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学高中数学第三章函数的应用章末总结课件新人教A版必修1_图文

章末总结

网络建构

知识辨析
判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”) 1.函数的零点是一个点的坐标.( × ) 2.若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数一定有零点.( × ) 4.若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0), (x2,0).( × ) 5.所有函数的零点都可以用二分法来求.( × ) 6.函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.( × )
7.当 x 很大时,函数 y= 1 ·2x 的增长速度比 y=x200 增长速度快.( √ )
1000

主题串讲——方法提炼·总结升华

一、函数零点的判断

【典例 1】 (1)函数 f(x)=ln(x+1)- 2 的零点所在的大致区间是( ) x

(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3)

(D)(3,4)

解析:(1)因为 f(x)在(0,+∞)上是增函数, f(1)=ln(1+1)-2=ln 2-2<0,而 f(2)=ln 3-1>ln e-1=0, 所以函数 f(x)=ln(x+1)- 2 的零点所在区间是(1,2).故选 B.
x

(2)(2018·大庆高一检测)已知实数a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b) (x-c)+(x-c)(x-a)( ) (A)仅一个零点且位于区间(c,+∞)内 (B)仅一个零点且位于区间(-∞,a)内 (C)有两个零点且分别位于区间(a,b)和(b,c)内 (D)有两个零点且分别位于区间(-∞,a)和(c,+∞)内
解析:(2)因为f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0, f(c)=(c-a)(c-b)>0, 所以在(a,b)及(b,c)区间都至少各有一个零点,即两个零点分别位于 (a,b)及(b,c)内.故选C.

规律方法 (1)利用函数的零点存在性定理判断函数零点所在区间. (2)利用函数的单调性或数形结合思想判断函数零点的个数.

即时训练1:(1)函数f(x)=x+lg x-3的零点所在的区间为( ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,+∞)
解析:(1)易知函数f(x)=x+lg x-3在(0,+∞)上是增函数,f(1)=1+0-3< 0,f(2)=2+lg 2-3<0, f(3)=3+lg 3-3>0,故函数f(x)=x+lg x-3的零点所在的区间为(2,3). 故选C.

(2)函数f(x)=log2x-4+2x的零点位于区间( ) (A)(3,4) (B)(0,1) (C)(1,2) (D)(2,3)
解析:(2)因为f(1)=log21-4+2×1=-2<0, f(2)=log22-4+2×2=1>0, 又在(1,2)上函数y=log2x-4+2x的图象是连续不断的一条曲线, 所以函数y=log2x+2x-4在区间(1,2)上存在零点.故选C.

二、函数零点的应用

【典例2】 若直线y=-x与函数y=x2-4x+2(x≥m)的图象恰有一个公共点,则

实数m的取值范围为

.

解析:令f(x)=x2-4x+2+x=x2-3x+2,令f(x)=0,得x1=1,x2=2. 作出f(x)的函数图象如图所示. 因为直线y=-x与函数y=x2-4x+2(x≥m)的图象恰有一个公共点, 所以f(x)在[m,+∞)上只有一个零点, 所以1<m≤2. 答案:(1,2]

规律方法 已知函数零点或方程根的个数求参数时常借助数形结合思想 及分类讨论思想求解,分类时要注意不重不漏.

即时训练2:(2017·大同高一期末)已知方程x2-4|x|+5=m有四个全不相等的

实根,则实数m的取值范围是

.

解析:设

f(x)=x2-4|x|+5,则

f(x)=

??x2

? ??

x

2

? ?

4x 4x

? ?

5, 5,

x ? 0, x<0,

作出 f(x)的图象,如图.

要使方程 x2-4|x|+5=m 有四个全不相等的实根,

需使函数 f(x)与 y=m 的图象有四个不同的交点,

由图象可知,1<m<5.

答案:(1,5)

三、已知函数模型解决实际问题 【典例3】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持 下,进行技术攻关,采用新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的产品.已 知该单位每月处理二氧化碳最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元) 与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y= 1 x2-200x+80 000,且
2
每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)若该单位每月成本支出不超过105 000元,求月处理量x的取值范围;

解:(1)设月处理量为 x 吨,则每月处理x 吨二氧化碳可获化工产品价值为 100x 元,
则每月成本支出 f(x)为 f(x)= 1 x2-200x+80 000-100x,x∈[400,600]. 2
若 f(x)≤105 000,即 1 x2-300x-25 000≤0, 2
即(x-300)2≤140 000, 所以 300-100 14 ≤x≤100 14 +300. 因为 100 14 +300≈674>600,且 x∈[400,600], 所以该单位每月成本支出不超过 105 000 元时,月处理量 x 的取值范围是{x|400 ≤x≤600}.

(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少 需要补贴多少元才能使该单位不亏损?

解:(2)f(x)= 1 x2-300x+80 000= 1 (x2-600x+90 000)+35 000

2

2

= 1 (x-300)2+35 000,x∈[400,600],因为 1 (x-300)2+35 000>0,

2

2

所以该单位不获利.

由二次函数性质得当 x=400 时,f(x)取得最小值.

f(x)min= 1 (400-300)2+35 000=40 000. 2
所以国家至少需要补贴 40 000 元才能使该单位不亏损.

规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题,关键要分清函数类型, 并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件,然后结 合所给模型,列出函数关系式;最后结合其实际意义作出解答.

四、函数模型的构建问题 【典例4】 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费 用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可 以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆. 旅游点规定:每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元,每辆自行车 的日租金x元只取整数,用y表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租 的所有自行车的总收入减去管理费后的所得). (1)求函数y=f(x)的解析式;

解:(1)当 x≤6 时,y=50x-115,令 50x-115>0,

解得 x>2.3.

又因为 x∈N,x≥3,所以 3≤x≤6,且 x∈N.

当 6<x≤20,且 x∈N 时,

y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115,

综上可知

y=f(x)=

??50x ?115,3 ? x ? 6, x ? N, ????3x2 ? 68x ?115,6<x ? 20, x ? N.

(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最 多为多少元?
解:(2)当 3≤x≤6,且 x∈N 时, 因为 y=50x-115 是增函数, 所以当 x=6 时,ymax=185 元. 当 6<x≤20,且 x∈N 时, y=-3x2+68x-115=-3(x- 34 )2+ 811 ,
33 所以当 x=11 时,ymax=270 元. 综上所述,当每辆自行车日租金定为 11 元时才能使日净收入最多,为 270 元.

规律方法 建立数学模型的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; (2)建模:将文字语言中含有相等意义的关键词转化成数学语言,即用等 式表达,用数学知识建立相应的函数模型,即写出相关的函数解析式(注 意有关量的实际意义,即函数的定义域).

真题体验——真题引领·感悟提升

1.(2015·安徽卷)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A )

(A)y=cos x

(B)y=sin x

(C)y=ln x

(D)y=x2+1

解析:y=cos x是偶函数,且存在零点; y=sin x是奇函数; y=ln x既不是奇函数又不是偶函数; y=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.

2.(2014·山东卷)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两

个不相等的实根,则实数k的取值范围是( B )

(A)(0, 1 ) (B)( 1 ,1)

2

2

(C)(1,2) (D)(2,+∞)

解析:在同一坐标系中分别画出函数 f(x),g(x)的图象如图所示, 方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交 点,结合图象可知,当直线 y=kx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且
小于直线 y=x-1 的斜率时符合题意,故 1 <k<1.故选 B. 2

3.(2013·天津卷)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:f(x)的零点个数, 即 2x|log0.5x|-1=0 根的个数, 方程变形得|log2x|=( 1 )x,
2
所以函数零点个数即 y=|log2x|与 y=( 1 )x 交点个数, 2
如图由两函数图象知交点个数为 2,所以 f(x)零点个数为 2.故选 B.

4.(2016·天津卷)已知函数

f(x)=

??x2 ? ? ??loga

?4a ? 3? ? x ?1? ?

x? 1, x

3a, x<0, ?0

(a>0,且

a≠1)在

R 上单调递减,且关于 x 的方程|f(x)|=2-x 恰有两个不相等的实数解,则 a 的 取值范围是( C )

(A)(0, 2 ] 3

(B)[ 2 , 3 ] 34

(C)[ 1 , 2 ]∪{ 3 }

33

4

(D)[ 1 , 2 )∪{ 3 }

33

4

解析:由 y=loga(x+1)+1 在[0,+∞)上递减,得 0<a<1.

?02 ? ?4a ? 3? ? 0 ? 3a ? f ?0? ? 1,

又由

f(x)在

R

上单调递减,则

? ? ??

3

? 4a 2

?

0

? 1 ≤a≤ 3 .

3

4

如图所示,在同一坐标系中作出函数 y=|f(x)|和 y=2-x 的图象.

由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2-x 有且仅有一个解,

故在(-∞,0)上,|f(x)|=2-x 同样有且仅有一个解.

当 3a>2,即 a> 2 时,由 x2+(4a-3)x+3a=2-x(其中 x<0), 3

得 x2+(4a-2)x+3a-2=0(其中 x<0),则Δ=(4a-2)2-4(3a-2)=0,解得 a= 3 或 a=1(舍去); 4

当 1≤3a≤2,即 1 ≤a≤ 2 时,由图象可知,符合条件.

3

3

综上所述,a∈[ 1 , 2 ]∪{ 3 }.故选 C.

33

4

5.(2015·湖南卷)已知函数

f(x)=

?? ? ??

x3 x2

, ,

x ? a, x>a.

若存在实数

b,使函数

g(x)=f(x)-b

有两

个零点,则 a 的取值范围是

.

解析:当 a<0 时,若 x∈(a,+∞),则 f(x)=x2, 当 b∈(0,a2)时,函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,分别是 x1=- b ,x2= b . 当 0≤a≤1 时,易知函数 y=f(x)-b 最多有一个零点. 当 a>1 时,f(x)的图象如图所示,

当 b∈(a2,a3]时,函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,分别是 x3= 3 b ,x4= b . 综上,a∈(-∞,0)∪(1,+∞).
答案:(-∞,0)∪(1,+∞)

6.(2015·四川卷)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)

满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品

在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在

33 ℃的保鲜时间是

小时.

解析:由已知条件得 192=eb,所以 b=ln 192.

1

1



48=e22k+b=e22k+ln

192=192e22k=192(e11k)2,所以

e11k=

? ??

48 192

?2 ??

=

? ??

1 4

?2 ??

=

1 2

.

设该食品在 33 ℃的保鲜时间是 t 小时,则 t=e33k+ln 192=192e33k=192(e11k)3

=192×( 1 )3=24.
答案:224


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