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合肥工业大学2008~2009学年理论力学试题A(88+8学时)

合肥工业大学 2008-2009 年度第一学期理论力学统考试卷 -
班级 洪嘉振教材 姓名 学号 80+8 学时 A 卷 共 考试日期 考试时间 120 分钟 命题教师 审核 题号 满分 得分 一 二 三 四 五 六 页) 总分

七 10

20

15

15

20

10

15

105

一,结构如图所示,由 AB , BC 杆件构成,C 端放在理想光滑水平面上,AB 杆上作用 力偶 M ,BC 杆上作用均布载荷 q ,已知 F = 10KN , M = 5KNm , q = 2KN m ,各杆自 重不计,试求 A , C 处约束反力以及销钉 B 对 BC 杆作用力. 图2分 一个方程 2 分 解: 以 BC 杆为对象:

F 2m A M 2m 2m q

B

∑M

B

= 0 , FC 2 q 2 2 2 = 0
FC = 4kN
45 °

∑F

x

= 0 , FBx q 2 2

2 =0 2

C
B

2 ∑ Fy = 0 , FBy q 2 2 2 + FC = 0
FBy = 0

FBx
FBy

q

45°

以 AB 梁为对象:

C FC

∑F ∑F

x

= 0 , FAx FBx = 0
FAx = 4kN

2m

y

= 0 , FAy FBy F = 0
FAy = 10kN

MA

F
A FAy M B FBy FBx

∑MA = 0, MA + M F 4 = 0
M A = 35kN m

FAx

4m

二,OA 杆长 l1,绕 O 轴定轴转动,带动长为 l2 的套筒 AB 在 O1D 杆上滑动.若设置如 图 所 示 的 参 考 基 e = [x e2 = [ x2 y ]T , 杆 OA 的 连 体 基 e1 = [ x1 y ]T , 套 筒 AB 的 连 体 基

y2 ]T ,并假设 ri 为第 i 个构件上待求点相对于参考基的坐标阵, rO 为基点坐标

阵, i 为第 i 个构件连体基相对于参考基的方向余弦 A 阵, ρi 为构件 i 上待求点相对于自身连体基的坐标 阵,试利用关系式 rA = rO + Ai ρi 写出机构运动到图示 位形时: (1) OA 杆和套筒 AB 相对于参考基的位形; (2)套筒 AB 的上 B 点相对于参考基的位置坐标阵. OA 杆位形 5 分,套筒 AB 位形 5 分 B 点相对于参考基的位置坐标阵 5 分 解:图示瞬时方向余弦阵

y

D
y2

x1
y1

A B

O

45° 60°

x2
x

O1

cos 45 ° A1 = sin 45 °

sin 45 ° 2 / 2 = cos 45 ° 2 / 2

2 / 2 l , ρ1 = 1 2 /2 0
l2 1/ 2 , ρ2 = 3 / 2 0

cos(30°) sin(30°) 3 / 2 A2 = = sin(30°) cos(30°) 1 / 2 (1) OA 杆的位形 q1 = [0 0 π / 4]
T

x A xO 2 / 2 2 / 2 l1 0 l1 2 / 2 l1 2 / 2 = = + y = y + 2 / 2 0 0 l1 2 / 2 l1 2 / 2 A O 2 / 2

套筒 AB 的位形 q1 = [x A

yA

π / 6]

T

2 = l1 2

2 l1 2



π
6

T

(2) B 点的位置坐标阵

xB x A 3 / 2 y = y + B A 1/ 2

l2 1/ 2 = 3 / 2 0

2 3 l1 1 l 2 + 2 2 = 2 ( 2l1 + 3l2 ) 1 2 1 2 ( 2l1 l2 ) l2 l1 2 2

三,半径为 r 的圆盘与长度为 l 的直杆 AB 在盘心 A 铰接,圆盘沿水平面纯滚,AB 杆 B 端沿铅直墙壁滑动.在图示位置,圆盘的角速度为 ω ,角加速度为 α ,杆与水平面的夹 角为 θ ,试求该瞬时杆端 B 的速度和加速度. 解:(1) 球速度,速度瞬心 C 如图 AC = l sin θ , BC = l cosθ

B
ω

v A = rω

(2 分)

l
θ

vA rω = (2 分) AC l sin θ rω vB = BC ω AB = l cosθ = rω cot θ l sin θ (2 分) ( 图 1 分)

ω AB =

r
α

A

C

ω AB

B
aA

B

ξ
t aBA

ω

l
vB

l
ω AB
θ
aA

n aBA

r
α
θ

aB

A

A

(2) 球加速度

(图 2 分)

a A = rα

(1 分)
2 AB

a

n BA

= AB ω

rω 2 r 2ω 2 = l( ) = (1 分) l sin θ l sin 2 θ
(* )

以 A 点为基点求 B 点加速度
t n aB = a A + aBA + aBA

n 式(*)向 ξ 轴投影: aB sin θ = a A cos θ aBA (2 分)

aB =

1 r 2ω 2 r 2ω 2 (rα cosθ + ) = rα cot θ + (2 分) sin θ l sin 2 θ l sin 3 θ

四,图示系统,均质圆盘 O1 ,O2 质量均为 m ,半径均为 R ,圆盘 O2 上作用已知力偶 M, 使圆盘绕 O2 轴转动,通过自重不计的水平绳带动圆盘 O1 在水平面上纯滚.试完成: (1) 用拉格朗日方程 拉格朗日方程求盘心 O1 的加速度; 拉格朗日方程 (2) 求水平绳的张力; R M (3) 滑轮 O1 与地面的静摩擦力. O2 解:(1) 求加速度 选 O2 轮的转角 2 为广义坐标

T = T1 + T2
2 2 = 1 J Sω12 + 1 J O2 ω2 = 1 ( 3 mR 2ω12 + 1 mR 2ω2 ) 2 2 2 2 2
2 = 1 mR 2 (3ω12 + ω2 ) 4

R

O1

(4 分)
S

由运动学知

2 Rω1 = Rω2 ,或 1 = 2 / 2
代入动能得
T = 1 mR 2 (3 4

(1 分)
2 2
4

2 + 2 ) =

7 2 mR 2 2 16

(1 分)

广义力: Q 2 = M (1 分) 代入拉氏方程
d T T 7 8M = Q 2 ,有 mR 2 2 = M ,得: 2 = (2 分) dt 2 2 8 7 mR 2
1 = 2 2 = 4M 7 mR 2

又由运动学知圆盘的角加速度
盘心 O1 的加速度: aO1 = R1 = (2) 求绳的张力(5 分) ( [法一]以 O2 轮为研究对象

F2 y

4M (1 分) 7 mR FT

O2 R
mg D R

M

F2 x

FT

由 LO2 = M FT R ,即 J O2 2 = M FT R
得: FT =
M 1 M 4 M 3M mR 2 = = R 2 R 7R 7R

O1 FS
mg
S F N

[法二]或以 O1 轮为研究对象

由 LS = FT 2 R ,即 J S1 = FT 2 R

得: FT =

3 3M mR 1 = 4 7R

( (2) 求摩擦力(5 分)

以 O1 轮为研究对象 [法一]运用质心运动定理 ma1 = FT + FS ,

FS = ma1 FT = m

4M 3M M = 2 7 mR 7R 7R

[法二]对动点 D 运用动量矩定理 LD + vD × mvO1 = M D ( F )
1 ( J C+ R mvO1 ) + 0 = FS 2 R ,即 mR 21 + R maO1 = FS 2 R 2 1 4M 1 4M M 得: FS = mR 2 )= (mR 2 2R 7 mR 2 7 mR 7R
d dt

五,图示机构,在铅垂面内,曲柄 OA 和连杆 AB 是相同的均质杆,长 OA = AB = l ,自 重不计,滑块 B 重 G ,曲柄 OA 上作用一力偶 M ,使机构静止平衡.已知静止平衡时 曲柄 OA 与水平线夹角为 ,试用虚位移原理 虚位移原理求机构平衡时力偶 M . 虚位移原理 y
B B

G
G1

D

A

A

C
M O

M



O

G1
x

解:虚功方程 或

FBy δy B + FDy δyD + FCy δyC + Mδ = 0 Mδ GδyB G1δyD G1δyC = 0

(*)

( 5 分) (3 分) (1 分)

B,C,D 三点的 y 坐标为

yB = 2l sin , yC = 1 l sin , y D = 3 l sin 2 2

求变分: 代入(*)式 或 得:

δy B = 2l cos δ , δyC = 1 l cos δ , δyD = 3 l cos δ 2 2
Mδ G 2l cos δ G1 1 l cos δ G1 3 l cos δ = 0 2 2

M G 2l cos 2G1l cos = 0 (1 分) M = 2(G +G1 )l cos

六,一边长为 a 的正立方体所受的力系如图所示,其中 F1 = F , F2 = 2 F ,试用坐标矩 阵法求力系向 O 点简化的结果. 解:建立参考基 e = [ x
y z ]T 如图
F1

写出两个力的坐标阵 F 1 (4 分)

0 = F 0

0 , F2 = F F
O

由主矢 FR = ∑ Fi ,可得主矢的坐标阵

0 0 0 FR = ∑ Fi = F + F = 0 (2 分) 0 F F
得: FR = F z ,即简化所得的力 FO = FR = F z (1 分) 假设各力作用点的位置矢量 r1 和 r2 ,对应的坐标阵

F2

z

F1

r1

r2 O
x

0 b b , r = 0 (2 分) r1 = 2 b b
由此写出坐标方阵

y

F2

0 ~ = b r1 b

b 0 0

b 0 ~ = b 0 , r2 0 0

b 0 b

0 b (2 分) 0

~ 主矩 M O = ∑ M O (F ) ,对应的坐标阵 M O = M1 + M 2 = ~ F1 + r2 F2 r1

0 b b 0 bF 0 b 0 0 bF F = 0 , ~ F = b 0 b F = bF (2 分) ~F = b r1 1 0 0 r2 2 b 0 0 0 0 0 b 0 F bF bF bF 0 这样得: M O = M1 + M 2 = 0 + bF = bF 0 bF bF
即主矩: M O = bF y + bF z (2 分) 简化的结果是一个力和一个力偶,这个力矢量和力偶矩矢量为:

FO = FR = F z , M O = bF y + bF z

七,质量不计的圆环如图,在径向焊接一个质量为 m,长为 r 的均质细棒,圆环可在水 平面上纯滚,求系统的运动微分方程. (提示:余弦定理: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos ; sin(π ) = sin ) 解:
[法一]选圆环的转角 为广义坐标,圆环的角速度为 . (1) 运动分析:

轮心的速度 vO = r ,均质细棒质心位于杆中,选轮心为

基点可以求得质心速度 vC = vO + vCO ,而 v CO
2 2 2 vC = vO + vCO 2vO vCO cos

=

1 2

r

4 = r 2 2 + 1 r 2 2 r 2 2 cos = r 2 2 ( 5 cos ) 4 (2) 受力分析: 受力分析如图. (3) 求系统动能和功 1 1 2 1 1 4 T = J C 2 + mvC = [ mr 2 2 + mr 2 2 ( 5 cos )] 2 2 2 12 (5 分) 1 2 4 2 = mr ( cos ) 2 3 W = mg 1 R (1 cos ) 2
vO O vO vCO C

(2 分)

vS

S

1 4 由 T T0 = W 有 mr 2 ( cos ) 2 T0 = mg 1 r (1 cos ) 2 2 3 等号两边同时对 t 求导 4 2 mr 2 ( cos ) + 1 mr 2 3 sin = mg 1 r sin 2 3
即 ( cos ) + sin +
4 3 1 2 2 g 2r

O

sin = 0 (3 分)


mg

C

[法二]选圆环的转角 为广义坐标,圆环的角速度为 . (1) 运动分析:

FS

S

FN

轮 心 的 速 度 v O = r , 均 质 细 棒 质 心 位 于 杆 中 , 选 轮 心 为 基 点 可 以 求 得 质 心 速 度

vC = vO + vCO ,而 v CO

=

1 2

r

2 2 2 vC = vO + vCO 2vO vCO cos

4 = r 2 2 + 1 r 2 2 r 2 2 cos = r 2 2 ( 5 cos ) 4 (2) 受力分析: 受力分析如图. (3) 求系统动能和势能

T=

1 1 2 1 1 4 J C 2 + mvC = [ mr 2 2 + mr 2 2 ( 5 cos )] 2 2 2 12 1 4 = mr 2 ( cos ) 2 2 3
V = mg 1 R cos 2
1 2 4 mr ( cos ) 2 + mg 1 R cos 2 2 3

以轮心为零时位置 拉氏函数

L = T V =

代入拉氏方程

d L L =0 dt

4 2 mr 2 ( cos ) + 1 mr 2 2 sin + mg 1 r sin = 0 2 3



2 ( 4 cos ) + 1 2 sin + 2gr sin = 0 3

[法三]选圆环的转角 为广义坐标,圆环的角速度为 .

(1) 运动分析:
轮 心 的 速 度 v O = r , 速 度 瞬 心 轨 迹 为 水 平 直 线 , 轨 迹 上 与 瞬 心 重 合 点 的 速 度 v S = vO = r ;均质细棒质心位于杆中,选轮心为基点可以求得质心速度 vC = vO + vCO , 而 vCO = 1 r 2

(2) 受力分析: 受力分析如图. (3) 对速度瞬心运用动量矩定理,即 LS + vS × mvC = ∑ M S (F ) (*) (2 分)
1 J S = J C + m CS 2 = 12 mr 2 + m(r 2 + 1 r 2 r 2 cos ) = ( 4 cos )mr 2 = ( 4 cos )mr 2(2 分) 4 3 3

LS = J S = ( 4 cos )mr 2 ; 3

LS = mr 2 2 sin + ( 4 cos )mr 2 (2 分) 3

v S × mvC = v S × mvCO = v S mvCO sin(π ) = 1 mr 2 2 sin 2
将(*)式向 z 轴(垂直纸面向外)投影得:
2 mr 2 2 sin + ( 4 cos )mr 2 1 mr 2 2 sin = mg 1 r sin 3 2

∑M

S

( F ) = mg 1 r sin (2 分) 2

2 2 即 ( 4 cos ) + 1 sin + 3

g 2r

sin = 0 (2 分)


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