当前位置:首页 >> 数学 >>

2017学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复_图文

3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

考 纲 定 位 1.了解数系的扩充过程.

重 难 突 破 重点:复数的代数表示及复数相等

2.理解复数的基本概念以及复 的充要条件等有关概念. 数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法. 难点:与复数有关的相关概念及复 数相等的充要条件的应用.

01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

[自主梳理] 1.复数的有关概念 (1)复数的定义 形如 a+bi(a,b∈R) 的数叫作复数,其中 i 叫作 虚数单位 ,满足 i2= -1 .全体复数所 成的集合 C 叫作 复数集 . (2)复数的表示 复数通常用字母 z 表示, 即 z= a+bi(a,b∈R) , 这一表示形式叫作复数的 代数形式 , a 与 b 分别叫作复数 z 的实部与 虚部 .

2.复数相等的充要条件 在复数集 C={a+bi|a,b∈R}中任取两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规定 a +bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c且b=d . 3.复数的分类 (1)复数 a+bi(a,b∈R)
? ? ? ? ?

实数 ?b=0?, 虚数 ?b≠0??当a=0时为 纯虚数 ?

(2)集合表示:

[双基自测] 1.其中说法错误的是( )

(1)若 a,b 为实数,则 z=a+bi 为虚数. (2)若 a 为实数,则 z=a 一定不是虚数. (3)bi 是纯虚数. (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0,那么这两个复数相等. A.(1)(2) C.(2)(4) B.(1)(3) D.(3)(4)

解析:(1)若 b=0 时,z 为实数,(1)不正确. (2)正确.因为 a 为实数,所以 z=a 中没有虚部,一定不是虚数.它是实数. (3)错误.若 b=i,则 bi=i2=-1.故 bi 不一定是纯虚数. (4)正确.由复数相等的概念可得.

答案:B

2.以 3i- 2的虚部为实部,以-3+ 2i 的实部为虚部的复数是( A.3-3i C.- 2+ 2i B.3+i D. 2+ 2i

)

解析:3i- 2的虚部为 3,-3+ 2i 的实部为-3,则所求复数为 3-3i.

答案:A

3.如果(x+y)i=x-1,则实数 x,y 的值分别为( A.x=1,y=-1 C.x=1,y=0 B.x=0,y=-1 D.x=0,y=0
? ?x=1, ∴? ? ?y=-1.

)

? ?x+y=0, 解析:由已知得? ? ?x-1=0,

答案:A

4.复数 z=(x2-1)+(x-1)i(x∈R)为纯虚数,则 x=________.
解析:z 为纯虚数,则 x-1≠0 且 x2-1=0,解得 x=-1.
答案:-1

探究一

复数的基本概念

[例 1] 给出下列三个命题:①若 z∈C,则 z2≥0;②2i-1 虚部是 2i;③2i 的实部是 0.④若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数.其中真命题的个数为( A.0 C.2 B.1 D.3 )

[解析] 对于①,当 z∈R 时,z2≥0 成立,否则不成立,如 z=i,z2=-1<0,所以① 为假命题; 对于②,2i-1=-1+2i,其虚部为 2,不是 2i,所以②为假命题; 对于③,2i=0+2i,其实部是 0,所以③为真命题. 对于④,当 a=-1 时,(a+1)i 为实数,④为假命题 因此四个命题中只有一个真命题.

[答案] B

判断与复数有关的命题是否正确的方法 (1)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类型题时, 可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答. (2)化代数式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为 “a+bi”的形式,更 要注意这里 a,b 均为实数时,才能确定复数的实、虚部.

1.给出下面四个命题: ①1+i2=0; ②若 a,b∈R,且 a>b,则 a+i>b+i; ③若 x2+y2=0,则 x=y=0; ④两个虚数不能比较大小. 其中,正确命题的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:对于①,因为 i2=-1,所以 1+i2=0,故①正确. 对于②,两个虚数不能比较大小,故②错. 对于③,当 x=1,y=i 时 x2+y2=0 成立,故③错.④正确.

答案:B

探究二 复数相等的充要条件及应用 [例 2] 已知集合 M={(a+3)+(b2-2b)i,8},集合 N={3i,(a2-1)+(b2+2)i}同时满 足 M∩N M,M∩N≠?,求整数 a,b.
[解析] 由条件 M∩N M,M∩N≠?,a,b∈Z. ∴M,N 一定有公共元素. 又 b2+2≠0,∴(a2-1)+(b2+2)i≠8 所以(a+3)+(b2-2b)i=3i,① 或(a+3)+(b2-2b)i=(a2-1)+(b2+2)i,②

?a+ 3= 0, ? 由①得? 2 ? ?b - 2b= 3, ?a=- 3, ? ∴? ? ?b= 3或 b=- 1.

当 a=-3,b=3 时,M={3i,8},N={3i,8+11i}满足题意. 当 a=-3,b=-1 时,M={3i,8},N={3i,8+3i}满足题意.
?a+ 3= a2- 1, ? 由②得? 2 2 ? b - 2 b = b +2. ?

无整数解,舍去,

综上知 a=-3,b=3 或 a=-3,b=-1.

化复为实转化求解 (1)应用两个复数相等的充要条件时,首先要把 “=”左右两侧的复数写成代数形 式,即分离实部与虚部,然后确定两个独立参数列出方程,化复数问题为实数问题 得以解决. (2)求解复数的有关问题,务必注意字母参数的取值范围和条件.

2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i 其中 x,y∈R,i 为虚数单位,求复数 z=x+yi.

解析:根据复数相等的充要条件, 由(2x-1)+i=y-(3-y)i,
? ?2x-1=y, 得? ? ?1=-?3-y?,

5 ? ?x= , 2 解得? ? ?y=4.

5 ∴复数 z=x+yi= +4i 2

探究三

复数的分类

m2+m-6 [例 3] 当实数 m 为何值时,复数 z= +(m2-2m)i. m (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

[解析]

2 ? ?m -2m=0, (1)当? ? ?m≠0,

即 m=2 时,复数 z 是实数.

(2)当 m2-2m≠0,且 m≠0,即 m≠0 且 m≠2 时,复数 z 是虚数. ?m2+m-6 ? =0, m (3)当? 即 m=-3 时,复数 z 是纯虚数. 2 ? ?m -2m≠0.

解决复数分类问题的方法步骤 (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部. (2)定条件:对于复数 z=a+bi(a,b∈R)的分类问题,要理解其分类的充要条件: ①复数 z 是实数?b=0; ②复数 z 为虚数?b≠0; ③复数 z 为纯虚数?a=0,且 b≠0. (3)列方程(不等式)组:主要依据虚部和实部满足的条件,求参数时可由此列出方程 (组), 但必须要全面考虑所有条件,不能遗漏.如本题中,易忽略对 m≠0 的限制. (4)下结论.

3.已知 m∈R,复数 z=lg m+(m2-1)i,当 m 为何值时, (1)z 为实数;(2)z 为虚数;(3)z 为纯虚数.
? ?m>0, 解析:(1)当? 2 ? ?m -1=0,

即 m=1 时,复数 z 是实数.

(2)当 m2-1≠0 且 m>0,即 m>0 且 m≠1 时,复数 z 是虚数. (3)当 lg m=0 且 m2-1≠0 时,此时无解,即无论实数 m 取何值均不能表示纯虚数.

忽略隐含条件而致误 m-3 [典例] 若复数 z= + m2-m i(m∈R)是虚数,则实数 m 的取值范围是( m+2 A.(-∞,0]∪[1,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-2)∪(-2,0]∪[1,+∞) D.(-∞,-2)∪(-2,0)∪(1,+∞) )

m-3 [解析] 因为复数 z= + m2-m i(m∈R)是虚数,所以 m+2≠0,且 m2 m+2 -m>0,解得 m>1 或 m<0 且 m≠-2,故实数 m 的取值范围是(-∞,-2)∪ (-2,0)∪(1,+∞).

[答案] D

[错因与防范] (1)在解答时,经常会忽视复数的虚部 m2-m≠0,而引起 m 的取值 范围求错. (2)题目隐含条件的挖掘 解题时,要注意一些隐含因素及条件对解题的影响,找出满足要求的所有题目条件进 行求解.

[随堂训练] 2 1.在 2+ 7, i,0,8+5i,(1- 3)i,0.618 这几个数中,纯虚数的个数为( 7 A.0 C.2 B.1 D.3 )

2 解析: i,(1- 3)i 是纯虚数,2+ 7,0,0.618 是实数,8+5i 是虚数. 7

答案:C

2.下列命题中的假命题是( A.自然数集是非负整数集

)

B.实数集与复数集的交集为实数集 C.实数集与虚数集的交集是{0} D.纯虚数与实数集的交集为空集

解析:本题主要考查复数集合的构成,即复数的分类.复数可分为实数和虚数两大部 分,虚数中含有纯虚数,因此,实数集与虚数集没有公共元素,故选项 C 中的命题 是假命题.

答案:C

m?m+2? 3.已知 m∈R,复数 z= +(m2+2m-3)i,当 m 为何值时, m-1 (1)z 为实数;(2)z 为虚数;(3)z 为纯虚数.
解析:(1)z∈R,则 m2+2m-3=0 且 m-1≠0 解之得 m=-3 ∴当 m=-3 时,z 为实数. (2)要使 z 为虚数,需满足 m2+2m-3≠0,且 m-1≠0. 解得 m≠1 且 m≠-3. m?m+2? (3)要使 z 为纯虚数,需满足 =0,且 m2+2m-3≠0, m-1 解之得 m=0 或 m=-2.


相关文章:
2017-2018学年高中数学第三章数系的扩展与复数的引入3.....doc
2017-2018学年高中数学第三章数系的扩展与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学案(含解析)_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 数系的扩充和复数的概念 复数...
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.....doc
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系2394_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 数系的扩充和复数的概念 [课时...
...的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课....ppt
2016_2017学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课件_数学_高中教育_教育专区。第三 章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的...
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.....doc
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.2复数_数学_高中教育_教育专区。3.1.2 复数的几何意义 [课时作业] [A 组 ...
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩展与复数的引入3.....doc
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩展与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学案含解析_数学_高中教育_教育专区。内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 3.1...
...学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数....ppt
【创新设计】2015-2016学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课件总结_营销/活动策划_计划/解决方案_实用文档。第三章 3.1...
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.....doc
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念2练习新人教A_数学_高中教育_教育专区。内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 3.1...
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.....ppt
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.2复数的几何意义课件_高考_高中教育_教育专区。3.1 数系的扩充和复数的概念 ...
...2课件:第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩....ppt
2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件:第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念_数学_高中教育_教育专区。第三章 §3.1 数系的扩充...
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和....doc
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与....ppt
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的
[小初高学习]2017-2018学年高中数学 第三章 数系的扩充....doc
2018学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复_数学...小初高试卷教案习题集 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 [课时作业] [A 组 ...
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与....doc
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和....doc
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与....ppt
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和....doc
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充....ppt
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课件_数学_高中教育_教育专区。第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念...
2018年秋高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 ....doc
2018年秋高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概_数学_高中教育_教育专区。2018 ...
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充....ppt
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第三 章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充...
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充....doc
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念达标练1_2_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 数系的扩充和复数的概念 1.复数 z=2+m-i(...