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高中数学必修二直线与圆的位置关系


课题:直线与圆的位置关系
一、教学内容分析 学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的公共点的 个数, 圆心与直线的距离 d 与半径 r 的关系来判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时, 利用圆心与直线的距离 d 与半径 r 的关系判断直线与圆的位置关系的方法都是以结论性的形 式呈现,虽然是定量的展现,但实质还是定性研究(d 与 r 都是直接给数据或者利用几何证 明来得出 d 与 r 的数量关系) .在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线 和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法,也就是定量研究.解决问题的方法主要是几何 法(d-r 法)和代数法(Δ 法).其中几何法是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线 的距离公式求出圆心与直线的距离 d 后,比较与半径 r 的关系从而作出判断.而代数法是结合 直线方程与圆的方程, 通过联立方程形成方程组, 转化为二次方程根的判别问题从而做出判 断。两种方法学生都可以自己讨论得到 ,通过具体问题学生掌握“代数法”与“几何法”, 明确代数法更具有一般性,几何法则紧扣圆的几何特性,充分利用圆的性质。所以在研究直 线与圆的位置关系时 “几何法”更实用一些.通过教学想让学生体会:解析几何的核心就是 坐标法, 计算是必不可少的, 提高计算能力也是必要的。 但解析几何终究研究的是几何问题, 深入研究几何图形的特性, 再用代数方法去解决可以减少计算量从而提高解题效率。 含参数 的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也可适 度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,想要控制难度.虽然学 生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法 ,学生仍是似懂 非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质. 二、学生情况分析 学生在初中平面几何中已经接触过直线与圆的位置关系, 前面已经学习了直线方程、 圆 的方程、 两直线的位置关系以及点到直线的距离等知识, 具备了利用方程及图形研究直线与 圆的位置关系的基本能力。授课班级是区示范校的普通班,学生基础较好,勤于思考,但不 是很愿意主动发言,所以教师要设计好问题,引导学生一步一步得出结论. 三、教学目标 1.知识与技能 (1)理解直线与圆的位置关系的种类; (2)掌握用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系; (3)会用直线与圆方程组成的方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系. 2. 过程与方法 通过直线与圆的位置关系的分类及其判定方法的学习, 体会数形结合的思想方法, 提高用方 程思想解决平面几何问题的能力: 3. 情感、态度与价值观通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,体会数形结合的

思想.通过直线与圆位置关系的变化,渗透运动观点. 四、重点难点 教学重点:用解析法判断直线与圆的位置关系.通过直线与圆的位置关系的代数化处理,学 生进一步认识到坐标系是联系"数"与"形"的桥梁,从而更深刻地体会坐标法思想. 教学难点:判断直线与圆的位置关系的方法有图示法、解析法、列方程组法 3 种,其中直线 与圆方程联立解方程组对学生的计算能力要求较高,而这正是学生需经长期培养方能提高 的,这是学生的学习障碍,也是教学难点. 五、教学过程设计: 这一段时间我们都在学习解析几何的知识。解析几何就是用代数的方法研究几何问题, 因此解析几何不仅研究直线与曲线, 同时也研究它们的位置关系, 前面学习了直线间的位置 关系,今天我们来研究直线与圆的位置关系。 (一) 、复习导入 (1)直线方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零). (2)圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ,圆心为(a,b),半径为 r. (3)圆的一般方程 x +y +Dx+Ey+F=0(其中 D +E -4F>0),圆心为(2 2 2 2 2 2 2

D E ,- ),半径为 2 2

1 2

D 2 ? E 2 ? 4F .
2 2

(4)点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0(A +B ? 0)的距离是 设计意图:为本节课的学习做好知识准备。 (二) 、提出问题,实例研究 ①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类? ②在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢? 设计意图:为后面的问题做理论上的准备。

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

.

你想过下面的问题吗: 怎样说明公共点的个数?如何知道 d 与 r 的数值呢?初中你是如何回 答这些问题呢?结合我们现在正在学习的解析几何知识, 你能想到什么方法? (建立坐标系, 借助方程来完成。 )请大家完成下面的问题: 例 1 已知直线 l: x+3y-6=0 和圆心为 C 的圆 x +y -2x-4=0,判断直线 l 与圆的位置关系. 如果相交,请你求出交点坐标。 解:由直线 l 与圆的方程,得
2 2

? x ? 3 y ? 6 ? 0, ? 2 2 ? x ? y ? 2 x ? 4 ? 0.
2

(1) (2)
2

消去 x,得 y -3y+2=0,因为Δ =(-3) -4×1×2=1>0,所以直线 l 与圆相交,有两个公共点. 解得y1=1,y2=2.当y1=1时,x1=3;当y2=2时,x2=0. 所以直线l与圆C 相交,交点坐标为(3,1),(0,2). 总结方法:1°将直线方程与圆的方程联立成方程组.

2°利用消元法,得到一个一元二次方程. 3°求出其判别式Δ 的值. 4°比较Δ 与 0 的大小关系,若Δ >0,则直线与圆相离;若Δ =0,则直线与圆相切;若Δ <0, 则直线与圆相交.反之也成立. 变式: 已知圆的方程是 x +y =2,直线 y=x+b,当 b 为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个 公共点没有公共点. 2 2 解法一:若直线 l:y=x+b 和圆 x +y =2 有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点, 则方程组 ?
2 2 ? ? x ? y ? 2, 有两个不同解、有两个相同解、没有实数解, ? y ? x ? b ?
2 2 2 2

消去 y,得 2x +2bx+b -2=0, 2 2 2 所以Δ =(2b) -4×2(b -2)=16-4b . 2 2 所以,当Δ =16-4b >0,即-2<b<2 时,圆与直线有两个公共点; 当Δ =16-4b =0,即 b=±2 时, 2 圆与直线只有一个公共点;当Δ =16-4b <0,即 b>2 或 b<-2 时,圆与直线没有公共点. 2 2 解法二:圆 x +y =2 的圆心 C 的坐标为(0,0),半径长为 2,圆心 C 到直线 l:y=x+b 的距离 d=

| ?1 ? 0 ? 1 ? 0 ? b | 12 ? 12

?

|b| 2

.当 d>r 时,即

|b| 2

> 2 ,即|b|>2,即 b>2 或 b<-2 时,圆与

直线没有公共点;当 d=r 时,即

|b| 2

= 2 ,即|b|=2,即 b=±2 时,圆与直线只有一个公共点;

当 d<r 时,即

|b| 2

< 2 ,即|b|<2,即-2<b<2 时,圆与直线有两个公共点.

总结方法:1°把直线方程化为一般式,求出圆心和半径. 2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离. 3°作判断: 当 d>r 时,直线与圆相离; 当 d=r 时,直线与圆相切;当 d<r 时,直线与圆相交. 变式:已知圆的方程是 x +y =2,分别求出过点(1,
2 2

1 ),(1,1)(0,2)圆的切线方程。 2

小结:首先要判断点与圆的位置关系,然后才能去求切线方程。 (三)知识应用 例 3、 有两艘轮船在沿直线返回港口的途中均接到气象台的台风预报:台风中心位于 O 点, 受影响的范围是半径长为 40km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 70km 的 M 处,A 轮 船位于台风中心的正东 70km 处,B 轮船位于台风中心的正西 200km 处,如果这两艘轮船都 不改变航线,那么它们是否会受到台风的影响? 三、课堂小结 本节课学习了如下内容:1.直线与圆的三种位置关系.(1)代数法:从公共点数来判断.(2) 几何法从 d 与 r 间的数量关系来判断.2. 利用本节知识解决实际问题 本节课我们重点用了解析法(坐标法)来解决直线与圆的位置关系的相关问题,平面解析几 何研究的对象就是平面图形(点、直线、圆) ,当然要充分挖掘几何图形结构的特征,合适

的“特征量”的选取很重要,比如本节课两种方法其实就是选取了不同的特征量“ d ? r ” 和“交点” ,大家可能觉得用 d ? r 法的计算明显比 ? 法的简单,这就是由于圆的特殊结构。 可如果把圆换成别的曲线就没有“ d ? r ”了,但是仍然可以谈“交点个数” ,所以“ ? 法” 更具一般性。两种方法各有利弊,其实这两种方法都借助了坐标系进行代数计算,否则光凭 肉眼很多时候是无法说清楚直线和圆的位置关系的, 更别说求交点了, 也再次印证了我们常 说的一句话“形缺数时难入微” ,反过来“数缺形时少直观” ,所以画图定性分析和定量计算 都很必要,真正做到“数形结合” !


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