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北京大学附属中学河南分校2015-2016学年高一数学12月月考试题


2015-2016 学年上学期 12 月考试卷 高一数学
考试时间 120 分钟 满分 150 分 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列几何体是台体的是 ( )

2.给出下列语句: ①一个平面长 3 m,宽 2 m; ②平面内有无数个点,平面可以看成点的集合; ③空间图形是由空间的点、线、面所构成的.其中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.0 ( ) ( )

3.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 AB,A1D1 所成的角等于 A.90° B.45° C.60° D.30°

4. 如图所示的是水平放置的三角形直观图, D′是△A′B′C′中 B′C′边上的一点, 且 D′ 离 C ′比 D ′离 B ′近,又 A ′ D ′∥ y ′轴,那么原△ ABC 的 AB 、 AD 、 AC 三条线段中 ( ) A.最长的是 AB,最短的是 AC B.最长的是 AC,最短的是 AB C.最长的是 AB,最短的是 AD D.最长的是 AD,最短的是 AC 5.一个水平放置的三角形的面积是 ( ) A. 6 4 B. 6 2 C. 3 2 D. 3 4 6 ,则其直观图面积为 2

6.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱 的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为( A.12 3 B.36 3 C.27 3 D.6 )

6 7.如图所示,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是( )

1

8 .已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 ,体积为 16 ,则这个球的表面积是 ( ) A.24π B.20π C.16π D.32π

9.如图所示,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB、CD 在原正方体中的位置关系是 ( ) A.平行 C.异面直线 B.相交且垂直 D.相交成 60°角

10. 一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面α 的距离相等,那么直线 l 与平面α 的位置关系是( ) A.l∥α B.l∥α 或 l? α C.l 与α 相交 但不垂直 D.l⊥ α 11.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( ) .. A.异面直线 AC1 与 CB 所成的角为 45° B.BD∥平面 CB1D1 C.平面 A1BD∥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 45° 12.若圆锥的母线长是 8,底面周长为 6π ,则其体积是( A.9 55π B.9 55 C.3 55π ) D.3 55

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.如图,四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 是 SA 上一点,当点 E 满足条件: ________时,SC∥平面 EBD. 14.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点.①若 AC=BD,则四 边形 EFGH 是________;②若 AC⊥BD,则四边形 EFGH 是________. 15.若一球与棱长为 6 的正方体的各面都相切,则该球的体积为________. 16.下列四个命题:①若 a∥b,a∥α ,则 b∥α ;②若 a∥α ,b? α ,则 a∥b;③若 a∥α ,则 a 平行于α 内所有的直线;④若 a∥α , a∥b,b? α ,则 b∥α .其中正确命题的序号是________. 三 、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

2

17.(10 分)某个几何体的三视图如图所示(单位:m), (1)求该几何体的表面积(结果保留π ); (2)求该几何体的体积(结果保留π ).

18.(12 分)如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别 为 AB、A1D1 的中点,判断 MN 与平面 A1BC1 的位置关系,为什 么?

19. (12 分)空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角 为 30°,E、F 分别是 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小.

20.(12 分)如图所示,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC= 135°,AB=5,CD=2 2,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所 成几何体的表面积及体积. 注:圆台的体积和侧面积公式: 1 1 2 V 台= (S 上+S 下+ S上·S下)h = π (r2 1+r2+r1r2)h 3 3 S 侧=π (r 上+r 下)l 1 圆锥的侧面积公式:V 锥= Sh 3

,S 侧=π rl

3

21.(12 分)如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点, 设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

22.(12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC、BD 交于点 M,E 为 AB 的中点,F 为 AA 1 的中点. 求证:(1)C1、O、M 三点共线; (2)E、C、D1、F 四点共面; (3)CE、D1F、DA 三线共点.

4

宇华教育集团 2015-2016 学年上学期 12 月考试卷

高一数学

参考答案

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

题号 答案

1 D

2 B

3 A

4 C

5 D

6 B

7 C

8 A

9 D

10 B

11 A

12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.E 是 SA 的中点 15. 36π 14.菱形 矩形 16. ④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分) 解:由三视图可知: 该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体,上半部分是半径为 1 m 的半球. (1)几何体的表面积为 1 2 2 2 2 S= ×4π ×1 +6×2 -π ×1 =24+π (m ). 2 (2)几何体的体积为 1 4 2π 3 3 3 V=2 + × ×π ×1 =8+ (m ). 2 3 3 18.(12 分) 解:直线 MN∥平面 A1BC1, 证明如下: ∵MD/∈平面 A1BC1,ND/∈平面 A1BC1. ∴MN?平面 A1BC1. 如图, 取 A1C1 的中点 O1,连接 NO1、BO1. 1 1 ∵NO1= D1C1,MB= D1C1, 2 2 ∴NO1=MB.

∴四边形 NO1BM 为平行四边形.∴MN∥BO1. 又∵BO1? 平面 A1BC1, ∴MN∥平面 A1BC1.

19.(12 分) 解: 取 AC 的中点 G, 连接 EG、FG,
5

则 EG∥AB,GF∥CD, 且由 AB=CD 知 EG=FG, ∴∠GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角, ∠EGF(或它的补角)为 AB 与 CD 所成的角. ∵AB 与 CD 所成的角为 30°, ∴∠EGF=30°或 150°. 由 EG=FG 知△EFG 为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF= 75°; 当∠EGF=150°时,∠GEF=15°. 故 EF 与 AB 所成的角为 15°或 75°.

20.(12 分) 解: S 表面=S 圆台底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=π ×5 +π ×(2+5)×5+π ×2×2 2
2

=(4 2+60)π . 1 1 2 2 2 V=V 圆台-V 圆锥= π (r1+r1r2+r2)h- π r1h′ 3 3 1 1 148 = π (25+10+4)×4- π ×4×2= π 3 3 3 21.(12 分) 解: 当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO.

∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点, ∴QB∥PA. ∵P、O 为 DD1、DB 的中点,∴D1B∥PO. 又 PO∩PA= P,D1B∩QB=B, D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO

B.(12 分) 证明: (1)∵C1、O、M∈平面 BDC1, 又 C1、O、M∈平面 A1ACC1,由公理 3 知,点 C1、O 、M 在平面 BDC1 与平面 A1ACC1 的交线上, ∴C1、O、M 三点共线. (2)∵E,F 分别是 AB,A1A 的中点, ∴EF∥A1B.

6

∵A1B∥CD1, ∴EF∥CD1. ∴E、C、D1、F 四点共面. (3)由(2)可知:四点 E、C、D1、F 共面. 1 又∵EF= A1B. 2 ∴D1F,CE 为相交直线,记交点为 P. 则 P∈D1F? 平面 ADD1A 1,P∈CE? 平面 ADCB. ∴P∈平面 ADD1A1∩平面 ADCB=AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点.

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