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黑龙江哈三中2015高三第四次模拟考试 数学文


哈尔滨三中 2015 年第四次模拟考试 数学试卷(文史类)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚; (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草 稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷

(选择题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 1. 已知复数 f (n) ? i n (n ? N* ) ,则集合 {z | z ? f (n)} 中元素的个数是 A.4 B.3 C.2 D.无数 开始

2. 函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,且在 ?1, ?? ? 单调递减, f (0) ? 0 ,则 f ( x ? 1) ? 0 的解集为 A. (1, ??) C. (??, ?1) B. (?1,1) D. (??, ?1) ? (1, ??) 否 3.执行如图程序框图其输出结果是 A. 29 B. 31 C. 33 D. 35

a ?1 a ? 2a ? 1

a ? 30?
是 输出 a

结束

4. 已知平面 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? ,则“ n ? m ”是“ n ? ? ”成立的 A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
·1 ·

5. 某几何体三视图如下,图中三个等腰三角形的直角边长都是 2 ,该几何体的体积为

4 3 8 B. 3
A. C. 4 D.

正视图

侧视图

16 3

俯视图

6. 直线 l :8x ? 6 y ? 3 ? 0 被圆 O : x2 ? y 2 ? 2x ? a ? 0 所截得弦的长度为 3 ,则实数 a 的值是 A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 1 ?

13 2

7. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒 物, 也称为可入肺颗粒物. 如图是根据哈尔滨三中学生社团某日 早 6 点至晚 9 点在南岗、群力两个校区附近的 PM 2.5 监测点统 计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎叶图,南岗、群力两 个校区浓度的方差较小的是 A.南岗校区 B.群力校区 C.南岗、群力两个校区相等 D.无法确定 8. 南岗 校区 2 9 3 6 2 1 3 3 1 6 4 7 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 ) 1 2 3 6 9 2 9 9 7 2 4 6 群力校区

已知 ?an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项和 S10 ? 70 ,则其公差 d ? ( A. ?

2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

9. 三棱锥 P ? ABC 中, ?ABC 为等边三角形, PA ? PB ? PC ? 2 , PA ? PB ,三棱锥 P ? ABC

的外接球的表面积为 A. 48? B. 12? C. 4 3? D. 32 3?

·2 ·

10.若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为 ? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
7 2
B. ?

A. ?

1 2

C.

1 2

D.

7 2

11.双曲线 C 的中心在原点,焦点在 y 轴上,离心率为 2 ,双曲线 C 与抛物线

y 2 ? 4x 的准线交于 A , B 两点, AB ? 4 ,则双曲线 C 的实轴长为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 3

? log1 (x ? 1),x ? ? 0, 2 ? ? 3 12. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ,则关于 x 的函数 ? 1 ? x ? 4 , x ? 2, ?? ? ? ?
F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为
a A. 3 ? 1

B. 1 ? 3

a

C. 3

?a

?1

D. 1 ? 3

?a

哈尔滨三中 2015 年第四次模拟考试 数学试卷(文史类)
第Ⅱ卷
(非选择题, 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 8 , a4 ? a3 ? a5 ,则 a7 ?



?x ? y ? 6 ?x ? y ? 2 ? 14. 已知变量 x 、 y 满足条件 ? ,若目标函数 z ? 2 x ? y , z 的最大值为 ?x ? 0 ? ?y ? 0
2 2



15.在 ?ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别是 a ,b ,c ,若 a ? b ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B ,
·3 ·

则A?



16. 向 量 AB ? ( 1 , 1 , ) CD ? ( 1 ? x , x ? 3) , f ( x) ? AB ? CD , 函 数 f ( x) 的 最 大 值





三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ? x ? R ? . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期及在区间 ? 0, (Ⅱ)将函数 f ? x ? 图像向左平移

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

? 个单位,再向上平移1 个单位,得到函数 g ? x ? 6

图像,求 g ? x ? 的对称轴方程和对称中心坐标.

18.(本小题满分 12 分) 一个袋子中装有大小形状完全相同的 5 个小球,球的编号分别为1 , 2 , 3 , 4 , 5 (Ⅰ)从袋子中随机取出两个小球,求取出的小球编号之和大于 5 的概率;
·4 ·

(Ⅱ)先从袋子中取出一个小球,该球编号记为 x ,并将球放回袋子中,然后再从袋子中取出一 个小球,该球编号记为 y ,求 y ? x ? 4 的概率

19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,面 ABB 1A 1 为矩形, AB ? 1 , AA 1 ?

2 , D 为 AA1 的中点,

BD 与 AB1 交于点 O , CO ? 面 ABB 1A 1.
(Ⅰ)证明: BC ? AB1 ; (Ⅱ)若 OC ? OA ,求直线 CO 与面 ABC 成角的余弦值.

C

B
O

B1

C1

A
20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

D

A1

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1 (? 3,0) 、 F2 ( 3,0) ,点 P 在椭圆 C 上, a 2 b2

满足 PF 1 ? 7 PF 2 , tan ?F 1PF 2 ?4 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 A(1, 0) ,试探究是否存在直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 D 、 E 两点,且使得

| AD |?| AE |?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,请说明理由.

·5 ·

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? bx(a ? 0) , g ( x) ? 1 ? ln x . 2

(Ⅰ)若 b ? 1 ,且 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 g ( x) 的图象 C1 与函数 f ( x) 的图象 C2 交于点 M 、 N ,过线段 MN 的 中点 T 作 x 轴的垂线分别交 C1 、 C2 于点 P 、 Q ,是否存在点 T ,使 C1 在点 P 处的切线与 C2 在点 Q 处的切线平行?如果存在,求出点 T 的横坐标,如果不 存在,说明理由.

·6 ·

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径, C 是半径 OB 的中点, D 是 OB 延长线上一点,且 BD ? OB ,直线

MD 与圆 O 相交于点 M 、 T (不与 A 、 B 重合) , DN 与
圆 O 相切于点 N ,连结 MC , MB , OT . (Ⅰ)求证: DT ? DM ? DO ? DC ; (Ⅱ)若 ?DOT ? 30 ,求 ?BMC .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知点 P(1 ? cos? , sin ? ) , ? ? ?0, ? ? ,点 Q 在曲线 C : ? ?

10

2 sin(? ? ) 4

?

上.

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求 PQ 的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知正实数 a , b 满足: a ? b ? 2 . (Ⅰ)求

1 1 ? 的最小值 m ; a b 1 t

(Ⅱ)设函数 f ( x) ?| x ? t | ? | x ? | (t ? 0) ,对于(Ⅰ)中求得的 m ,是否存在实数 x ,使得

f ( x) ? m 成立,若存在,求出 x 的取值范围,若不存在,说明理由.

哈尔滨三中 2015 年第四次模拟考试 数学试卷(文史类)答案及评分标准
一、选择题:
·7 ·

题号 答案

1 A

2 B

3 B

4 A

5 A

6 C

7 A

8 D

9 C

10 B

11 D

12 D

二、填空题: 13.

1 8

14. 10

15.

? 6

16. 2 2

三、解答题: 17. f ( x) ? 2sin(2 x ?

? ? ? ? 7? ) ? 1 , x ? [0, ] , 2 x ? ? [ , ] 6 2 6 6 6

f ( x) 的最大值为 3 --------------6 分
(2) g ( x) ? 2cos 2 x ? 2 , 对称轴为直线 x ?

k? ? k? , 2) , (k ? Z ) --------12 分 , ( k ? Z ) 对称中心为 ( ? 2 4 2
(2, 4) (3, 4) (2,5) (3,5) (4,5)

18. (1)符合题意的情况有: (1,5)

3 P ---------------6 分 1 ? 5
(2) 符合题意的情况有: x ? 1, y ? 3, y ? 4,5

x ? 2, y ? 2, y ? 3, 4,5
P2 ?

x ? 3,5, y ? 1, y ? 2,3, 4,5

x ? 4, y ? 0, y ? 1, 2,3, 4,5

18 ---------------12 分 25

19. (1)由 ?AB1 B 与 ?DBA 相似,知 DB ? AB1 ,又 CD ? 平面 ABB 1A 1 ,? CD ? AB 1,

? AB1 ? 平面 BDC ,? AB1 ? BC ;---------------6 分
(2) OA ? OC ?

3 6 OB ? 3 , 3

1 6 V ? ? S?AOB ? OC ? ------------12 分 3 54

1 x2 3 4 ? y 2 ? 1.------4 分 20. (1) 2 ? 2 ? 1, c ? 3 ,? a ? 2 ∴所求 C 的方程为 4 a b
(2)假设存在直线 l 满足题设,设 D( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ) ,

x2 ? y 2 ? 1并整理得 将 y ? kx ? m 代入 4
·8 ·

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , ----------------------------6 分
由 ? ? 64k 2 m2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 4) ? ?16(m2 ? 4k 2 ?1) ? 0 , 得 4k 2 ? 1 ? m2 -----------① 又 x1 ? x2 ? ?

4km m ? 3k 2 m 8km , ) ,设 D, E 中点为 M ( x0 , y0 ) , M (? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 --------------------10 分 3k 1 ? 4k 2 2 ) 3k
5 5 或k ? ? 5 5

k AM k ? ?1 ,得② m ? ?
将②代入①得 4k ? 1 ? (
2

化简得 20k 4 ? k 2 ?1 ? 0 ? (4k 2 ? 1)(5k 2 ?1) ? 0 ,解得 k ? 所以存在直线 l ,使得 | AD |?| AE | ,此时 k 的取值范围为

(??, ?

5 5 ) ? ( , ??) .-------12 分 5 5
1 2 ax ? x ? 1( x ? 0) 2

21. 解: (1) b ? 1 时,设函数 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? ln x ? 则 h?( x) ?

1 ax 2 ? x ? 1 ? ax ? 1 ? ? x x
2

因为函数 h( x) 存在单调递减区间,所以 h?( x) ? 0 有解,即 ax ? x ? 1 ? 0 ,有 x ? 0 的解。
2 2 ① a ? 0 时, y ? ax ? x ? 1 为开口向上的抛物线, y ? ax ? x ? 1 ? 0 总有 x ? 0 有解; 2 2 ② a ? 0 时, y ? ax ? x ?1 为开口向下的抛物线,而 y ? ax ? x ? 1 ? 0 总有 x ? 0 的解;则

1 ? ? 1 ? 4a ? 0 ,且方程 y ? ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个正根,此时, ? ? a ? 0 。综上所 4
述, a 的取值范围为 ( ?

1 , 0) ? (0, ??) ------------4 分 4

(2)设点 M 、 N 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),0 ? x1 ? x2
·9 ·

则点 P 、 Q 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 1 2 , C1 点在 P 处的切线斜率为 k1 ? | x1 ? x2 ? , C2 点 x ? 2 x x ? x 1 2 2

Q 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

x ?x x? 1 2 2

?

a( x1 ? x2 ) ?b 2

假设 C1 点 P 处的切线与 C2 在点 Q 处的切线平行,则 k1=k2 即

a( x1 ? x2 ) 2 ? ? b, 则 x1 ? x2 2

2( x2 ? x1 ) a 2 ? ( x2 ? x12 ) ? b( x2 ? x1 ) x1 ? x2 2 ? a 2 a ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) ? y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 2 2

x2 ? 1) x2 x1 ? ln ? . x2 x1 1? x1 2(

设t ?

x2 2(t ? 1) , t ? 1① ,则 ln t ? 1? t x1

2(t ? 1) 1 4 (t ? 1) 2 , t ? 1. 则 r ' (t ) ? ? 令 r (t ) ? ln t ? ? 1? t t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2
因为 t ? 1 时, r ' (t ) ? 0 ,所以 r(t)在 (1, ??) 上单调递增.故 r (t ) ? r (1) ? 0 则 ln t ?

2(t ? 1) .这与①矛盾,假设不成立. 1? t

故 C1 在点 P 处的切线与 C2 在点 Q 处的切线不平行. ----------------12 分 22.(1)连接 ON , ?OND ? 90 , BN ?

1 OD ? OB ? ON , 2

?OBN 为等边三角形,则 CN ? OB ,
可证 ?DCN 与 ?DNO 相似,得 DN ? DB ? DO ;
2 2 又 DN ? DT ? DM ,则 DT ? DM ? DO ? DC -------5分

(2)由(1)知,

DT DO ? , ?DTO 与 ?DBM 相似,则 ?DOT ? ?DMC -------10分 DC DM
·10·

因为 ?BMT ?
2

1 ?BOT ? 15 ,所以 ?BMC ? 15 2
l : x ? y ? 10 ? 0 ????5 分

23.(1) (2)

C : ?x ? 1? ? y 2 ? 1

PQ ?

1 ? cos ? ? sin ? ? 10 2

?

?? ? 2 sin ? ? ? ? ? 11 4? ? 2

? PQ min ?
24. (1)

11 2 ? 1 ????10 分 2

1 1 1 1 b a (a ? b)( ? ) ? (2 ? ? ) ? 2 , 2 a b 2 a b ?m ? 2.
(2) f ( x) ? x ? t ? x ?

????5 分

1 1 ? t ? ? 2 ? m, t t

当且仅当 t ? ?1 时成立,此时 ? 1 ? x ? 1 ,

? 存在 x ? ?? 1,1? 使 f ( x) ? m 成立.

????10 分

·11·


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