框图如图所示,则输出的 S=_____________.

填空题 11 12 13 14 15

总成绩

3.已知四棱锥 P—ABCD 的三视图如图所示,则四棱锥 P—ABCD 的四个侧面面积的最 大值是_____________.

(2 x? ) 4 . 已 知 函 数 f(x) 对 任 意 x ? R , 才 有 f ?
f(2013)=___________.

f) (1 x ? , 且 f(1)=-2 , f) (1 x ?

5.7 个花色不同的小球放到编号分别为 1、2、3 的 3 个盒子内,要求各盒子子内的小 球数不小于其编号数,则不同的方法种数为_________________.

6.在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,且 ac+c =b -a ,若△ABC 最在边 的边长为 7 ,且 sinC=2sinA,则△ABC 最小边的边长为___________.

2

2

2

7.把一根长为 7 米的铁丝截下两段(也可以直接截成两段),这两段的长度之差不超 过 1 米,分别以这两段铁丝围成两个圆,则这两个圆面积之各的最大值为_________平方米.

8.如图,正三棱锥 O—ABC 的三条侧棱 OA、OB、OC 两两垂直,且长度均为 2,E、 F 分别是 AB、AC 的中点,H 是 EF 的中点,过 EF 作平面与侧棱 OA、OB、OC 或其延长线 分别交于 A1、B1、C1,已知 OA1=3/2,则二面角 O—A1B1—C1 的下切值为___________.

9.抛物线 y2=2px (p>0) 的焦点为 F,已知点 A、B 为抛物线上的两个动点,且满足

∠AFB=120?,过弦 AB 的中点 M 作抛物线的准线 MN,垂中为 N,则
_______.

MN 的最大值为 AB

k 2 0 1 3

10.设[x]表示不超过 x 的最大整数,则

[ ] _______________________. ? 2
k ? 1 k ? 1

2 0 1 3 ? 2

二、解答题(本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分) 11.(本题满分 12 分) 设 f(x)是定义在[1,∞) 上的增函数,且关于 x 的不等式 f(k2-cos2x)≤ f(k2+cos2x)恒成立, 求数 k 的取值范围。

12.(本题满分 12 分)
2 2 1 x y H 3 ), ( , ( 0 ?? 已知椭圆 E: 2 2 1 (a>b>0)的一个焦点为 F 3 ) 1 ? , ,且过点 2 a b

设椭圆 E 的上下顶点分别为 A1、A2,P 是椭圆上异于 A1、A2 的任一点,直线 PA1、PA2 分别 交 x 轴于点 M、N,若直线 OT 与过点 M、N 的圆 G 相切,切点为 T。证明:线段 OT 的长 为定值,并求出该定值。

13.(本题满分 12 分)

x a , () l ,其中 a ? R x n 已知函数 f( )? x g ? x ( (g x x x 1,求 a 的值; ) ?? ) (1)若函数 Ff)( 有极值 ( fn) ) x[1? ) i x ?( ]( g (2)若函数 Gs? x 在区间(0,1)上为增函数,求 a 的取值范围;
(3)证明:

s i n ?. n ?) l2 (1 k ?
k ? 1 2

n

1

14.(本题满分 12 分)

S n ? Z 3 ,, a n ? ) 已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 4 (? n 2 0 n ?
n ? 1

(1)求 an 与 an-1 之间的关系式; (2)求使得数列{an}这递增数列的所有 a0 的取值。


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