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834787com:圆锥曲线-椭圆-双曲线-抛物线-知识点总结-例题习题精讲-详细答案

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学习必备 精品知识点 课程星级:★★★★★ 知能梳理 【椭圆】 一、椭圆的定义 1 、 椭 圆 的 第 一 定 义 : 平 面 内 一 个 动 点 P 到 两 个 定 点 F1 、 F2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1F2 ) ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作 椭圆的焦距。 注意:若 ( PF1 ? PF2 ? F1F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1F2 ; 若 ( PF1 ? PF2 ? F1F2 ) ,则动点 P 的轨迹无图形。 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程(端点为 a、b,焦点为 c) (1)当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程: x a 2 2 ? y2 b2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c2 ? a2 ? b2 ; (2)当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程: y a 2 2 ? x2 b2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c2 ? a2 ?b2 ; 2、两种标准方程可用一般形式表示: x2 ? y2 ? 1 或者 mx2+ny2=1 mn 三、椭圆的性质(以 x 2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a ? b ? 0) 为例) 学习必备 精品知识点 1、对称性: 对于椭圆标准方程 x 2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a ? b ? 0) :是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形;并且是以原点为对 称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围: 椭圆上所有的点都位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足 x ? a , y ?b。 3、顶点: ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆 x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 A1 (?a,0) , A2 (a,0) , B1 (0,?b) , B2 (0,b) 。 ③线段 A1 A2 , B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2 ? 2a , B1B2 ? 2b 。 a 和 b 分别叫做椭圆 的长半轴长和短半轴长。 4、离心率: ① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ? 2c ? c 。 2a a ② 因为 (a ? c ? 0) ,所以 e 的取值范围是 (0 ? e ? 1) 。 e 越接近 1,则 c 就越接近 a ,从而 b ? a2 ? c2 越小,因此椭圆越扁; 反之, e 越接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为 x 2 ? y 2 ? a 。 ③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。 注意:椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的图像中线段的几何特征(如下图): a2 b2 PF1 ? PF2 ? e PM 1 PM 2 ( PF1 ? PF2 ? 2a) 2a 2 ( PM1 ? PM2 ? ) c 学习必备 精品知识点 5、椭圆的第二定义: 平面内与一个定点(焦点)和一条定直线(准线)的距离的比为常数 e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆 ( | PF | ? e )。 d 即:到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形,也即上图中有 PF1 ? PF2 ? e 。 PM 1 PM 2 ①焦点在 x 轴上: x 2 a2 ? y2 b2 ? 1(a>b>0)准线方程: x ? ? a2 c ②焦点在 y 轴上: y2 ? x2 ? 1(a>b>0)准线方程: y ? a2 ? a2 b2 c 6、椭圆的内外部 需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 x a 2 2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? x02 a2 ? y02 b2 ?1 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 x a 2 2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? x02 a2 ? y02 b2 ?1 四、椭圆的两个标准方程的区别和联系 标准方程 x2 a2 ? y2 b2 ?1 (a ? b ? 0) y2 a2 ? x2 b2 ?1 (a ? b ? 0) 图形 焦点 焦距 性质 范围 对称性 顶点 轴长 F1 (?c,0) , F2 (c,0) F1 (0,?c) , F2 (0, c) F1F2 ? 2c x ? a, y ?b F1F2 ? 2c x ?b, y ?a 关于 x 轴、 y 轴和原点对称 (?a,0) , (0,?b) (0,?a) , (?b,0) 长轴长= 2a ,短轴长= 2b 学习必备 精品知识点 离心率 准线方程 焦半径 e ? c (0 ? e ? 1) a x ? ? a2 c y ? ? a2 c PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0 五、其他结论 需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” 1、若 P0 (x0 , y0 ) 在椭圆 x2 a2 ? y2 b

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