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关于等差数列的变式教学


中学 数 学 (湖 北 )


1994 b

.

12



~


“‘

a



”“

示 丁乒下
( in
5
Zs

s ‘ a n

二 蔽云币 十
+
.

“o s a ’

}刁

2

,

以 及复 数 乘 法 的 交换律 表 现 出 较高 的
, ,
.

,

思 维 水平 明显优 于教材 所讲 的方法 表明 其 思 维 已 超 前 教 师思 维 了 我 立 即 调 控 自 己 思 维 的 呆 板 性 滞 后 性 转 而 去 欣 赏 和 赞扬 同 学


丫 不了 了
a Z

a eo s甲 a

eo s

s a i 叻

n

一 了

+ b

in

( + 甲)
,

,

这 就 化 为了 一 个 角 的 三 角 函数 教 师 的
分 析似 导航 的 明灯 把 学 生的 思维 自然 地 引 入 到 知 识 发 生 和 形 成 的轨 道 中 这 样 学 生 思
,
,

,

们 的这 种 独 立 思 考 精 神 同 学们 倍 受 鼓 舞
,

,

.

P 又 如 在讲 授 高 中 《立 体 几 何 》 5 6 页 例 l


eo s

,

有学 生 突 然 问:
,



既然 c o
+
s in

s

、 十 c o
s i n
,

s Z

夕十
,

维 就 不 会 滞 后 于 教 师的 思 维 了

.

y ~

l

,

那么
,

s

in

Z a

,
,

+

Z

y ~ ?





适 时调 控 随 着 课 堂 教 学 的 深 入 发 展 学 生 中好 的
,


问题 委 实简单 虽 然 课 本 没 有 但 问得 有 道
理 我 立 即 顺 着 学生 的 思 维 推 波 助 澜 要 大
.

,

方 法 奇 怪 的 念 头 或 是 与 课 题 无 关 的想 法
,
,





家 一 起 来 思 考 此 问 题 解 法 多 样 较快 的是 利 用 c o 坛 和 s in 场 的 关 系 求 得 答 案 为 2 这 样 处 s
.

.

,

甚 至 是 错 误 的 思 路 随 时 在他 们 的 脑 海 中 冒 出
来 此 时 学 生 的 思 维 超 前 剪 失 控 于 教 师 预设



,

实际 上 是 教 师 对 课 堂 的 思 维 节奏 进 行 了
,

.

的 思 路 了 对 此 教 师 要 审 时 度势 对 师 生 双
,

.

,

很 巧 妙 的 调 控 使 得 教师 和 学 生 一 道 成 为新 知识 新技 能的 探求者
,

方 的 思 维要 及 时 调控 以保 证 其思 维 同步 协 调 地 向 前 发 展 这 需 要 教 师 具 有扎 实 的 基 本 功 及 机 智 灵活 的 应 变 能 力
,
.
.

,


1
:
?



,

当 然 师 生 的 思 维 不 可 能 达 到绝 对 的 同 强 调 它 并 非 否 定发 散 性 思 维 训 练 的 要
:
、 、



例 如 高 中 《代 数 》下 册 P 1 9 4 页 例 计 算 (l 一 2 1 )
,
?

求 我们 的 认为 是 通 过 教师 睿 智的 启发 科
,
.

(3 + 4 1 )

( 一 2 十 i)
.

学的 引导 艺术的 描绘 在思维 同频 的要求
,





教材 是 用复 数 多 项 式 乘 法 完 成 的 讲 完 : 后 立 即 有同 学 指 出 了 下述 解 法 原 式 一 (l 一 2 1 )
~
5 1 (3
?

和 指 导 下 则会 使 得 学 生 思 维 的 发展 更 具 有

,

阶 段 性 方 向性 目标 性 这 把思 维 训练 落实
,





(1 + 2 1 )
一 20

?

i

?

(3 + 4 1 )
1 51
.

到 子 每 堂课 甚 至 每 个 问 题 中 以 达到 提 高 学
,



+

4 1) ~

+
?

生 思 维 水 平 发展 智 力 培 养 能 力 的 目 的
,





.

此 解 法 在 于 抓 住 了 问 题 的 结 构特 征 巧 用 当 堂 课 学过 的 共 扼 复 数 性 质 z
牙~

卜} 一


关于 等 差 数列 的 变式教 学
4224 0。

湖 南 省 武 冈市 三 中
.

肖凌 慈
:

发 展 学 生 的 思 维 能 力 是 数 学 教 学 的根 本要 求 培 养数 学 思 维 品 质 是 发 展 数 学 思 维 能 力 的 主 要 途



径 变式教学 是 培 养 思 维 品 质 的重 要手 段
“ ”
,

.

.

本 文 就 等 差 数 列 的 复 习 教 学 谈 谈 变式 教 学 的 几点做法
,
.

? 已 知等 差 数 列 公 差 不 为零 问 数 列 生
,

a + ? 等 差 数列 相 邻 两 项 有何联 系 ? ( , ? 等 差 数 列 相 邻 三 项 有何 联 系 ? a Za + : = (a + : 一 a + : 二 a + 一 或
,



a

.

= d )

,



.

.

a

.

+

a



+ :
,

)

a



b




,
,

,


变 式设 问 培 养思 维的 深 刻 性

,

b ~ ~ 文 科 试题 改 编 不 成 等 差 数 列 )

~

~





/ 砂







/

J

a



中的 三 个 数 都 是 正 数 且 生 成 等差 数 列 吗 ? ( 8 ; 年
c



J

~ ~
.

z

J

,







.

.

.

对 等 差 数 列 的定 义 进 行 变 式 设 问 有 利 于 明 确 概念的本质属 性 剔 除 非 本 质 属 性 进 而 培养 学 生 思 维 的 深 刻性
.

,

a ? 已 知 数列 { } 的 前
.

n

项和

5

=

a

矿 十 b 十 n

,

,



a (



b





为常 数
,

,



〔 N ) 这 个 数 列 是 等差 数 列吗 ? ( c
,

二 。 时 是 等 差 数列
,

,







时不 是 等 差 数 列 )
,

在复 习 等 差数 列 的定 义 时 可 作 如 下 变 式 设 问 ( ) ? 常 数 数 列 是 等 差 数 列吗 ? 公 差 d , 0

:

2

提 炼 通法 培 养思 维的 敏 捷 性

引 导 学 生 提炼公 式 定 理 的证 明 方 法 并 应 用这



中 学 数 学 ( 湖北 )
些 方 法 去解 决 其它 问 题 使 其 解 法 更 简 捷 从 而 达 到 培 养学 生 思 维 敏 捷性的 目 的
.

1994

.

12

,

,

等 差 数 列 的 充 要 条 件是
n

:

(a

.



a

.

)
.

等差 数 列 通 项 公 式 教材 采 用 归 纳法
明之
.

a

,



a ,

十 ( 一 l) n d

的证 明

,





, (称 为 证 法 1 )

也 可按 如下 方 法 证

命题

n

2

的 充 分 性 即 为 9 年 新高考文科 压 轴题 4
:

下 面 给 出 一 个 异 于 标准 答 案 的证 法


证法 2
故{
a

:

‘十、 一
a
.

a



十 d 十 l )d =
,

)
.

2


,

,

’ .

+

.

一 (

n

a

.


a ,

n

d

a

.

~ 5

一 S一l (a
,



,

d )
’ .

是常 数数 列 其首 项 为
a
.

一 d .
? 即


n

+

a

.

)
刀a
.

(n 一 1 ) (a
2

.

+

a

一1 )


.

n

d ~
a ,

l a

一 d
n

,

Za
a
.

+
a l

一 (n 一 l )a 一 ,
.



a
a :
:

=
一 一

+
~ d = d

(

一 l)d



~

(n 一 l ) (a



a

证法 3

’ . ,

a l a:

一)

(n )

2)

(1 )
’ .
a
.

(加 式 消项 法 ) a

+ ,



a ,

=

n

(

a

.

+ ,



a

.

)

(2 )

( 2) 一 ( 1 )
a
.


月 a
.

一 一
.

a

一l ~ d
= (n 一 1 )d

a

.

+ -


a
.

a
+ 1

,

=

a

(a



+

’ :

a

.

a l a ,


a
.

a



) 一 ( , 一 1 ) (a 一
,
.



a

一,)

’ .
.



=



a

(

n


一一~ 一~


a

=

+
=


(n 一 1 ) d

)

2)

~ ~ 材采 用 倒加 法 气
J


等 差 数列 求 和 公式 5 , 曰
/ 、” ” “

, _

,

,



,

.

~ 一

兰里甘
2
n

(a

,

+

a

从而 数 列 {
) “
”砂


} 是 等差 数列
:

.



的证 明 教

尸 ‘


,

。。
,



~

由等 差 数列 求 和 公 式知
.

n

S
,



上述 方 法 是 求 数列 通 项 及前
,
.

项 和 的 通 法 可让 之
,
,

一 即 5 是 关于
.

=

a n一 + 二二二止 二 d 一 2
,


n (

一 1)

.





=

d n + 于 二 2
l


,





(a : 一 一


于) 2
.

d








-



的常 数 项 为
.



的二 次型 函数 反
,

学 生做如下 习 题 以 求 熟练掌握 (1 若 a a : … a 为 已 知 正 数 试求 )
l
、 、

若数 列求 和 公式 具 有 5 命题 3
S

.

=

a

矛 + b n

数列 (
.

a



}是



.

等差 数 列 吗 ? 于 是 得 到
a , 设 数列 { } 的 前 项 的 和 5 等 差数列 的 充 要 条件是
:
,

ar c t g

一 1 十 a

口-

口2
.

a :

+
tg

a re

tg
.

. 生二止 乙 十 , a盆
1


a

a

3

则 (a } 是


+
a
.

a r e

a

一 .


a

. .

1

+

2 ( ) 设 谧 } 是以

a。



a
,

(n )

2)

~
-

a

矛 + b n
.

(其 中 a b


是 常数 )
_
.

为首项
=

d

为公 差 的等 差数
_
_
_

列 求证
c

,

:

易证 若数 列 {凡 } 是 等 差 数 列 则 数 列 { 汾}也
,
,
、 .








_


,

_

_

‘.

_

‘.

_

.



.

_

.

,

5

.



.

_

.

加 +


c

二 +
a ,

… + 比a

.

2 一 , ( Za




,



d ) (n 〔


N )

是等 差数 列 逆 向 探 求 若 { 青} 是 等 差 数 列 间 {a 》
?

_

.

,

_

二 ,

_

S





~

_

、,

_

二 _

.

,

_

?

在 处 理 等 差 数 列 的计 算 问 题 时
.



方程 法
,

是通

法 通过 解 题 教 学 使 学 生 树 立 起 方 程 观点 进 而 提

,

也是 等 差 数 列 吗 ? 从 而 得 出 a 命题 4 设 数 列 福 } 的 前
.
‘ .

,

项和 为
_

5

.

,

则 数列


高解 题 能 力 3 逆 向 探 求 培养 思 维 的互 逆 性 心 理 学 认 为 每 个 思维 都 具 有与 它 相 反 的 思 维
,
,

.

… “ } 为 等 差 数 列 的 充 要 条件是 数 列 { 犷} 也 成等 差
:

_



.

_

.



_

_



_



_

.

5

过 程 通 过 对 定 理 ( 公 式 ) 的逆 向探 求 深 化结 论 有
.

,

,

利 于 培 养学 生 的 逆 向 思 维 能 力
:

.

数列 4 数 形变换 培养 思 维 的 创 新性 学 生 思 维 的创新性 主 要表 现 在 学 习 数 学 的 过 程
,

.




_

、,

a

.

a 一 , d + ( a 一 d) 即 由 等 差 数 列 通 项公 式知 , 是 的 线 性 函 数 反 之 通 项 具 有 线性 关系的数 列


,

中替 于 独 立 思 考 和 分 析 问 题 善 于 发 现 矛 盾 提 出 间

,

,

,

题 有 探 索 和 猜 想的创 新 精神
, ,

,

.

是 等 差 数 列 吗 ? 逆向 探 求 得 到

在等 差 数列 的教 学 中 从 函 数观 点 出 发 利 用 数 列 的图象 探 求等 差 数 列 的 有 关性质 有利 于 培 养 学 生 思 维的 创新 性
.

,

,

命题 1
a

数列 {


a

.

} 是 等 差数 列 的 充 要 条件 是


一d

n



( 其中 d



是与
:



无关 的常 数 )
a
.

由等 差 数 列求 和 公式知
n

由 等 差 数 列通 项 公 式 的 变 式 a ,
,

d

n

+ ( a

1

一 d )

(a

l

+
2

)

可 知 等 差 数 列 的 图象 是 直 线
以( n
,

y

=

x d

+

a (

,

一d ) 上
.

a

.

)

为坐 标 的 点 公 差 d 是 该 直 线 的斜率 以 形
.

反 之 具 有 这 种 和 式 结 构 的数 列 是 等 差 数 列 吗 ?
,

助 数 不 难得 到

,

于是 得 到

性质
数列 {
t

1
,



a ,



a ,

是公 差 为 d 的 等 差 数 列 { } 中 a
,

命题 2

a

.

} 的前

n

项 和 记为 5

.

,

则{

a

.

}是

的任 意 两 项 则

中学 数 学 (湖 北 )
a 户

199 4 12
.

,

a



+

(P 一

q

)d

.

可知 当公差
,

,

d


,



n 时 点(
,

,

5

.

)

在抛物线

特 别地 有
(l )a
,



=

a .

+

(n 一 1 )d
,

.


6

X



+

a (




.

)二

上 于 是 可得
5
.

,

(2 )

等 差 数 列 中 项 数成 等 差 数 列 的项 仍成 等 差 若
l+
a ,


性质
d

a n 等差 数 列 ( } 的 前 项 和
.

在公 差
a , ;

数列

.

<

o

时 有最 大值 并 且 当d <
,

性质 2
且P +
叮=

a,



a J、 a

,

a 是 等 差 数 列 { } 中的 项
,

,

(1 )

o o
.

且 >

a ,


,

。时 S
,

,

的最 大 值 为
n
,

k

,


十 a ~ 9
a,
a:
,

a 2 ( ) 当
a
.

>
a

d

时 使
n

5

.

取 最 大 值的


满足

a 一

+


a
,

-

>

0



+ :

<
,

0 (

e N )


(因

为 四 点 (P
.

,

)



(叮

a,

) (l

a‘

) (盛 a . )


,

共线

,

粤< “
性质 4


<

1 一

粤且

妊N
.

由斜 率相 等获 证 特 别地
(1 ) Z a (2 )a
,
.

)

:

5
a a
. ,

可 作 为 等差 数 列 求 和 公式的变 式 变 用 公式 培 养 思 维 的 灵 活 性
, ,

.

5



6

=

一 l


a :

a



+ 1

学 生 思 维的 灵 活性 表 现 在 数 学 学 习 中善 于 正 向
=

??



=



a



?


r

a .




a

,

_ (

卜:
a

)

迁 移 具 有举 一 反 三 随 机应 变 的 能力
r 、

, a

,

a 性 质 3 若 等差 数 列 ( } 的 第 a , 则 第 p 项是
,

t

项分别 是


变 用 公 式是培 养 学 生 思 维灵 活 性 的重 要 手段
,
.

.

a

,

外 ~
( 因 为 (r
,

万干顶
,

+

肠 一
,


,

,

,

气八

_

户一


r

一 )

a

)



(t
.

,

a

) (P

,

a,


一 P
:




下 面 仅 以 两 道高考题 的求解 例 谈公式的变 用 a 5 例 1 在 等 差 数 列 { } 中 已 知 前 1 项 的和 凡
.

,

5

=
,

90

,



a .

=

(

)
(B ) 3

(1 9 8 8

年理 )
+
a,

三 点 共 线 由定 比
.

(A ) 6

(C ) 1 2
=
a :

(D ) 4 =

分点 坐 标 公 式获 证 性质
1


) ~


a 2


由于 a
5
.5

:

+

a :。

+

a :.

… =

a ,

可作 为等 差 数 列 通 项公 式 的变 式 差 数 列 求和 公 式 的变 式 由等

2 3


’ . ’ .

=

1 5a



=

90

,

一 刀
? 可知 点 (
, ,

5

.

= )

花犷月


d

.

,



吸 l a

d 一 下 ) 乙
~

a 。

, 一 6

故选
0
,

(A )
a
.

.

,

鲁 一 十 ( a 普

,
,

在直 线

例2
a . :
,

设 等差 数列 {
,

} 的前

n

项和为

5

.

,

已知

=

12

S

一 :

>


5

1 :

<
,2

0


r




) 上 于 是可 得
,
r

( l )

性质 4

若等 差 数 列 的 前

.

t

(, )


项 和 分别是 S

S

,

,

求公 差 d 的取 值 范 围 , : 指 出 S S … S 中 哪 一 个值 最 大 并说
、 、

,

前 p 项 的和 为 S

明理 由

.

(1 9 9 2 ( I )

年理 文 )


兰 +
户 凡 一
、.

,




l



,

1
,

+ 孟
r


_ 吸囚 刀

tr

,

S
,



t 夕 吸
.



,

_ P 一 r , 、 J龟 一 t 一 户 ~ S 5 _ ‘ 二 , , 了 声 (p 寸 夕 二点 开 找 田 足 ‘
, , 、





.


,

.



.



比 分 点 坐标公式 得 证 )


特别 地
变形 得
于是有
O 加
n

+
2


Jn
.

{
5
13

5

1:

一 12a 一 13a
a

立 尸全 三 卫 笋

己>
d



?

全 尸卫 兰笋 卫
d 2
=
,


<



a,

=

,

+
, ‘从
,

12
.

24 ~ 一 不 l

a

吸 一 d
a :

2 2 (S

n
,

(I )

由d <
2 3

0


l

>
)

a :

> … >
6

a, :

>

a ,3



一 S ) = 5

+ (S





S‘

)

、 r 人卫 J |

|S |S

1 2 (a

2 +


2 +

a l:

= 6 (a = 13a



a 7

) >



性质

5

若 {凡 } 是 等 差 数 列 则
,
.


‘ l 一

a ‘、


‘- .

a

‘、

1 3 (a
a ‘

,


<
1 :
,

a , ,

)

7

<

0

十 I



a ‘、

一 成 等差 数 列

二 故在
:


.

>


o


、 、

a ,

0

S

:

S

:

… 5

中 S 的值 最 大

.

.

由等 差 数 列 求 和 公式 的变 式


上 述 的变 式 教 学 深 化 了基 础 知 识 培 养 了 思 维
下犷


,

0

.

=

二 犷n


d

,



气 l a



d



)n

品 质 发 展 了 思 维 能 力 这 正 是 我 们刻 意 追 求的 目

,



.


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