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南师附中高三数学期末复习(三)2014.1


桃子和阿狸的百宝铺 1

南师附中高三数学期末复习(三)

2014-01-19

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.若 A ? {2,3, 4} , B ? {x | x ? n ? m, m, n ? A, m ? n} ,则集合 B 的元素个数为 2.已知复数 z ? .

1 ? 2i ,则它的 共轭复数 z 等于 i5



3. 为了了解一片 经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底 部周长(单位:cm).所得数据如图,那么在这 100 株树木中,底部周长 不小于 110cm 的有 株.

4 . 将一 颗骰 子 投掷 两次分 别 得到 点数 a , b , 则 直线 ax ? by ? 0 与 圆

? x ? 2?

2

? y2 ? 2 相交的概率为



5.某同学设计右面的程序框图用以计算和式 12 ? 22 ? 32 ? ? 202 的值,则在 判断框中应填写 .

6.设 ? , ? 为两个不重合的平面, m, n 为两条不重合的直线,现给出下列 四个命题:①若 m // ? , n ? ? ,则 m // n ;②若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ;③ 若 ? ? ? ,?

? ? m, n ? ? , n ? m, 则 n ? ? ; ④ 若 m / / n , n ?? ? , /? /则 ,
.

m ? ? .其中,所有真命题的序号是

?3 x ? y ? 6 ? 0 x ? 2 y ?1 ? 7.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 则 的取值范围是 y ? 2 ? x ? 0, y ? 0 ?



y A
? 2

B

8.设函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象为曲线 C ,动点 A( x, y ) 在曲线 C 上,过 A 且 O 平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B( A、B 可以重合),设线段 AB 的长为 f ( x) , 则函数 f ( x) 单调递增区间 .

?

x

9.如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 动,则 OB OC 的最大值是________.

A , D 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上移

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? b 2 ,若 C 上存在点 P ,使得过点 P 引圆 O 的 2 a b 两条切线,切点分别为 A, B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 . * 11.已知 n ? N ,设平面上的 n 个椭圆最多能把平面分成 an 部分,则 a1 ? 2 , a2 ? 6 , a3 ? 14 ,
10.已知椭圆 C :

a4 ? 26 ,?, an ,? ,则 an ?


1

桃子和阿狸的百宝铺 2

12.已知函数

f ( x) ? xn?1 (n ? N*) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线 与 x 轴交点的


横坐标为 x n ,则 log2013 x1 + log2013 x2 +?+ log2013 x2012 的值为

13. 如图, 在梯形 ABCD 中, AD//BC, AC、 BD 相交于 O, 记△BCO、 △CDO、 △ADO 的面积分别为 S1、S2、S3,则

S1 ? S 3 的取值范围是 S2



14. 设 m, k 为整数, 方程 mx ? 2kx ? 2 ? 0 在区间 (0,1) 内有两个不同的根,
2

则 m ? k 的最小值为



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.

), (其中 ? ? 0) 的最小正周期为 ? . 2 3 (1)求 ? 的值,并求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)在锐角 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 1 若 f ( A) ? ? , c ? 3, ?ABC 的面积为 6 3 ,求 ?ABC 的外接圆面积. 2
15. 已知函数 f ( x) ? 2 cos
2

?x

? cos( ?x ?

?

E, F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF ∥ AB , BC ? 4 . 16. 如图, 矩形 ABCD 中,AB ? 3 , 将矩形 ABEF
沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.
B E C A F D

17. 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”:商场内所有商品按标价的八折出售,折后价格每满 500
2

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元再减 100 元.如某商 品标价为 1500 元,则购买该商品的实际付款额为 1500× 0.8-200=1000(元).设购 实际付款额 买某商品得到的实际折扣率= .设某商品标价为 x 元,购买该商品得到的实际折扣率为 y. 商品的标价 (1)写出当 x∈ ?0,1000? 时,y 关于 x 的函数解析式,并求出购买标价为 1000 元商品得到的实际折扣率; 2 (2)对于标价在[2500,3500]的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到的实际折扣率低于 ? 3

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

, 0) 的距离为 d2 , 18. 已知点 P 是直角坐标平面内的动点, 点 P 到直线 l1:x ? ?2 的距离为 d1 , 到点 F (?1


d2 2 .(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程;(2)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B(点 A ? d1 2

或 B 不在 x 轴上),分别过 A、B 点作直线 l1 : x ? ?2 的垂线,对应的垂足分别为 M 、N ,试判断点 F 与以 线段 MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况);(3)记 S1 ? S?FAM , S2 ? S?FMN ,
2 S3 ? S?FBN (A、B、 M 、N 是(2)中的点),问是否存在实数 ? ,使 S2 ? ? S1S3 成立.若存在,求出 ? 的值;

若不存在,请说明理由.

3

桃子和阿狸的百宝铺 4

19. 已知函数 ? ( x ) ?

a 9 , a 为正常数.(1)若 f ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且 a ? ,求函数 f ( x ) 的单调增 2 x ?1
g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 ,求 a 的的 x2 ? x1

区间;(2)若 g ( x) ?| ln x | ?? ( x) ,且对任意 x1 , x2 ? (0,2] , x1 ? x2 ,都有 取 值范围.

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

2 2 20.已知数列{an}的首项 a1=a,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且满足:S2 n=3n an+Sn-1,an≠0,n≥2,n∈

N*.(1)若数列{an}是等差数列,求 a 的值;(2)确定 a 的取值集合 M,使 a∈M 时,数列{an}是递增数列.

4

桃子和阿狸的百宝铺 5

数学附加题(满分 40 分,考试时间 30 分钟)
1.二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 8, 其对应的一个特征向量 e ? ? ?, 并且矩阵 M 对应的变换将点 (?1,2) 变换 成点 (?2,4) ,求矩阵 M .
2

?1? ?1?

2 .已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C 的极坐标方程为

? 2 cos2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 3, 直线 l 的参数方程为 ?
它到直线 l 的距离最大.

? x ? ? 3t ( t 为参数, t ? R) .试在曲线 C 上一点 M ,使 ?y ? 1? t

3. 如图 , 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD ,底面 ABCD 为梯形, AB // DC , AB ? BC , PA ? AB ? BC ,点 E 在棱 PB 上,且 PE ? 2 EB . (1) 求证:平面 PAB ⊥平面 PCB ; (2) 求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.

4. 设数列{an}满足 a1=a,an+1=an2+a1, M ? ?a ? R n ? N*, | an | ≤ 2? . (1)当 a∈ (-∞,-2)时,求证: a ?M;(2)当 a∈ (0, (3)当 a∈ (

1 ]时,求证:a∈ M; 4

1 ,+∞)时,判断元素 a 与集合 M 的关系,并证明你的结论. 4

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南师附中高三数学期末复习(三)

2014-01-19

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.若 A ? {2,3, 4} , B ? {x | x ? n ? m, m, n ? A, m ? n} ,则集合 B 的元素个数为 2.已知复数 z ? .3

1 ? 2i ,则它的 共轭复数 z 等于 i5

.2 ? i

3. 为了了解一片 经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底 部周长(单位:cm).所得数据如图,那么在这 100 株树木中,底部周长 不小于 1 10cm 的有 株. 30

4 . 将一 颗骰 子 投掷 两次分 别 得到 点数 a , b , 则 直线 ax ? by ? 0 与 圆

? x ? 2?

2

? y2 ? 2 相交的概率为



5 12

5.某同学设计右面的程序框图用以计算和式 12 ? 22 ? 32 ? ? 202 的值,则在 判断框中应填写 . i ? 20

6.设 ? , ? 为两个不重合的平面, m, n 为两条不重合的直线,现给出下列 四个命题:①若 m // ? , n ? ? ,则 m // n ;②若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ;③ 若 ? ? ? ,?

? ? m, n ? ? , n ? m, 则 n ? ? ; ④ 若 m / / n , n ?? ? , /? /则 ,
3○ 4 . ○

m ? ? .其中,所有真命题的序号是

?3 x ? y ? 6 ? 0 x ? 2 y ?1 ? 7 . 设 x,y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 则 的 取 值 范 围 y ? 2 ? x ? 0, y ? 0 ?


y A
O

B
? 2

9 1 . ( ??, ? ] [ ? , ??) 4 2

?

x

8. 设 函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象为曲线 C , 动点 A( x, y ) 在曲线 C 上, 过A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B( A、B 可以重合),设线段 AB 的长为 f ( x) , 则函数 f ( x) 单调递增区间 .[

?
2

,? ]

9.如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 动,则 OB OC 的最大值是________.2 10.已知椭圆 C :

A , D 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上移

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? b 2 ,若 C 上存在点 P ,使得过点 P 引圆 O 的 2 a b

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两条切线,切点分别为 A, B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是

. ?

? 3 ? ,1? ? 2 ? ?

11.已知 n ? N * ,设平面上的 n 个椭圆最多能把平面分 成 an 部分,则 a1 ? 2 , a2 ? 6 , a3 ? 14 ,

a4 ? 26 ,?, an ,? ,则 an ?
12.已知函数

. 2n ? 2n ? 2
2

f ( x) ? xn?1 (n ? N*) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线 与 x 轴交点的
. -1

横坐标为 x n , 则 log2013 x1 + log2013 x2 +?+ log2013 x2012 的值为

13. 如图, 在梯形 ABCD 中, AD//BC, AC、 BD 相交于 O, 记△BCO、 △CDO、 △ADO 的面积分别为 S1、 S2、 S3, 则

S1 ? S 3 的取值范围是 S2

. ( 2,??)

14. 设 m, k 为整数, 方程 mx ? 2kx ? 2 ? 0 在区间 (0,1) 内有两个不同的根,
2

则 m ? k 的最小值为

. 11

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.

), (其中 ? ? 0) 的最小正周期为 ? . 2 3 (1)求 ? 的值,并求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)在锐角 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 1 若 f ( A) ? ? , c ? 3, ?ABC 的面积为 6 3 ,求 ?ABC 的外接圆面积. 2
15. 已知函数 f ( x) ? 2 cos
2

?x

? cos( ?x ?

?

解:(Ⅰ )由已知得 f ( x) ? 1 ? cos?x ?

1 3 cos?x ? sin ?x 2 2

? 3 3 ? ? 1 ? cos?x ? sin ?x ? 1 ? 3 sin(?x ? ) 或 1 ? 3 cos( ?x ? ) 6 2 2 3
由函数 f ( x) 最小正周期为 ? ,得 ∴ f ( x) ? 1 ? 3 sin( 2 x ?

2?

, k ? Z 时, 2 ? 5? ], k ? Z ……7 分 f ( x) 是减函数,∴函数 f ( x) 的单调递减区间是 [k? ? , k? ? 12 12 3 2 3

?

?

? ? , ? ? 2 ………………4 分

) ,当 2k? ?

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

[来源:学科网 ZXXK]

(Ⅱ )由(Ⅰ )及已知得 f ( A) ? 1 ? 3 sin( 2 A ? ∴ 2A ?

?

1 ? 3 ) ? ? ,即 sin(2 A ? ) ? , 3 2 3 2

?
3

? 2k? ?

?
3

, 或 2k? ?

2? ? ? k ? Z ,∴ A ? k? ? , 或 k? ? k ? Z 3 3 2

又 ?ABC 是锐角三角形,∴ A ?

?

3

,……………10 分

∵?ABC 的面积为 6 3 ,∴ bc sin A ? 6 3 ,

1 2

3 3 b ? 6 3, b ? 8 , 4
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1 ? 49 , a ? 7 2 7 49 a 7 3 , ?ABC 的外接圆面积为 ? ………14 分 由正弦定理,得 2 R ? ? , R? 3 3 sin A 3 2
由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 64 ? 9 ? 2 ? 8 ? 3 ?
2 2 2

F 分别在线段 BC 和 AD 上,EF ∥ AB , 16. 如图, 矩形 ABCD 中,AB ? 3 ,BC ? 4 .E , 将矩形 ABEF
沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面

ECDF .
(Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.

A

F

D

B

E

C

(Ⅰ)证明:因为四边形 MNEF , EFDC 都是矩形, 所以 MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD . 所以 四边形 MNCD 是平行四边形,?????2 分 所以 NC ∥ MD , 因为 NC ? 平面 MFD , 所以 NC ∥平面 MFD . (Ⅱ)证明:连接 ED ,设 ED ??????4 分 ??????3 分

FC ? O .

因为平面 MNEF ? 平面 ECDF ,且 NE ? EF ,所以 NE ? 平 面 ECDF ,??5 分 所以 FC ? NE . 又 EC ? CD , 所以四边形 ECDF 为正方形,所以 FC ? ED . 所以 FC ? 平面 NED ,所以 ND ? FC . ???9 分 ??????7 分

(Ⅲ)解:设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 . 由(Ⅰ)得 NE ? 平面 FEC , 所以四面体 NFEC 的体积为 VNFEC ? 所以 VNFEC ?

1 1 S?EFC ? NE ? x(4 ? x) . 3 2

???11 分

1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2. 2 2

?????13 分

当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大. ??????14 分 17. 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”:商场内所有商品按标价的八折出售,折后价格每满 500 元再减 100 元.如某商品标价为 1500 元,则购买该商品的实际付款额为 1500× 0.8-200=1000(元).设购 实际付款额 买某商品得到的实际折扣率= .设某商品标价为 x 元,购买该商品得到的实际折扣率为 y. 商品的标价 (1)写出当 x∈ ?0,1000? 时,y 关于 x 的函数解析式,并求出购买标价为 1000 元商品得到的实际折扣率; 2 (2)对于标价在[2500,3500]的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到的实际折扣率低于 ? 3
8

桃子和阿狸的百宝铺 9

解:(1)∵500÷ 0.8=625

∴ y ? ? 0.8 x ? 100
? ? x

? ?

0.8,

0 ? x ? 625, , 625 ? x ? 1000.

???????4 分

当 x=1000 时,y=

0.8 ?1000? 100 =0.7 1000

???????????????5 分

即购买标价为 1000 元的商品得到的实际折扣率为 0.7. ??????????6 分 (Ⅱ)当 x∈[2500,3500]时,0.8x∈[2000,2800] ????????????7 分 0.8x ? 400 2 ,3125? 时, ,2500? 即 x∈ ?2500 ①当 0.8x∈ ?2000 解得 x<3000 ,∴2500≤x<3000; ? x 3
,2800? 即 x∈ ?3125 ,3500? 时, ②当 0.8x∈ ?2500

?10 分

0.8x ? 500 2 ? x 3

解得 x<3750 ∴3125≤x≤3500; ??13 分 综上,2500≤x<3000 或 3125≤x≤3500 即顾客购买标价在 ?2500,3000? .?14 分 ?3125,3500? 间的商品,可得到的实际折扣率低于 2 3

, 0) 的距离为 d2 , 18. 已知点 P 是直角坐标平面内的动点,点 P 到直线 l1:x ? ?2 的距离为 d1 ,到点 F (?1


d2 2 .(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程;(2)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B(点 A ? d1 2

或 B 不在 x 轴上),分别过 A、B 点作直线 l1 : x ? ?2 的垂线,对应的垂足分别为 M 、N ,试判断点 F 与以 线段 MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况); (3)记 S1 ? S?FAM , S2 ? S?FMN ,
2 S3 ? S?FBN (A、B、 M 、N 是(2)中的点),问是否存在实数 ? ,使 S2 ? ? S1S3 成立.若存在,求出 ? 的值;

若不存在,请说明理由. 解 (1) 设动点为 P( x,y ) , 依据题意,有

( x ? 1) 2 ? y 2 2 x2 ? ? y 2 ? 1.……… 3 分 ,化简得 | x?2| 2 2
??????4 分

x2 ? y 2 ? 1. 因此,动点 P 所在曲线 C 的方程是: 2
(2) 点 F 在以 MN 为直径的圆的外部.

理由:由题意可知,当过点 F 的直线 l 的斜率为 0 时,不合题意,故可设 直线 l : x ? my ? 1 ,如图所示. 5分

? x2 ? y 2 ? 1 ,可化为 (2 ? m2 ) y 2 ? 2my ?1 ? 0 , 联立方程组 ? ?2 ? x ? my ? 1 ?
2m ? y1 ? y2 ? ? 2 ? m2 . 则点 A( x1,y1 )、B( x2,y2 ) 的坐标满足 ? ? ?y y ? ? 1 ? 1 2 2 ? m2 ?

7分

又 AM ? l1 、 BN ? l1 ,可得点 M (?2,y1 ) 、 N (?2,y2 ) . 点与圆的位置关系,可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断,也可以计算点与直径形成的张角是锐 角、直角、钝角来加以判断.

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1 ? m2 因 FM ? (?1 ? 0 .9 分 ,y2 ) ,则 FM ? FN ? (?1 ,y1 ) ? (?1 ,y2 ) ? 1 ? y1 y2 = ,y1 ) , FN ? (?1 2 ? m2
于是, ?MFN 为锐角,即点 F 在以 MN 为直径的圆的外部. (3)依据(2)可算出 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? 10 分

4 2 ? 2m 2 x x ? ( my ? 1)( my ? 1) ? , , 1 2 1 2 2 ? m2 2 ? m2



1 1 1 1 1 1 ? m2 S1S 3 ? ( x 1 ? 2) | y |1? ( x ? ? [ x1 x 2 ? 2( x 1 ? x )2? 4] ? , 2 2) | y | ? 2 2 2 4 2 ? m2 2 (2 ? m2 )2 1 1 1 ? m2 2 S2 ? ( | y1 ? y2 | ?1) 2 ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? 2 . 2 4 (2 ? m2 )2
15 分

2 所以, S2 ? 4S1S3 ,即存在实数 ? ? 4 使得结论成立.

16 分

进一步思考问题: 若上述问题中直线 l1 : x ? ?

2 2 a2 , ) 、 、 点 F (?c0 曲线 C:x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0,c ? a 2 ? b 2 ) , c a b

2 则使等式 S2 ? ? S1S3 成立的 ? 的值仍保持不变.请给出你的判断

(填写“不正确”或“正确”)(限

于时间,这里不需要举反例,或证明).对进一步思考问题的判断:正确. 19. 已知函数 ? ( x ) ?

a 9 , a 为正常数.(1)若 f ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且 a ? ,求函数 f ( x ) 的单调增 2 x ?1
g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 ,求 a 的的 x2 ? x1

区间;(2)若 g ( x) ?| ln x | ?? ( x) ,且对任意 x1 , x2 ? (0,2] , x1 ? x2 ,都有 取 值范围. 解:⑴ f '( x) ? ∵a ? ⑵∵

1 a x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ,…2 分 ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

[来源:Zxxk.Com]

9 1 1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 2 ,或 x ? ,∴函数 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ) , (2, ??) . 6 分 2 2 2

g ( x2 ) ? g ( x1 ) g ( x2 ) ? g ( x1 ) g ( x2 ) ? x2 ? [ g ( x1 ) ? x1 ] ? ?1 , ∴ ? 1 ? 0 ,∴ ?0, x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1
9分

设 h( x) ? g ( x) ? x ,依题意, h( x) 在 ? 0, 2? 上是减函数。 当 1 ? x ? 2 时, h( x) ? ln x ?

a 1 a ? x , h '( x) ? ? ?1, x ?1 x ( x ? 1) 2

令 h '( x) ? 0 ,得: a ? 设 m( x ) ? x ? 3 x ?
2

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 对 x ? [1, 2] 恒成立, x x

1 1 1 ? 3 ,则 m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 ,∵ 1 ? x ? 2 ,∴ m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 ? 0 , x x x 27 27 ∴ m( x) 在 [1, 2] 上是增函数,则当 x ? 2 时, m( x) 有最大值为 ,∴ a ? . 12 分 2 2
10

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当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? ? ln x ?

a 1 a ? x , h '( x) ? ? ? ?1 , x ?1 x ( x ? 1)2

令 h '( x) ? 0 ,得: a ? ? 设 t ( x) ? x ? x ?
2

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? x ? ? 1 , x x

∴a ? 0,

1 1 ? 1 ,则 t '( x) ? 2 x ? 1 ? 2 ? 0 , ∴ t ( x) 在 (0,1) 上是增函数,∴ t ( x) ? t (1) ? 0 , x x 27 15 分 综上所述, a ? . 16 分 2

2 2 20.已知数列{an}的首项 a1=a,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且满足:S2 n=3n an+Sn-1,an≠0,n≥2,n∈

N*.(1)若数列{an}是等差数列,求 a 的值;(2)确定 a 的取值集合 M,使 a∈M 时,数列{an}是递增数列.
2 2 解:(1)在 S2 n=3n an+Sn-1中分别令 n=2,n=3,及 a1=a 得

(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2, 因 an≠0,所以 a2=12-2a,a3=3+2a. ????2 分 因数列{an}是等差数列,所以 a1+a3=2a2,即 2(12-2a)=a+3+2a,解得 a=3.?4 分 3n(n+1) 3n(n-1) 2 2 经检验 a=3 时,an=3n,Sn= ,Sn-1= 满足 S2 n=3n an+Sn-1. 2 2
2 2 2 2 2 2 (2)由 S2 n=3n an+Sn-1,得 Sn-Sn-1=3n an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n an,

即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因为 an≠0,所以 Sn+Sn-1=3n2,(n≥2),① ??6 分 所以 Sn+1+Sn=3(n+1)2,② ②-①,得 an+1+an=6n+3,(n≥2).③ ????8 分 所以 an+2+an+1=6n+9,④ ④-③,得 an+2-an=6,(n≥2) 即数列 a2,a4,a6,?,及数列 a3,a5,a7,?都是公差为 6 的等差数列, ???10 分 因为 a2=12-2a,a3=3+2a.

?a,n=1, ? 所以 an=?3n+2a-6,n为奇数且n≥3, ?3n-2a+6,n为偶数, ?

????12 分

要使数列{ an}是递增数列,须有 a1<a2,且当 n 为大于或等于 3 的奇数时,an<an+1,且当 n 为偶数时,an<an+1, 即 a<12-2a, 3n+2a-6<3(n+1)-2a+6(n 为大于或等于 3 的奇数), 3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n 为偶数), 9 15 9 15 解得 <a< .所以 M=( , ),当 a∈M 时,数列{an}是递增数列. ???16 分 4 4 4 4

数学附加题(满分 40 分,考试时间 30 分钟)
1.二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 8, 其对应的一个特征向量 e ? ? ?, 并且矩阵 M 对应的变换将点 (?1,2) 变换 成点 (?2,4) ,求矩阵 M .
2

?1? ?1?

11

桃子和阿狸的百宝铺 12

解:设 M ? ?

?a b ? ?1? ?1? ? a ? b ? ?8? ?a b ? ,则由 ? ? 8? ? ,得 ? ? ? ? ??? ?, ? ? c d ? ?1? ?1? ?c ? d ? ?8? ?c d ?

即 a ? b ? 8, c ? d ? 8 ………………2 分

由?

?a b ? ?? 1? ?? 2? ?? a ? 2b ? ?? 2? ? ? ? ,得 ? ? ? ? ? ? ? ?, ?c d ? ? 2 ? ? 4 ? ?? c ? 2d ? ? 4 ?

从而 ? a ? 2b ? ?2 , ? c ? 2d ? 4 …………4 分 由 a ? b ? 8, ? a ? 2b ? ?2 , c ? d ? 8 , ? c ? 2d ? 4 解得 a ? 6, b ? 2, c ? 4, d ? 4 ∴M ? ?

? 6 2? ?6 2? ?6 2? ?44 20? ,…………8 分 M 2 ? ? ? ?? ??? ? ?????10 分 ? 4 4? ?4 4? ?4 4? ?40 24?
? x ? ? 3t ( t 为参数, t ? R) .试在曲线 C 上一点 M ,使 ?y ? 1? t

2 .已知极坐标 系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C 的极坐标方程为

? 2 cos2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 3, 直线 l 的参数方程为 ?
它到直线 l 的距离最大.

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l 的普通方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0 …………4 分 解:曲线 C 的普通方程是 3
设点 M 的坐标是 ( 3 cos? , sin ? ) ,则点 M 到直线 l 的距离是

3 | 2 sin(? ? ) ? 1 | | 3 cos? ? 3 sin ? ? 3 | 4 ????????6 分 d? ? 2 2 ? ? 3? 5? , k ? Z , ? ? 2k? ? ,k ? Z 当 sin(? ? ) ? ?1 时,即 ? ? ? 2k? ? 4 4 2 4
d 取得最大值,此时 3 cos? ? ?

?

6 2 , , sin ? ? ? 2 2

[来源:学科网 ZXXK]

综上, 点 M 的坐标是 (?

6 2 ,? ) 时, M 到直线 l 的距离最大?10 分 2 2

4.设数列{an}满足 a1=a,an+1=an2+a1, M ? ?a ? R n ? N*, | an | ≤ 2? . (1)当 a∈ (-∞,-2)时,求证: a ?M;(2)当 a∈ (0, (3)当 a∈ (

1 ]时,求证:a∈ M; 4

1 ,+∞)时,判断元素 a 与集合 M 的关系,并证明你的结论. 4
?| a |? 2 , a ? M

证明:(1)如果 a ? ?2 ,则 a1 (2) 当
0? a≤

.??2 分

1 时, 1 an ≤ ( ?n ≥ 1 ). 4 2

12

桃子和阿狸的百宝铺 13

事实上,当 n ? 1 时, a1

? a≤

1. 2

2 2 假设 n ? k 时成立( k ? 1 ),则 n ? k ? 1 时 | a k ?1 |?| a k | ? a ? ( ) ?

1 2

1 1 ? 4 2

由归纳假设,对任意 n∈N*,|an|≤ 1 <2,所以 a∈M.…??…………………6 分
2
2 (3) 当 a ? 1 时, a ? M .证明如下:对于任意 n ≥ 1 , an ? a ? 1 ,且 an?1 ? an ?a.

4

4

对于任意 n ≥ 1 , an?1 ? an ? an2 ? an ? a ? (an ? 1 )2 ? a ? 1 ≥ a ? 1 , 则 an?1 ? an ≥ a ? 1 .所以, an?1 ? a ? an?1 ? a1 ≥ n(a ? 1 ) .
2 4 4 4 4

当n ?

2?a 1 a? 4

时, an?1 ≥ n(a ? 1 ) ? a ? 2 ? a ? a ? 2 ,即 an ?1 ? 2 ,因此 a ? M .…???10 分
4

3. 如图 , 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD ,底面

ABCD 为梯形, AB // DC , AB ? BC , PA ? AB ? BC ,点
E 在棱 PB 上,且 PE ? 2 EB .
(1) 求证:平面 PAB ⊥平面 PCB ; (2) 求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.

13


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