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《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教学设计


《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教学设计 教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于 ? ? 这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; ? (4)基底给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 二、讲解新课: 1.平面向量的坐标表示 如图, 在直角坐标系内, 我们分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a , 由平面向量基本定理知, 有且只有一对实数 x 、y , 使得 a ? xi ? yj …………○ 1 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) …………○ 2 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 2 式 ○ 叫做向量的坐标表示.与 .a 相等的向量的坐标也为 ..........( x, y ) . 特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) . 如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确 定. 设 OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是向量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是 可以用一对实数唯一表示. 2.平面向量的坐标运算 ( 1 ) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为 i 、 j ,则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y2 ) j 即 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) (2) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1) (3)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y) . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设 基 底 为 i 、 j , 则 ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj , 即 ?a ? (?x, ?y) 三、讲解范例: 例 1 已知 A(x1,y

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