# 合肥工业大学2008～2009学年理论力学试题A(88+8学时)

20

15

15

20

10

15

105

F 2m A M 2m 2m q

B

∑M

B

= 0 , FC 2 q 2 2 2 = 0
FC = 4kN
45 °

∑F

x

= 0 , FBx q 2 2

2 =0 2

C
B

2 ∑ Fy = 0 , FBy q 2 2 2 + FC = 0
FBy = 0

FBx
FBy

q

45°

C FC

∑F ∑F

x

= 0 , FAx FBx = 0
FAx = 4kN

2m

y

= 0 , FAy FBy F = 0
FAy = 10kN

MA

F
A FAy M B FBy FBx

∑MA = 0, MA + M F 4 = 0
M A = 35kN m

FAx

4m

y2 ]T ,并假设 ri 为第 i 个构件上待求点相对于参考基的坐标阵, rO 为基点坐标

y

D
y2

x1
y1

A B

O

45° 60°

x2
x

O1

cos 45 ° A1 = sin 45 °

sin 45 ° 2 / 2 = cos 45 ° 2 / 2

2 / 2 l , ρ1 = 1 2 /2 0
l2 1/ 2 , ρ2 = 3 / 2 0

cos(30°) sin(30°) 3 / 2 A2 = = sin(30°) cos(30°) 1 / 2 (1) OA 杆的位形 q1 = [0 0 π / 4]
T

x A xO 2 / 2 2 / 2 l1 0 l1 2 / 2 l1 2 / 2 = = + y = y + 2 / 2 0 0 l1 2 / 2 l1 2 / 2 A O 2 / 2

yA

π / 6]

T

2 = l1 2

2 l1 2

π
6

T

(2) B 点的位置坐标阵

xB x A 3 / 2 y = y + B A 1/ 2

l2 1/ 2 = 3 / 2 0

2 3 l1 1 l 2 + 2 2 = 2 ( 2l1 + 3l2 ) 1 2 1 2 ( 2l1 l2 ) l2 l1 2 2

B
ω

v A = rω

(2 分)

l
θ

vA rω = (2 分) AC l sin θ rω vB = BC ω AB = l cosθ = rω cot θ l sin θ (2 分) ( 图 1 分)

ω AB =

r
α

A

C

ω AB

B
aA

B

ξ
t aBA

ω

l
vB

l
ω AB
θ
aA

n aBA

r
α
θ

aB

A

A

(2) 球加速度

(图 2 分)

a A = rα

(1 分)
2 AB

a

n BA

= AB ω

rω 2 r 2ω 2 = l( ) = (1 分) l sin θ l sin 2 θ
(* )

t n aB = a A + aBA + aBA

n 式(*)向 ξ 轴投影: aB sin θ = a A cos θ aBA (2 分)

aB =

1 r 2ω 2 r 2ω 2 (rα cosθ + ) = rα cot θ + (2 分) sin θ l sin 2 θ l sin 3 θ

T = T1 + T2
2 2 = 1 J Sω12 + 1 J O2 ω2 = 1 ( 3 mR 2ω12 + 1 mR 2ω2 ) 2 2 2 2 2
2 = 1 mR 2 (3ω12 + ω2 ) 4

R

O1

(4 分)
S

2 Rω1 = Rω2 ,或 1 = 2 / 2

T = 1 mR 2 (3 4

(1 分)
2 2
4

2 + 2 ) =

7 2 mR 2 2 16

(1 分)

d T T 7 8M = Q 2 ,有 mR 2 2 = M ,得: 2 = (2 分) dt 2 2 8 7 mR 2
1 = 2 2 = 4M 7 mR 2

F2 y

4M (1 分) 7 mR FT

O2 R
mg D R

M

F2 x

FT

M 1 M 4 M 3M mR 2 = = R 2 R 7R 7R

O1 FS
mg
S F N

[法二]或以 O1 轮为研究对象

3 3M mR 1 = 4 7R

( (2) 求摩擦力(5 分)

FS = ma1 FT = m

4M 3M M = 2 7 mR 7R 7R

[法二]对动点 D 运用动量矩定理 LD + vD × mvO1 = M D ( F )
1 ( J C+ R mvO1 ) + 0 = FS 2 R ,即 mR 21 + R maO1 = FS 2 R 2 1 4M 1 4M M 得: FS = mR 2 )= (mR 2 2R 7 mR 2 7 mR 7R
d dt

B B

G
G1

D

A

A

C
M O

M

O

G1
x

FBy δy B + FDy δyD + FCy δyC + Mδ = 0 Mδ GδyB G1δyD G1δyC = 0

(*)

( 5 分) (3 分) (1 分)

B,C,D 三点的 y 坐标为

yB = 2l sin , yC = 1 l sin , y D = 3 l sin 2 2

δy B = 2l cos δ , δyC = 1 l cos δ , δyD = 3 l cos δ 2 2
Mδ G 2l cos δ G1 1 l cos δ G1 3 l cos δ = 0 2 2

M G 2l cos 2G1l cos = 0 (1 分) M = 2(G +G1 )l cos

y z ]T 如图
F1

0 = F 0

0 , F2 = F F
O

0 0 0 FR = ∑ Fi = F + F = 0 (2 分) 0 F F

F2

z

F1

r1

r2 O
x

0 b b , r = 0 (2 分) r1 = 2 b b

y

F2

0 ~ = b r1 b

b 0 0

b 0 ~ = b 0 , r2 0 0

b 0 b

0 b (2 分) 0

~ 主矩 M O = ∑ M O (F ) ,对应的坐标阵 M O = M1 + M 2 = ~ F1 + r2 F2 r1

0 b b 0 bF 0 b 0 0 bF F = 0 , ~ F = b 0 b F = bF (2 分) ~F = b r1 1 0 0 r2 2 b 0 0 0 0 0 b 0 F bF bF bF 0 这样得: M O = M1 + M 2 = 0 + bF = bF 0 bF bF

FO = FR = F z , M O = bF y + bF z

[法一]选圆环的转角 为广义坐标,圆环的角速度为 . (1) 运动分析:

2 2 2 vC = vO + vCO 2vO vCO cos

=

1 2

r

4 = r 2 2 + 1 r 2 2 r 2 2 cos = r 2 2 ( 5 cos ) 4 (2) 受力分析: 受力分析如图. (3) 求系统动能和功 1 1 2 1 1 4 T = J C 2 + mvC = [ mr 2 2 + mr 2 2 ( 5 cos )] 2 2 2 12 (5 分) 1 2 4 2 = mr ( cos ) 2 3 W = mg 1 R (1 cos ) 2
vO O vO vCO C

(2 分)

vS

S

1 4 由 T T0 = W 有 mr 2 ( cos ) 2 T0 = mg 1 r (1 cos ) 2 2 3 等号两边同时对 t 求导 4 2 mr 2 ( cos ) + 1 mr 2 3 sin = mg 1 r sin 2 3

4 3 1 2 2 g 2r

O

sin = 0 (3 分)

mg

C

[法二]选圆环的转角 为广义坐标,圆环的角速度为 . (1) 运动分析:

FS

S

FN

vC = vO + vCO ,而 v CO

=

1 2

r

2 2 2 vC = vO + vCO 2vO vCO cos

4 = r 2 2 + 1 r 2 2 r 2 2 cos = r 2 2 ( 5 cos ) 4 (2) 受力分析: 受力分析如图. (3) 求系统动能和势能

T=

1 1 2 1 1 4 J C 2 + mvC = [ mr 2 2 + mr 2 2 ( 5 cos )] 2 2 2 12 1 4 = mr 2 ( cos ) 2 2 3
V = mg 1 R cos 2
1 2 4 mr ( cos ) 2 + mg 1 R cos 2 2 3

L = T V =

d L L =0 dt

4 2 mr 2 ( cos ) + 1 mr 2 2 sin + mg 1 r sin = 0 2 3

2 ( 4 cos ) + 1 2 sin + 2gr sin = 0 3

[法三]选圆环的转角 为广义坐标,圆环的角速度为 .

(1) 运动分析:

(2) 受力分析: 受力分析如图. (3) 对速度瞬心运用动量矩定理,即 LS + vS × mvC = ∑ M S (F ) (*) (2 分)
1 J S = J C + m CS 2 = 12 mr 2 + m(r 2 + 1 r 2 r 2 cos ) = ( 4 cos )mr 2 = ( 4 cos )mr 2(2 分) 4 3 3

LS = J S = ( 4 cos )mr 2 ; 3

LS = mr 2 2 sin + ( 4 cos )mr 2 (2 分) 3

v S × mvC = v S × mvCO = v S mvCO sin(π ) = 1 mr 2 2 sin 2

2 mr 2 2 sin + ( 4 cos )mr 2 1 mr 2 2 sin = mg 1 r sin 3 2

∑M

S

( F ) = mg 1 r sin (2 分) 2

2 2 即 ( 4 cos ) + 1 sin + 3

g 2r

sin = 0 (2 分)

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