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2016-2017学年高中数学人教版选修1-1课件:1.1.2+3 四种命题 四种命题间的相互关系_图文

1.1.2 & 1.1.3 四种命题

四种命题间的相互关系

四种命题
[提出问题] 观察下列四个命题: (1)若一个四边形的两条对角线相等,则这个四边形是矩形; (2)若一个四边形是矩形,则其两对角线相等; (3)若一个四边形两条对角线不相等,则这个四边形不是矩形; (4)若一个四边形不是矩形,则其两对角线不相等.

问题:命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么 关系?

提示:命题(1)的条件是命题(2)的结论,且命题(1)的结论是命 题(2)的条件; 对于命题(1)和(3),其中一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的条件的否定和结论的否定; 对于命题(1)和(4),其中一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的结论的否定和条件的否定.

[导入新知] 1.四种命题的概念 一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别是另 一个命题的结论和条件,那么把这样的两个命题叫做 互逆命题 , 如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个 命题叫做 互否命题 ,如果是另一个命题结论的否定和条件的否定, 那么把这样的两个命题叫做 互为逆否命题 ,把第一个叫做原命题 时,另三个可分别称为原命题的 逆命题 、 否命题 、 逆否命题 .

2.四种命题结构

[化解疑难] 1. 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论, 用綈 p 和綈 q 分别 表示 p,q 的否定. 2.四种命题是相对的,一个命题是什么命题不是固定不变的.

四种命题之间的关系
[提出问题] 问题:我们同样观察知识点一中的四个命题,你能说出其中 任意两个命题之间的相互关系吗?

提示:命题(2)(3)是互为逆否命题,命题(2)(4)是互否命题,命 题(3)(4)是互逆命题.

[导入新知] 1.四种命题之间的关系

2.四种命题的真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有 相同的 真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系 .

[化解疑难] 互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之 间的相对关系,不具有特指性,即四种命题中的任意两个命题 之间一定具有这三种关系中的一种,且唯一.

四种命题的概念

[例 1] 把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并写出它 们的逆命题、否命题与逆否命题. (1)全等三角形的对应边相等; (2)当 x=2 时,x2-3x+2=0.

[解 ]

(1)原命题: 若两个三角形全等, 则这两个三角形三边对应相等;

逆命题:若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等; 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形三边对应不相等;

逆否命题:若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角形不全等. (2)原命题:若 x=2,则 x2-3x+2=0; 逆命题:若 x2-3x+2=0,则 x=2; 否命题:若 x≠2,则 x2-3x+2≠0; 逆否命题:若 x2-3x+2≠0,则 x≠2.

[类题通法] (1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和 结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件和结论同时否定即 得否命题,将条件和结论互换的同时,进行否定即得逆否命题. (2)如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、 逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变.

[活学活用] 把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并写出它的逆命 题、否命题、逆否命题,然后判断它们的真假: (1)正数 a 的平方根不等于 0; (2)平行于同一条直线的两条直线平行.
解: (1)原命题: 若 a 是正数, 则 a 的平方根不等于 0.是真命题. 逆命题:若 a 的平方根不等于 0,则 a 是正数.是假命题. 否命题:若 a 不是正数,则 a 的平方根等于 0.是假命题. 逆否命题:若 a 的平方根等于 0,则 a 不是正数.是真命题.

(2)原命题:若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平 行.是真命题. 逆命题:若两条直线平行,则这两条直线平行于同一条直 线.是真命题. 否命题:若两条直线不平行于同一条直线,则这两条直线不 平行.是真命题. 逆否命题:若两条直线不平行,则这两条直线不平行于同一 条直线.是真命题.

四种命题真假的判断
[例 2] 有下列四个命题: (1)“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的否命题; (2)“若 x>y,则 x2>y2”的逆否命题; (3)“若 x≤3,则 x2-x-6>0”的否命题; (4)“对顶角相等”的逆命题. 其中真命题的个数是 A.0 C.2 B. 1 D.3 ( )

[解 ]

(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性,其逆命

题为“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”,为真命题; (2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性,而原命题为假命题 (如 x=0,y=-1),故其逆否命题为假命题; (3)该命题的否命题为“若 x>3,则 x2-x-6≤0”,很明显为 假命题; (4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”,显然是假命题. [答案] B

[类题通法] 解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念,原命题与它 的逆否命题同真同假,原命题的否命题与逆命题也互为逆否命 题,同真同假,故只判断二者中的一个即可.

[活学活用] 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假. (1)在△ABC 中,若 BC>AC,则 A>B; (2)相等的两个角的正弦值相等.
解:(1)逆命题:在△ABC 中,若 A>B,则 BC>AC.真命题. 否命题:在△ABC 中,若 BC≤AC,则 A≤B.真命题. 逆否命题:在△ABC 中,若 A≤B,则 BC≤AC.真命题. (2) 逆命题:若两个角的正弦值相等,则这两个角相等.假命题. 逆否命题:若两个角的正弦值不相等,则这两个角不相等.真命题.

否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等.假命题.

等价命题的应用
[例 3] 证明:已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈ R,若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则 a+b≥0.

[解] 证明: 法一: 原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(-∞, +∞)上的增函数,a,b∈R,若 a+b<0,则 f(a)+f(b)<f(-a)+ f(-b)”. 若 a+b<0,则 a<-b,b<-a. 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),

∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 即原命题的逆否命题为真命题. ∴原命题为真命题. 法二:假设 a+b<0,则 a<-b,b<-a. 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a). ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 这与已知条件 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾. 因此假设不成立,故 a+b≥0.

[类题通法] 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性, 所以在直接 证明某一个命题为真命题有困难时, 可以通过证明它的逆否命 题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.

[活学活用] 证明:若 m2+n2=2,则 m+n≤2.

证明:将“若 m2+n2=2,则 m+n≤2”视为原命题,则它 的逆否命题为“若 m+n>2,则 m2+n2≠2”. 1 2 1 由于 m+n>2,则 m +n ≥ (m+n) > ×22=2, 2 2
2 2

所以 m2+n2≠2. 故原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.

2.否命题理解中的误区

[典例] 将命题“当 a>0 时, 函数 y=ax+b 是增函数”写成 “若 p,则 q”的形式,并写出其否命题.

[解 ] 函数.

“若 p,则 q”的形式:若 a>0,则函数 y=ax+b 是增

否命题:若 a≤0,则函数 y=ax+b 不是增函数.

[易错防范] 1.“a>0”的否定易误为“a<0”,“增函数”的否定易 误为“减函数”,这是初学者易犯的错误. 2.在写一个命题的否命题、逆否命题时,一定要搞清楚所 否定的对象及其所对应的性质,如本题中,实数 a 可能有三种取 值,分别为 a>0,a=0,a<0,从而 a>0 的否定是 a≤0.

[成功破障] π (湖南高考)命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是( 4 π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 4 π C.若 tan α≠1,则 α≠ 4 π B.若 α= ,则 tan α≠1 4 π D.若 tan α≠1,则 α= 4 )

解析:否定原命题的结论作条件,否定原命题的条件作结论所 得的命题为逆否命题,可知 C 正确. 答案:C

[随堂即时演练]
1.命题“若 a?A,则 b∈B”的否命题是 A.若 a?A,则 b?B C.若 b∈B,则 a?A B.若 a∈A,则 b?B D.若 b?B,则 a?A ( )

解析: 命题“若 p, 则 q”的否命题是“若綈 p, 则綈 q”, “∈” 与“?”互为否定形式. 答案:B

an+an+1 2.(陕西高考)原命题为“若 <an,n∈Ν+,则 an 为递减数 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

列”, 关于其逆命题、 否命题、 逆否命题真假性的判断依次如下, 正确的是 A.真,真,真 B.假,假,真 ( )

C.真,真,假 D.假,假,假 an+an+1 解析: 由 < an,得 an+ an+ 1<2an,即 an+ 1< an,所以当 2 an+an+1 <an 时,必有 an+1<an,则 an 是递减数列; 2 an+an+1 反之,若 an 是递减数列,必有 an+1<an,从而有 <an. 2 所以原命题及其逆命题均为真命题,从而其否命题及其逆否命题
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

也均为真命题. 答案:A

3.命题“若 x>1,则 x>0”的逆命题是__________,逆否命题是 ________________.

答案:若 x>0,则 x>1

若 x≤0,则 x≤1

4.在原命题“若 A∪B≠B,则 A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、 逆否命题中,真命题的个数为________.
解析:逆命题为“若 A∩B≠A,则 A∪B≠B”; 否命题为“若 A∪B=B,则 A∩B=A”; 逆否命题为“若 A∩B=A,则 A∪B=B”; 全为真命题. 答案:4

5.已知命题 p:“若 ac≥0,则二次不等式 ax2+bx+c>0 无解”. (1)写出命题 p 的否命题; (2)判断命题 p 的否命题的真假.

解:(1)命题 p 的否命题为:“若 ac<0,则二次不等式 ax2+bx +c>0 有解”. (2)命题 p 的否命题是真命题. 判断如下:因为 ac<0, 所以-ac>0?Δ=b2-4ac>0?二次方程 ax2+bx+c=0 有实根 ?ax2+bx+c>0 有解. 所以该命题是真命题.

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