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2017学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充和复_图文

3.1
3.1.1

数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念

















1.了解数系的扩充过程. 2.理解复数的基本概念以及 复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示方法.

重点:1.复数的基本概念、复数相等. 2.复数的表示方法及有关概念. 3.复数的分类和复数相等的充要条件. 难点:1.复数的代数形式及其分类. 2.复数相等的充要条件.

01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

[自主梳理]
一、复数的概念及代数表示 1.定义:形如 a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中 i 叫作虚数单位,满足 i2= -1 . 2.表示:复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫作复数的 代数形式,a 与 b 分别叫作复数 z 的 实部 与 虚部 .

二、复数的分类 1.复数:a+bi(a,b∈R) ?实数?b=0? ? ? ? ?纯虚数?a=0? ?虚数?b≠0?? ? ?非纯虚数?a≠0? ? 2.集合表示

三、复数相等的充要条件 设 a,b,c,d 都是实数,那么 a+bi=c+di? a=c 且 b=d .

[双基自测]
1.复数 3-i 的虚部为( A. 1 C. i ) B.-1 D.-i

解析:复数 z=a+bi(a,b∈R)的虚部为 b,故选 B.

答案:B

2.下列复数中,和复数-1+i 相等的复数为( A.-1-i C.1+i B.1-i D.i2+i

)

解析:∵i2=-1,∴i2+i=-1+i,故选 D.

答案:D

3.z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则有( A.m=± 1 C.m=1 B.m=-1 D.m≠1
2 ? ?m -1=0, 是纯虚数,∴? ? ?m-1≠0,

)

解析:∵z

? 1, ?m=± 解得? ? ?m≠1,

∴m=-1.故选 B.

答案:B

探究一 [典例 1]

复数的概念

(1)下列说法错误的有________.(填序号)

①若 z∈C 时,z2≥0;②若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数;③若 a>b,则 a+i>b+i. (2)给出以下命题: ①复数由实数、虚数、纯虚数构成;②形如 a+bi 的数一定是虚数;③两个复数不能 比较大小;④若 a∈C,则(a+3)i 是纯虚数. 其中正确命题的个数是________.

[解析] (1)①错误,若 z=i,则 z2=-1<0;②错误,当 a=-1 时,(a+1)i=0∈R; ③错误,两个虚数不能比较大小. (2)①复数由实数和虚数组成,虚数中包含着纯虚数,故①错;②形如 a+bi 的数不 一定是虚数,也可能是实数,故②错;③中两个复数并非不可以比较大小,当两个 复数都是实数时就可以比较大小,故③错;④中当 a=-3 时,(a+3)i=0,不是纯 虚数,故④错.因此正确命题的个数为 0.

[答案]

(1)①②③

(2)0

解答复数的概念类问题: 1.虚数单位的性质 i2=-1,1· i=i,0· i=0. 2.复数的实部与虚部的确定方法 首先将所给的复数化简为复数的代数形式, 然后根据实部与虚部的概念确定实 部、虚部.

1.若复数 z=3+bi>0(b∈R),则( A.b>0 C.b<0

)

B.b=0 D.以上都不正确

解析:只有实数才可比较大小,既然有 z=3+bi>0,则说明 z=3+bi 是实数, 故 b=0.

答案:B

2.给出下列三个命题: ①1+i2=0; ②若 z∈C,则 z2≥0; ③复数 3-4i 的实部与复数 4-3i 的虚部相等. 其中正确命题的个数为( A. 0 C. 2 ) B.1 D. 3

解析:因为 i2=-1,故 1+i2=0,即①正确;②错误,如 i∈C,但 i2=-1<0; 复数 3-4i 的实部是 3,复数 4-3i 的虚部是-3,所以③不正确.

答案:B

探究二

复数的分类

[典例 2] 实数 m 为何值时, z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i 是(1)实数?(2)虚数? (3)纯虚数?
[解析] (1)若 z 为实数,则
? ?m≠-1, 即? ? ?m=-2或m=-1,

2 ? ?m +2m+1>0, ? 2 ? ?m +3m+2=0,

解得 m=-2. ∴当 m=-2 时,z 为实数. (2)若 z
2 ? ?m +2m+1>0, 是虚数,则? 2 ? ?m +3m+2≠0,

? ?m≠-1, 即? ? ?m≠-2且m≠-1,

解得 m≠-2 且 m≠-1. ∴当 m≠-2 且 m≠-1 时,z 为虚数. (3)若 z
2 ? ?lg?m +2m+1?=0, 为纯虚数,则? 2 ? ?m +3m+2≠0,

2 ? ?m +2m+1=1, 即? 2 ? ?m +3m+2≠0,

? ?m=0或m=-2, 即? ? ?m≠-1且m≠-2.

解得 m=0. ∴当 m=0 时,z 为纯虚数.

解答复数的分类问题的方法: 解决这类复数的分类问题时,主要依据复数 z=a+bi(a,b∈R)是实数、虚数、 纯虚数的充要条件进行求解, 列出相应的等式或不等式组求出参数的值或范围, 但若已知的复数 z 不是 a+bi(a,b∈R)的形式,应先化为这种形式,得到复数 的实部、虚部再进行求解.

3.实数 m 取什么值时,复数(m2-3m+2)+(m2-4)i 是: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解析:设 z=(m2-3m+2)+(m2-4)i. (1)要使 z 为实数,必须有 m2-4=0, 得 m=-2 或 m=2,即 m=-2 或 m=2 时,z 为实数. (2)要使 z 为虚数,必须有 m2-4≠0, 即 m≠-2 且 m≠2, 故 m≠-2 且 m≠2 时,z 为虚数.

(3)要使 z 为纯虚数,必须有
2 ? ?m -4≠0, ? 2 ? ?m -3m+2=0.

? ?m≠-2且m≠2, 所以? ? ?m=1或m=2,

所以 m=1,即 m=1 时,z 为纯虚数.

探究三 [典例 3]

复数相等

根据下列条件,分别求实数 x,y 的值.

(1)x2-y2+2xyi=2i; (2)(2x-1)+i=y-(3-y)i.

[解析]

(1)∵x2-y2+2xyi=2i,x,y∈R,
? ?x=1, 解得? ? ?y=1, ? ?x=-1, 或? ? ?y=-1.

2 2 ? ?x -y =0, ∴? ? ?2xy=2,

(2)∵(2x-1)+i=y-(3-y)i,且 x,y∈R,
? ?2x-1=y, ∴? ? ?1=-?3-y?,

5 ? ?x= , 2 解得? ? ?y=4.

怎样解答复数相等问题? 1.必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列 方程组求解. 2.根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提 供了条件,同时这也是复数问题实数化的体现.

4.已知复数 z=x+yi(x,y∈R),且 x,y 满足 2x y+xi=8+(1+y)i,求复数 z.


解析:∵2x y+xi=8+(1+y)i,x,y∈R,


x+y ? ?2 =8, ∴? ? ?x=1+y,

? ?x+y=3, 即? ? ?x-y=1,

? ?x=2, 解得? ? ?y=1.

∴z=2+i.

[典例]

m- 3 (本题满分 12 分)若复数 z= + m2-mi(m∈R)是虚数,求实数 m 的取 m+ 2

值范围.

[解析]

m- 3 因为复数 z= + m2-mi(m∈R)是虚数, m+ 2

所以 m+2≠0,且 m2-m>0,……………………………………………………6 分 解得 m>1 或 m<0 且 m≠-2, 故实数 m 的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,0)∪(1,+∞). ……………………12 分

[反思提升] 1.要牢记复数 z=a+bi(a, b∈R)为实数、 虚数或纯虚数的充要条件, 并且注意所给条件式中其他的对参数范围起到限制作用的因素,如本例中 m+ 2≠0,m2-m>0. 2.解题时,要注意一些隐含因素及条件对解题的影响,找出满足要求的所有题 目条件进行求解.

[随堂训练]
2 1.在 2+ 7, i,0,8+5i,(1- 3)i,0.618 这几个数中,纯虚数的个数为( 7 A. 0 C. 2 B.1 D. 3 )

2 解析: i,(1- 3)i 是纯虚数,2+ 7,0,0.618 是实数,8+5i 是虚数. 7

答案:C

2.以- 5+2i 的虚部为实部,以 5i+2i2 的实部为虚部的复数是( A.2-2i C.- 5+ 5i B.2+2i D. 5+ 5i

)

解析:- 5+2i 的虚部为 2, 5i+2i2=-2+ 5i,其实部为-2,故所求复数为 2 -2i.

答案:A

3.下列命题: ①若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则 x=± 1; ③两个虚数不能比较大小. 其中正确命题的序号是________.
解析:当 a=-1 时,(a+1)i=0,故①错误;两个虚数不能比较大小,故③对; 若(x2-1)+(x2+3x+2)i
2 ? ?x -1=0, 是纯虚数,则? 2 ? ?x +3x+2≠0,

即 x=1,故②错.

答案:③

4.已知(3x+y)+(2x-y)i=(7x-5y)+3i,则实数 x=________,y=________.
解析:∵x,y 是实数, ∴根据两个复数相等的充要条件, 9 ? ? ?x=4, ?3x+y=7x-5y, 可得? 解得? ? ?2x-y=3, ?y=3. ? 2

9 答案: 4

3 2


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