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5平面上两点间的距离-课件1215909_图文

平面上两点间的距离

已知四点A(-1,3),B(3,-2), C(6,-1),D(2,4),则四边形ABCD 是否为平行四边形?
分析:如何判断一个四边形是否为平行四边形?
1.判断两组对边是否对应平行
2.判断一组对边是否平行且相等
3.对角线互相平分的四边形为平行四边形
问题:如何计算两点间的距离?

过点A向X轴作垂线,过点B向Y轴作垂线, 两条垂线交于点P,则点P的坐标是(-1,-2),
且 PA?3?(?2) ?5, PB?3?(?1) ?4
y

A(?1, 3)

y
D(2,4) A(?1,3)

O

x C(6,?1)

B(3,?2)

O

x

Rt所?PAB 以,

P(?1,?2)

B(3, ?2)

A B 2 ? P A 2 在 ? P B 2 ? 5 2 ? 4 2 ? 4 1

AB ? 41类中似,可得CD? 41 ,所以AB?CD. 同理有 BC?DA,故四边形ABCD为平行四边形

一般地说,已知两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)
如何求两点间的距离?

y x 如果 x1?x2,y1?y2,过P1 , P 2 分别向 轴、 轴作

垂线交于点 Q ,则点 Q 的坐标为 ( x 2 , y 1 ) .

y
y2

P2(x2, y2)

合 作

x1
o
P1(x1, y1) y 1

x2
Q(x2, y1) x

探 究

因为 P1Q? x2 ?x1 ,

P2Q? y2 ?y1
y
y2

所以,在 Rt?P1P2Q中,
P 1P22?P 1Q2?P2Q2

x1
o
P1( x1, y1) y 1

P2(x2, y2)
x2
Q(x2, y2) x

? ?(x2?x1)2?(y2?y1)2 ( )

yy 如果 x1 ? x 2 , 那么 P1P2 ? y2 ?y1 , 2 ?( ) 式也成立

P2(x2, y2)

如果 y1 ? y 2 , 那么 P1P2 ? x2 ?x1
?( ) 式仍成立.

o

y1

x
P1 ( x1, y1 )

由此,我们得到平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的
距离公式

P 1P 2?(x2?x1)2?(y2?y1)2

例题讲解 例1
(1) 求 A(?1,3),B(2,5)两点间的距离; (2)已知 A(0,10),B(a,?5)两点间的距离是17,求实数
(3a ) 的值.
分析:利用距离公式

现那在怎再样来求考线察段本A节C开中头点的的问坐题标,呢由?于两条对角线互 相平分的四边形是平行四边形,所以,只需说明对角
( x , y ) 设线线AC段和ABCD的的中中点点M相的同坐,标即为可推得四边,过形点AAB,CMD,C为向平x
轴行作四垂边线形,.垂足分别为 A 1 , M 1 , C 1 ,
则 A 1 ,M 1 ,C 1 的横坐标分别为-1,x,6

y
D(2,4) A(?1,3)

O

x C(6,?1)

B(3,?2)

y

A(?1,3) A1O

M(x, y)
M1 C1 x
C(6,?1)

由解A得1M1x??M?11C?1 ,6 ?得5 x?同(? 理1可)得?6y?? x3?,(?1) ?1

22

2

所同A以理B线可C段 得 D的 线 的中 段 对点 B 角坐 D 线标的A为中C点,( 52坐B, 1标D) 也在M为点( 52 互, 1相) 平,分因,此故四这边个形

四边形为平行四边形

一般地, 对于平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)

的中点是 M (x0, y0) ,则
此即中点坐标公式

x0

?

x1

? x2 2

,线段P 1

P

2

y0

?

y1 ? y2 2

中点坐标公式的证明

可仿照上例的推导过程加以证明,亦可用距离公式及 斜率公式证明.
下面我们仅就 x1 ? x 2 的情况,用后一种方法加以证明

P P M 第一步:利用斜率公式证明点 在 上.



kMP1

?kMP2

? y1?y2 x1 ?x2

12 得三点共线.

第二步:利用距离公式证明 MP1 ?MP2

由 M P 1?M P2? ???x1? 2x2???2????y1? 2y2???2
得 MP1 ?MP2

所以点 M 为 P 1 P 2 的中点 当 x1 ? x 2 时,结论显然成立.

例2.
已知?ABC 的顶点坐标为 A (? 1 ,5 ),B (? 2 ,? 1 ),C (4 ,7 ),
求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程.

分析:
1.先利用中点坐标公式求出点M 的坐标,

2.再利用两点间距离公式求得中

线AM的长

y

C (4, 7)

A(?1, 5)

M

O

x

B(?2,?1)

3.可利用两点式求中线AM所在直 线的方程

例3

已M知,建立?A适B当C的是直直角角坐三标角系形,证,斜明边: BACM的?中1点B为C

2

分析:

y

设出两点坐标 B(b,0),C(0,c) ,

C (0,c)
M

则由中点坐标公式 M ( b , c ) 22
由两点间距离公式易证得

O A B(b,0) x

AM ? 1 BC 2

练习
P92练习 1,2,3

小 结:

1. 平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式

P 1P 2?(x2?x1)2?(y2?y1)2
2. 平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)对应线段 P 1 P 2 的

中点坐标公式

设中点 M (x0 , y0 )

x0

?

x1 ? x2 2

y0

?

y1 ? y2 2

作业
习题2.1(3)
第 1, 3, 4 题


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