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暑期培优:第一章 集合(必记知识点+必明易错点+必会方法)教师版

专题一、集合

1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合中元素与集合的关系: 元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为∈和?. (3)集合的表示法:列举法、描述法、Venn 图. 2.集合间的基本关系 描述 关系 集合 间的 基本 关系 子集 真子集 相等 文字语言 A 中任意一元素均为 B 中的元素 A 中任意一元素均为 B 中的元素,且 B 中至少有 一个元素 A 中没有 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 符号语言 A?B 或 B?A A B或B A A=B

3.集合的基本运算 集合的并集 符号表示 图形 表示 意义 {x|x∈A, 或 x∈B} {x|x∈A, 且 x∈B} {x|x∈U,且 x?A} A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为 U, 则集合 A 的 补集为?UA

1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条 件. 2.要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包含关系. 3.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身. 4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心. 5.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不 满足“互异性”而导致解题错误. [试一试]

1

? x-2 ? ? 3? <0?,B=?xsin x≥ ?,则 A∩B=________. 1.(2013· 南通二模)设全集 U=R,A=?x 2? ? ? x+1 ?

π 2π? ?π ? 解析:由题意知 A=(-1,2),B=? ?2kπ+3,2kπ+ 3 ?,k∈Z,则 A∩B=?3,2?. π ? 答案:? ?3,2? 2.已知集合 M={1,m+2,m2+4},且 5∈M,则 m 的值为________. 解析:由题意知 m+2=5 或 m2+4=5.解得 m=3 或 m=± 1.经检验 m=3,或 m=1 符合 题意. 答案:1 或 3 3.已知集合 A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x},则 A∩B=________. 答案:?

1.判断集合关系的方法有三种 (1)一一列举观察; (2)集合元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元 素的特征判断集合关系; (3)数形结合法:利用数轴或 Venn 图. 2.解决集合的综合运算的方法 解决集合的综合运算时,一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时, 可以通过列举集合的元素进行运算;当集合是用不等式形式表示时,可运用数轴求解. 3.数形结合思想 数轴和 Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方 法,解题时要先把集合中各种形 式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、直角坐标系或 Venn 图等工具,将抽 象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解题. [练一练] 1.(2014· 南京学情调研 )已知集合 A={x|x2<3x+4,x∈R},则 A∩Z 中元素的个数为 ________. 解析:由 x2<3x+4 得-1<x<4,所以 A={x|-1<x<4},故 A∩Z={0,1,2,3}. 答案:4 2. (2013· 南通期末)已知 A, B 均为集合 U={2,4,6,8,10}的子集, 且 A∩B={4}, (?UB)∩A ={10},则 A=________. 解析:因为(?UB)∪B=U,故 A=A∩(B∪?UB)=(A∩B)∪(A∩?UB)={4,10}. 答案:{4,10}
2

考点一

集合的基本概念

1.(2013· 江苏高考)集合{-1,0,1}共有________个子集. 解析:由题意知,所给集合的子集个数为 23=8. 答案:8 2.已知集合 M={1,m},N={n,log2n},若 M=N,则(m-n)2 013=________. 解析:由 M=N 知
? ? ?n=1, ?n=m, ? 或? ?log2n=m ? ? ?log2n=1, ?m=0, ?m=2, ? ? ∴? 或? ? ? ?n=1 ?n=2.

答案:-1 或 0 3.已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为________. 解析:因为 3∈A,所以 m+2=3 或 2m2+m=3. 当 m+2=3, 即 m=1 时,2m2+m=3, 此时集合 A 中有重复元素 3, 所以 m=1 不符合题意,舍去; 3 当 2m2+m=3 时,解得 m=- 或 m=1(舍去), 2 3 1 此时当 m=- 时,m+2= ≠3 符合题意. 2 2 3 所以 m=- . 2 3 答案:- 2 [备课札记]

[类题通法] 1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求 出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. 2. 对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等, 分几种情况列出 方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.

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考点二

集合间的基本关系

[典例] (1)(2013· 南京二模)已知集合 A={x|x2-2x≤0,x∈R},B={x|x≥a},若 A∪B= B,则实数 a 的取值范围是________. (2)已知集合 A={x|log2x≤2}, B=(-∞, a), 若 A?B, 则实数 a 的取值范围是(c, +∞), 其中 c=________. [解析] (1)由 A∪B=B 可知 A?B.又 A=[0,2],所以实数 a 的取值范围是(-∞,0]. (2)由 log2x≤2,得 0<x≤4, 即 A={x|0<x≤4},而 B=(-∞,a), 由于 A?B,如图所示,则 a>4,即 c=4.

[答案] (1)(-∞,0] (2)4 [备课札记]

[类题通法] 1.已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化 为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析. 2.当题目中有条件 B?A 时,不要忽略 B=?的情况. [针对训练] 1.(2014· 苏锡常镇一模)已知集合 A={x|x2-x≤0,x∈R},设函数 f(x)=2 x+a(x∈A)的


值域为 B,若 B?A,则实数 a 的取值范围是________. 解 析 : A = [0,1] , B = {f(x)|f(x) = 2
-x

1 ? + a , x ∈ A} = ? ?2+a,1+a? . 又 因 为 B ? A ,即

?a+1≥0, 1 ?1+a,1+a??[0,1],则有? ? 2 解得- ≤a≤0. ?2 ? 2 ?a+1≤1, ?
1 ? 答案:? ?-2,0? 2.已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且 B?A.则实数 m 的取值范围 为________. 解析:∵B?A, (1)当 B=?时,m+1≤2m-1,解得 m≥2.

4

-3≤2m-1, ? ? (2)当 B≠?时,有?m+1≤4, ? ?2m-1<m+1, 解得-1≤m<2, 综上得 m≥-1. 答案:[-1,+∞) 考点三 集合的基本运算

[ 典例 ]

(1)(2013· 南京三模 ) 如图,已知集合 A = {2,3,4,5,6,8} , B = {1,3,4,5,7} , C =

{2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________.
? 1?x 1? ? (2)(2014· 无锡期末)已知集合 A=?x? ?2? >4 ,B={x|log2(x-1)<2},则 ? ?

A∩B=________. [解析] (1)A∩C={2,4,5,8},又 4,5 在集合 B 中,2,8 不在集合 B 中,故阴影部分表示的 集合为{2,8}. 1?x 1 ?1?x ?1?2 (2)由? ?2? >4得?2? >?2? ,解得 x<2,即 A=(-∞,2).又由 log2(x-1)<2,得 0<x-1<4, 解得 1<x<5,即 B=(1,5),从而 A∩B=(1,2). [答案] (1){2,8} (2)(1,2) [备课札记]

[类题通法] 集合的基本运算的关注点 (1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问 题的前提. (2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于 解决. (3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图. [针对训练] 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________. 解析:A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得 B?A, ∵方程 x2+(m+1)x+m=0 的判别式 Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠?.

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∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}. ①若 B={-1},则 m=1; ②若 B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且 m=(-2)· (-2)=4,这两式不 能同时成立,∴B≠{-2}; ③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且 m=(-1)· (-2)=2,由 这两式得 m=2. 经检验知 m=1 和 m=2 符合条件. ∴m=1 或 2. 答案:1 或 2 考点四 集合中的创新问题

以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点,此类题目常常以 “问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考 查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有: ?1?创新集合新定义; ?2?创新集合新运算; ?3?创新集合新性质. 角度一 创新集合新定义 创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合,对集合的知识加以深入地创新,结合 原有集合的相关知识和相应数学知识,来解决新定义的集合创新问题. 1 1 ? ? 1.若 x∈A,则 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M=?-1,0,2,2,3?的所有非空 x ? ? 子集中具有伙伴关系的集合有________个. 1 解析:具有伙伴关系的元素组是-1; ,2, 2 1 ? ?1 ? ? 所以具有伙伴关系的集合有 3 个:{-1},?2,2?,?-1,2,2?.
? ? ? ?

答案:3 角度二 创新集合新运算 创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则,并按照此集 合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问题的目的. 2.如图所示的 Venn 图中,A,B 是非空集合,定义集合 A B 为阴影部 分表示的集合. 若 x, y∈R, A={x|y= 2x-x2}, B={y|y=3x, x>0}, 则A B 为________. 解析:因为 A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},

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A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2}, 所以 A B=?A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1 或 x>2}. 答案:[0,1]∪(2,+∞) 角度三 创新集合新性质 创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题,通过创新性质, 结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题. 3.对于复数 a,b,c,d,若集合 S={a,b,c,d}具有性质“对任意 x,y∈S,必有 xy a=1, ? ? 2 ∈S”,则当?b =1, ? ?c2=b

时,b+c+d 等于________.

解析:∵S={a,b,c,d},由集合中元素的互异性可知当 a=1 时,b=-1,c2=-1, ∴c=± i,由“对任意 x,y∈S,必有 xy∈S”知± i∈S,∴c=i,d=-i 或 c=-i,d=i, ∴b+c+d=(-1)+0=-1. 答案:-1 [备课札记]

[类题通法] 解决新定义问题应注意的问题 (1)遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质; (2)按新定义的要求,“照章办事”逐步分析、验证、运算,使问题得以解决; (3)对于选择题,可以结合选项通过验证,排除、对比、特值等方法解决.

[课堂练通考点] 1.(2013· 苏北四市二模)已知集合 A={0,2,a2},B={1,a},若 A∪B={0,1,2,4},则实 数 a 的值为________.
?a=0, ?a=2, ?a2=1, ? ? ? 解析:由题意得 a =a=4 或? 2 或? 2 或? ?a =4 ? ? ? ?a =4 ?a=4,
2

解得 a=2. 答案:2 2.(2013· 新课标全国卷Ⅰ改编)已知集合 A={1,2,3,4},B ={x|x=n2,n∈A},则 A∩B =________. 解析:n=1,2,3,4 时,x=1,4,9,16,∴集合 B={1,4,9,16},∴A∩B={1,4}.
7

答案:{1,4} 3.设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是________. 解析:根据已知,满足条件的集合 B 为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}. 答案:4 4.?创新题?设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x,y∈S,都有 x+y,x-y,xy∈S, 则称 S 为封闭集.下列命题: ①集合 S={a+bi|a,b 为整数,i 为虚数单位}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S?T?C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 解析:①对,当 a,b 为整数时,对任意 x,y∈S,x+y,x-y,xy 的实部与虚部均为整 数;②对,当 x=y 时,0∈S;③错,当 S={0}时,是封闭集,但不是无限集;④错,设 S ={0}?T,T={0,1},显然 T 不是封闭集.因此,真命题为①②. 答案:①② 5.?创新题?设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P*Q={z|z=a÷ b,a∈P,b∈Q},若 P={-1,0,1},Q={-2,2},则集合 P*Q 中元素的个数是________. 解析:当 a=0 时,无论 b 取何值,z=a÷ b=0; 1 当 a=-1,b=-2 时,z=(-1)÷ (-2)= ; 2 1 当 a=-1,b=2 时,z=(-1)÷ 2=- ; 2 1 当 a=1,b=-2 时,z=1÷ (-2)=- ; 2 1 当 a=1,b=2 时,z=1÷ 2= . 2 1 1? ? 故 P*Q=?0,-2,2?,该集合中共有 3 个元素.
? ?

答案:3 6.已知全集 U=R,集合 A={x|x2-2x>0},B={x|y=lg(x-1)},则(?UA)∩B=________. 解析:解不等式 x2-2x>0,即 x(x-2)>0,得 x<0 或 x>2,故 A={x|x<0 或 x>2}; 集合 B 是函数 y=lg(x-1)的定义域, 由 x-1>0,解得 x>1,所以 B={x|x>1}. 如图所示,在数轴上分别表示出集合 A , B ,则 ? UA = {x|0≤x≤2} ,所以 ( ? UA)∩B = {x|0≤x≤2}∩{x|x>1}={x|1<x≤2}.

8

答案:(1,2] [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.(2013· 苏州暑假调查)已知集合 U={0,1,2,3,4},M={0,4},N={2,4},则?U(M∪N) =________. 解析:由题意得 M∪N={0,2,4},所以?U(M∪N)={1,3}. 答案:{1,3} 2.设全集 U={x∈N*|x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)等于________. 解析:由题意易得 U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5}, 所以?U(A∪B)={2,4}. 答案:{2,4} 3.(2013· 新课标卷Ⅰ改编)已知集合 A={x|x2-2x>0},B={x|- 5<x< 5},则 A∪ B________. 解析: 选 B 集合 A={x|x>2 或 x<0}, 所以 A∪B={x|x>2 或 x<0}∪{x|- 5<x< 5} =R. 答案:R 4.(2013· 南通一模)集合 A={-1,0,1},B={y|y=ex,x∈A},则 A∩B=________.
?1 ? 解析:∵B 中 x∈A,∴B=?e ,1,e?,∴A∩B={1}. ? ?

答案:{1} 5.(2014· 无锡期末)已知集合 A={-1,2,2m-1},B={2,m2},若 B?A,则实数 m= ________. 解析:因为 B?A,且 m2≠-1,所以 m2=2m-1,即 m=1. 答案:1 6.已知 M={a||a|≥2},A={a|(a-2)(a2-3)=0,a∈M},则集合 A 的子集共有________ 个. 解析:|a|≥2?a≥2 或 a≤-2.又 a∈M,(a-2)· (a2-3)=0?a=2 或 a=± 3(舍),即 A 中只有一个元素 2,故 A 的子集只有 2 个. 答案:2 7.(2014· 江西七校联考)若集合 P={x|3<x≤22},非空集合 Q={x|2a+1≤x<3a-5},则 能使 Q?(P∩Q)成立的所有实数 a 的取值范围为________.

9

2a+1<3a-5, ? ? 解析:依题意,P∩Q=Q,Q?P,于是?2a+1>3, ? ?3a-5≤22, 解得 6<a≤9,即实数 a 的取值范围是(6,9]. 答案:(6,9] 8.设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P-Q={x|x∈P,且 x?Q},如果 P={x|log2x<1},Q ={x||x-2|<1},那么 P-Q=________. 解析:由 log2x<1,得 0<x<2,所以 P={x|0<x<2};由|x-2|<1,得 1<x<3,所以 Q= {x|1<x<3}.由题意,得 P-Q={x|0<x≤1}. 答案:(0,1] 2 ? ? 9. 已知全集 U={-2, -1,0,1,2}, 集合 A=?x?x=n-1,x,n∈Z? , 则?UA=________.
?

?

?

2 ? ? 解析:因为 A=?x?x=n-1,x,n∈Z? ,
?

?

?

当 n=0 时,x=-2;n=1 时不合题意; n=2 时,x=2;n=3 时,x=1; n≥4 时,x?Z;n=-1 时,x=-1; n≤-2 时,x?Z. 故 A={-2,2,1,-1}, 又 U={-2,-1,0,1,2},所以?UA={0}. 答案:{0} 10.已知集合 A={x|x2-2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵1?{x|x2-2x+a>0},∴1∈{x|x2-2x+a≤0}, 即 1-2+a≤0,∴a≤1. 答案:(-∞,1] 11.已知 U=R,集合 A={x|x2-x-2=0},B={x|mx+1=0},B∩(?UA)=?,则 m= ________. 1 解析:A={-1,2},B=?时,m=0;B={-1}时,m=1;B={2}时,m=- . 2 1 答案:0,1,- 2 12.设集合 Sn={1,2,3,?,n},若 X?Sn,把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量(若 X 中只有一个元素, 则该元素的数值即为它的容量, 规定空集的容量为 0). 若 X 的容量为奇(偶) 数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集.则 S4 的所有奇子集的容量之和为________. 解析:∵S4={1,2,3,4},∴X=?,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},

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{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}.其中是奇子集的为 X={1},{3},{1,3}, 其容量分别为 1,3,3,所以 S4 的所有奇子集的容量之和为 7. 答案:7 第Ⅱ组:重点选做题 1.设集合 A={x|x2+2x-3>0},B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若 A∩B 中恰含有一个 整数,求实数 a 的取值范围. 解:A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1 或 x<-3},函数 y=f(x)=x2-2ax-1 的对称轴为 x =a>0,f(-3)=6a+8>0,根据对称性可知,要使 A∩B 中恰含有一个整数,则这个整数解
? ?4-4a-1≤0, 为 2,所以有 f(2)≤0 且 f(3)>0,即? 所以 ?9-6a-1>0, ?

?a≥4, ? 4 ?a<3,

3

3 4 即 ≤a< . 4 3

故实数 a 的取值范围为 ? , ? 4 3

? 3 4? ? ?

1 ? ?? ?log2?x+2?>-3 ? 2.已知集合 A=?x ? ? ?x ≤2x+15 ? ??
2

? ?,B={x|m+1≤x≤2m-1}. ?

(1)求集合 A; (2)若 B?A,求实数 m 的取值范围. 1 解:(1)解不等式 log (x+2)>-3 得: 2 -2<x<6. 解不等式 x2≤2x+15 得:-3≤x≤5. 由①②求交集得-2<x≤5, 即集合 A=(-2,5]. (2)当 B=?时,m+1>2m-1, 解得 m<2; m+1≤2m-1, ? ? 当 B≠?时,由?m+1>-2, ? ?2m-1≤5 解得 2≤m≤3, 故实数 m 的取值范围为(-∞,3]. ① ②

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