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高二数学(1.1.1正弦定理拓展)_图文

1.1

正弦定理和余弦定理

1.1.1

正弦定理

第二课时

问题提出 1.正弦定理的外在形式和数学意义分别 是什么?

a b c = = sin A sin B sin C
在一个三角形中,各边和它所对角的正 弦之比相等.

2.在解三角形中,利用正弦定理可以解 决哪两类问题? 已知两角和一边解三角形; 已知两边和其中一边的对角解三角形.

a 3.在正弦定理中, A 有什么几何意义? sin

利用正弦定理可以得到哪些相关结论? 这需要我们作进一步了解和探究,加深 对正弦定理的理性认识.

a sin A

探究(一):正弦定理的几何意义 a 思考1:在直角三角形ABC中, 等于 sin A 什么? C b a
3.在正弦定理中,

A

c

B

思考2:如图,作△ABC的外接圆,你能 构造一个一条直角边长为a,其对角大小 为A的直角三角形吗? B
3.在正弦定理中,

a sin A

a = 2R sin A

C

a O A D

思考3:设△ABC的外接圆半径为R,则 a sin A 等于什么?

思考4:如图,若∠A为钝角,上述结论 还成立吗? 若∠A为直角呢?
B A

a = 2R sin A

O

a

C D

探究(二):正弦定理的变式拓展

思考1:在三角形中有“大边对大角”原 理,如何利用正弦定理进行理论解释?
思考2:利用等比定理,正弦定理可作哪 些变形?
a b c a+b a+c b+ c = = = = = sin A sin B sin C sin A + sin B sin A + sin C sin B + sin C

a + b+ c = = 2R sin A + sin B + sin C

思考3:利用正弦定理如何求三角形的周 长?

a + b + c = 2R sin A + sin B + sin C) (

思考4:设△ABC的外接圆半径为R,则其 1 面积公式 S = ab sin C 可以作哪些变形? 2
1 2 S = abc = 2R sin A sin B sin C 4R

思考5:在△ABC中,设∠A的平分线交BC

AB BD = 边于点D,则 A C CD(角平分线定理),

你能用正弦定理证明这个结论吗?
A

B

D

C

理论迁移 例1 在钝角△ABC中,已知AB= 3 , AC=1,B=30°,求△ABC的面积.
3 4

例2 在△ABC中,已知 ab ? 60 3 , sinB=sinC,且△ABC的面积为 15 3, 求c边的长. 2 15

例3 在△ABC中,已知acosB=bcosA, 试确定△ABC的形状. 等腰三角形

例4 在△ABC中,已知
t an A - t an B b+ c ,求角A的值. = t an A + t an B c

120°

小结作业 1.正弦定理是以三角形为背景的一个基 本定理,它不仅可以用来求三角形的边 角值,而且可以在三角变换中实现边角 转化,是解决三角形问题的一个重要工 具. 2.正弦定理的应用具有一定的灵活性, 在处理三角形的边角关系时,利用 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可达 到化边为角的目的.

3.正弦定理不是万能的,如已知三角形 的三边长,利用正弦定理就不能求出三 个内角,因此我们还需要建立新的理论. 欲知后事如何,且听下回分解.

作业: P10习题1.1 A组:2. B组:2.