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导数、解析几何大题及答案


20.已知抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,直线 x=4 与 x 轴的交点为 P,与抛物线的交点为 Q,且 .

(1)求抛物线的方程; (2)如图所示,过 F 的直线 l 与抛物线相交于 A,D 两点,与圆 x2+(y﹣1)2=1 相交于 B,C 两点(A,B 两点相邻) ,过 A,D 两点分别作我校的切线,两条切线相交于点 M,求△ABM 与△ CDM 的面积之积的最小值.

解: (1)由题意可知 P(4,0) ,Q(4, ) , 丨 QF 丨= + , 由 , 则 + = × , 解得: p=2, ∴M 到 l 的距离 d= =2 , , 解得: , 则M (2k, ﹣1) ,

∴抛物线 x2=4y; (2)设 l:y=kx+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立 则 x1x2=﹣4, 由 y= x2,求导 y′= , 直线 MA: y﹣ = (x﹣x1) , 即 y= x﹣ , ,整理得:x2﹣4kx﹣4=0,

∴△ABM 与△CDM 的面积之积 S△ABM?S△CDM= 丨 AB 丨丨 CD 丨?d2, = (丨 AF 丨﹣1) (丨 DF 丨﹣1) ?d2, = y1y2d2= ? =1+k2≥1, 当且仅当 k=0 时取等号, ×d2,

同理求得 MD:y=

x﹣



当 k=0 时,△ABM 与△CDM 的面积之积的最小 值1

21.已知函数 f(x)=lnx﹣x.

1

(1)证明:对任意的 x1,x2∈(0,+∞) ,都有|f(x1)|>



(2)设 m>n>0,比较



的大小,并说明理由

(1)证明: 因为 f′(x)= ,故 f(x)在(0,1)





上是增加的,在(1,+∞)上是减少的, f(x)max=f(1)=ln1﹣1=﹣1,|f(x)|min=1,

则 G′(t)= ﹣

=



因为 t>1,所以 G′(t)>0,所以函数 G 设 G(x)= ,则 G′(x)= , (t)在(1,+∞)上是增加的, 故 G(t)>G(1)=0,所以 G(t)>0 对任 意 t>1 恒成立,

故 G(x)在(0,e)上是增加的,在(e,+ ∞)上是减少的,故 G(x)max=G(e)= <1, G(x)max<|f(x)|min, 所以|f(x1)|> +∞)恒成立; (2)解: 对任意的 x1,x2∈(0,

即 ln >



从而有





=

= ?





= ×



∵m>n>0,∴ ﹣1>0,

故只需比较 ln 与

的大小,

令 t= (t>1) ,设 G(t)=lnt﹣

=lnt

2

19. (13 分)设椭圆 到右准线 l 的距离为 . (Ⅰ)求 a、b 的值;

=1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1 和 F2,离心率 e=

,点 F2

(Ⅱ)设 M、N 是右准线 l 上两动点,满足 点关于 x 轴对称. 解: (1)因为 ,F2 到 l 的距离 ,

=0.当|MN|取最小值时,求证:M,N 两

所以由题设得



解得, 由 (Ⅱ)证明:由 则 l 的方程为 故可设 =(2 由 +

. . ,a=2 得 . . ,y1) , × =(2 ﹣ ,y2) , .

=0 知,3

+y1y2=0,

得 y1y2=﹣6,所以 y1y2≠0, ,| 当且仅当 |=|y1﹣y2|=|y1+ |=|y1|+ ,

时,上式取等号,此时 y1=﹣y2.

即 M,N 两点关于 x 轴对称.

3

20. (14 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象经过原点,且在 x=1 处取得极大值. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若方程 f(x)=﹣ 恰好有两个不同的根,求 f(x)的解析式;

(Ⅲ)对于(2)中的函数 f(x) ,若对于任意实数α 和β 恒有不等式|f(2sinα )﹣f(2sin β )|≤m 成立,求 m 的最小值.

解: (Ⅰ)f(0)=0? c=0,f'(x)=3x2+2ax+b,f'(1)=0? b=﹣2a﹣3,…2 分 ∴f'(x)=3x2+2ax﹣(2a+3)=(x﹣1) (3x+2a+3) , 由 f'(x)=0? x=1 或 因为当 x=1 时取得极大值,所以 所以 a 的取值范围是: (﹣∞,﹣3) ;…4 分 (Ⅱ)由下表: x x<1 x=1 0 ﹣ 0 递减 ﹣ 极小值 递增 ,

f'(x) +

f(x) 递增 极大值﹣a﹣2 …7 分 画出 f(x)的简图:

依题意得:



解得:a=﹣9, 所以函数 f(x)的解析式是:f(x)=x3﹣9x2+15x;…9 分 (Ⅲ)对任意的实数α ,β 都有﹣2≤2sinα ≤2,﹣2≤2sinβ ≤2, 依题意有:函数 f(x)在区间上的最大值与最小值的差不大于 m,…10 分 在区间上有:f(﹣2)=﹣8﹣36﹣30=﹣74f(1)=7, f(2)=8﹣36+30=2f(x)的最大值是 f(1)=7, f(x)的最小值是 f(﹣2)=﹣8﹣36﹣30=﹣74,…13 分 所以 m≥81 即 m 的最小值是 81.…14 分.

4

20. y2=2px 已知抛物线 C: (p>0) 的焦点 F 与椭圆 C': 2)在抛物线上,过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 M、N 两点. (1)求抛物线 C 的方程以及|AF|的值; (2)记抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 B,若 解: (1)依题意,椭圆 可得抛物线 C 的方程为 y2=4x. 将 A(x0,2)代入 y2=4x,解得 x0=1,故 .

=1 的一个焦点重合, 点A (x0,

,|BM|2+|BN|2=40,求实数 λ 的值. ,则 2p=4,

中,a2=6,b2=5,故 c2=a2﹣b2=1,故

(2)依题意,F(1,0) ,设 l:x=my+1,设 M(x1,y1) 、N(x2,y2) , 联立方程 ,消去 x,得 y2﹣4my﹣4=0.

所以 又 代入①得

,①且



,则(1﹣x1,﹣y1)=λ(x2﹣1,y2) ,即 y1=﹣λy2, ,消去 y2 得 , ,

易得 B(﹣1,0) ,则 则

= =(m2+1) (16m2+8)+4m?4m+8=16m4+40m2+16, 当 16m4+40m2+16=40,解得 ,故 .

=

5

21.已知函数 f(x)=axex﹣(a﹣1) (x+1)2(a∈R,e 为自然对数的底数,e=2.7181281…) . (1)当 a=﹣1 时,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)仅有一个极值点,求 a 的取值范围. 解: (1)由题知,f(x)=﹣xex+2(x+1)2, f'(x)=﹣ex﹣xex+4(x+1)=(x+1) (4﹣ex) , 由 f'(x)=0 得到 x=﹣1 或 x=ln4, 而当 x<ln4 时, (4﹣ex)>0,x>ln4 时, (4﹣ex)<0,列表得: x f'(x) f(x) (﹣∞,﹣1) ﹣ ↘ ﹣1 0 极大值 (﹣1,ln4) + ↗ ln4 0 极小值 (ln4,+∞) ﹣ ↘

所以,此时 f(x)的减区间为(﹣∞,﹣1) , (ln4,+∞) ,增区间为(﹣1,ln4) ; (2)f'(x)=aex+axex﹣2(a﹣1) (x+1)=(x+1) (aex﹣2a+2) , 由 f'(x)=0 得到 x=﹣1 或 aex﹣2a+2=0(*) 由于 f(x)仅有一个极值点, 关于 x 的方程(*)必无解, ①当 a=0 时, (*)无解,符合题意, ②当 a≠0 时,由(*)得 ex= ,故由 ≤0 得 0<a≤1,

由于这两种情况都有,当 x<﹣1 时,f'(x)<0,于是 f(x)为减函数, 当 x>﹣1 时,f'(x)>0,于是 f(x)为增函数, ∴仅 x=﹣1 为 f(x)的极值点, 综上可得 a 的取值范围是[0,1].

6


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