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人教A版高中数学必修四 第二章 平面向量 2.4.2《平面向量的数量积》的坐标表示 模 夹角导学案

海南省海口市第十四中学高中数学必修 4:第二章 平面向量导学案 2.4.2 平面向量的数量积的坐标表示 模 夹角 【学习目标】 1. 在坐标形式下,掌握平面向量数量积的运算公式及其变式(夹角公式 ); 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 【学习过程】 一、自主学习 (一)知识链接:复习:1.向量 a 与 b 的数量积 a ? b = ? ? ? ? . ? ? ? ? ? ? 2.设 a 、 b 是非零 向量, e 是与 b 方向相同的单位向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则 ? ? ? ? ? ① a ? b ? a ?b ? ;② a ? ;③ cos ? ? (二)自主探究:(预习教材 P106—P108) 探究:平面向量数量积的坐标表示 . 问题 1:已知两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,怎样用 a 与 b 的坐标表示 a ? b 呢? 1. 平面向量数 量积的坐标表示 ? ? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a= ? ? x1 ? y1 ? ,b= ? x 2 ? y2 ? ,a ? b= ? ? ? (坐标形式)。 。 这就是说:(文字语言 )两个向量的数量积等于 ? 问题 2:如何求向量 a ? ? x, y ? 的模 a 和两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 间的距离? 2.平面内两点间的距离公式 (1)设 a=(x,y), 则 ? ? ?2 a = ________________或 a ________________。 (2)若 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 AB =___________________(平面内两点间的距离公式)。 ? ? 问题 3:如何求 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? 的夹角 ? 和判断两 个向量垂直? ? ? 3.两向量夹角的余弦:设 ? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? =_______ __=_______________ 向量 垂直的判定:设 a= ? ? x1,y1 ? ,b= ? x 2 , y2 ? , 则 a ? b ? _________________ (2)若 ABDC 是矩形,求 D 点的坐标。 ? 二、合作探究 1、已知 A?2,1?, B?3,2?, C ?? 1,4?, (1)试判断 ?ABC 的形状,并给出证明. 2、已知 a ? ? ? 与 b 的夹角 ? . ?1, 3?, b ? ? 3,1?,求 a 变式:已知 a=(3,0),b=(k,5) 且a 与b 的夹角为 ? ? ? ? 3 ? ,则k= ______________. 4 三、交流展示 1、若 a ? ? ?4,3? , b ? ? 5,6? ,则 3 a ? 4a ? b = ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? b a ? ? 3, ? 2 2、已知 ? ? , ? ? ?4, k ? ,若 ? 5a ? b ? ? ? b ? 3a ? ? ?55 ,试求 k 的值. ? 当 k 为何值时, ? (1,2),b ? (?3,2) , ? ? ? ? ? ? ? ? (1) ka ? b与 a ? 3b 垂直?(2) ka ? b与a ? 3b 平行吗?它们是同向还是反向? 3、已知, a ? 四、达标检测(A 组必做,B 组选做) A 组:1. 已知 a ? ? ?3,4? , b ? ? 5,2? ,则 a ? b 等于( ? ? ? ? ) ) ? ? ? ? 2. 若 a ? ? ?3,4? , b ? ?5,12? ,则 a 与 b 夹角的余弦为( A. A. 23 B. 7 C. ? 23 D. ?7 63 33 33 63 B. C. ? D. ? 65 65 65 65 ? ? ? ? ? ? 3. a ? ? 2,3? , b ? ? ?2,4? ,则 a ? b ? a ? b = ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4.已知向量 OA ? ? ?1,2? , OB ? ? 3, m ? ,若 OA ? AB ,则 m ? ? ?? ? , 。 5.已知四点 A? ?1,3? , B ?1,1? , C ? 4,4 ? , D ? 3,5? 求证:四边形 ABCD 是直角梯形. B 组:1. 已知 a ? ? 3, ?4? , b ? ? 2, x ? , c ? ? 2, y ? ,且 a // b , a ? c ,求: (1) b ? c ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) b 、 c 的夹角. ? ? 2. 已知点 A ?1,2? 和 B ? 4, ?1? ,问能否在 y 轴上找到一点 C ,使 ?ACB ? 90 ,若不能,说明理 ? 由;若能,求 C 点坐标. 3? ?1 3. 已知 a =( 3,-1), b =? , ?. (1)求证: a ⊥ b ; ?2 2 ? (2)若存在不 同时为 0 的实数 k 和 t,使 x = a +(t-3) 数关系式 k=f(t); (3)求函数 k=f(t)的最小值. b , y =-k a +t b ,且 x ⊥ y ,试求函

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