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指数与指数幂的运算教案


§2.1.1 指数与指数幂的运算
学习目标: (1)理解分数指数幂和根式的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化;
(3)掌握分数指数幂的运算性质;

学习重点: (1)分数指数幂和根式概念的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 学习难点:分数指数幂及根式概念的理解 学习过程: 一、新情境、新问题:
2009 年 12 月 27 日在河南安阳发现了一古墓,也就是倍受争议的“曹操墓高陵” ,为研究 修复此墓, 组建了专家委员会, 假如你是 “曹操墓高陵” 专家委员会一员, 已知此古墓建于 1342 年前,当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为 原来的一半,这个时间称为“半衰期” 。据此规律,人们获得了生物体内碳 14 的含量 P 与死亡

? 1 ? 5730 年数 t 之间的关系: p ? ? ? ,你能根据古墓建造的时间确定生物体内碳 14 的含量吗? ?2?

t

二、复习回顾:
1、 整数指数幂的概念。① ③

33 ?

② ④

30 ? 3n ?
3 2

3?3 ? 33 ? 32 ?


2、 运算性质:① ③

② (3 ) ?

( 3x 3 )?

am ? an ?

⑤ ( )?
n

a b

三、新知探究: (一) 、根式
探究一:1、什么是平方根?什么是立方根?一个正数的平方根有几个,一个数的立方根呢? 2、类比平方根和立方根的定义,你能给出 n 次方根的定义吗?

n 次方根的定义:

思考 1: n 次方根的定义给出了,但是 x 如何用 a 表示呢?请求出下列各数的 n 次方根。 (1)当为奇数时; ① x ? 27 , ② x ? ?32 , ③ x ? a ,
3 5 7 14

④ x ?0,
9

结论:
(2)当为偶数时;① 是否正确?

x 2 ? 16 ,② x 4 ? 81 , ③ x 6 ? ?81 , ④ x8 ? 0 ,并判断 x ? n a

结论: 根式:

第 1 页 共 4 页

思考 2: (1)若对一个数先开方,再乘方(同次) ,结果会怎样?例如:① ② (3 ?3 )?
3

(2 5 2 )?
5

③ (4 8) ?
4

④ (5 4) ?



( n a )n ?

结论:
(2)若对一个数先乘方,再开方(同次) ,结果会怎样?例如:① ② 即
5 3

(? 3 3 )? (?8) 4 ?

(4)5 ?



2

(5) 2 ?



4

n

n (a) ?

结论:
例 1:求下列各式的值 (1) (1)
3

( ?8)3

(2)

( ?10) 2

(3)

4

(3 ? ? ) 4

(4)

( a ? b ) 2 ( a ? b)

(二) 、分数指数幂
探究二:观察以下式子,并总结出规律: a >0 ① ③
5

a ? (a ) ? a ? a
10 5 2 5 2

10 5


5

a ? (a ) ? a ? a
8 4 2 4 10

8 2

4

a ? (a ) ? a ? a
12 4 3 4 3

12 4

④ a

? (a ) ? a ? a
5

2 5

2

10 5

结论:
思考:按照上述规律,以下根式可分别写成什么形式? ①
3

a2 ?

(a ? 0 ) , ②

b?

(b ? 0) , ③

4

c5 ?

(c ? 0 ) ,

分数指数幂: ①正数的正分数指数幂的意义是: ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同.即: ③0 的正分数指数幂等于 ,0 的负分数指数幂 .

说明:
第 2 页 共 4 页

巩固练习: (1)用根式的形式表示下列各式( a >0) : ①

a ?

1 2



a ?

3 4



a

?

3 5

?



a

?

2 3

?

(2)用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数) ① 3 x2 ?
3 ② 4 ( a ? b) ? 5 ③ 4 ( a ? b) ?

(三)有理数指数幂的运算性质
(1) a ? a ?
r s

(a ? 0, r , s ? Q) (a ? 0, r , s ? Q) (Q ? 0, b ? 0, r ? Q)
1342.5

(2) (a ) ?
r S

(3) (a ? b) ?
r

? 1 ? 5730 (四)前情回顾:当 t=1342 时, p ? ? ? = ?2?

四、例题讲解
例 2.求值 ①

8

2 3



25

?

1 2



1 ( ) ?5 2

16 ? 3 ④ ( ) 4 81

例 3.用分数指数幂的形式表示下列各式( a >0) ①a . a
3

② a2 ? 3 a2

③ a a

3

例 4.计算下列各式(式中字母都是正数) (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ,
2 1 1 1 1 5 1

(2) (m 4 n 8 )

?

3 8

第 3 页 共 4 页

例 5.计算下列各式 (1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25 , (2)

a2 a. 3 a2

(a >0)

(四) 、无理数指数幂:
一般来说,无理数指数幂 a (a ? 0, p是一个无理数) 是一个确定的实数,有理数指数幂
p

的性质同样适用于无理数指数幂.

五、课堂小结:

六、知识再提高:
(1)用分数指数幂的形式表示下列各式 ①

p6q5

(p ? 0 ) ;



m3 m

(2)计算下列各式: ①

36 3 ( )2 49



2 3?

3

1 .? 5

6

12



a a a

1 2

1 4

?

1 8



2x

?

1 3

? 1 1 ( x 3 ? 2x 2

2 3

)

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