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2015年高考数学真题复数、算法试题汇编


2015 年复数 2i [2015· 安徽理卷] 设 i 是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于( 1-i )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1.B [解析] 因为 2i(1+i) 2i+2i2 2i 2i = = =-1+i,所以 在复平面内所 2 1-i (1-i)(1+i) 1-i )

对应的点为(-1,1),位于第二象限,故选 B. [2015· 安徽文卷] 设 i 是虚数单位,则复数(1-i)· (1+2i)=(

A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i 1.C [解析] 由(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i 得 C 正确. [2015· 广东卷] 若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则 z=( ) A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.3-2i 2.A [解析] z=i(3-2i)=2+3i,∴z=2-3i. [2015· 广东卷] 已知 i 是虚数单位,则复数(1+i)2=( ) A.2i B.-2i C.2 D.-2 2.A [解析] (1+i)2=1+i2+2i=2i. [2015· 湖北卷] i 为虚数单位,i607 的共轭复数 为( ) .... A.i B.-i C.1 D.-1 × + 1.A [解析] i607=i151 4 3=i3=-i,其共轭复数为 i.故选 A. [2015· 江苏卷] 设复数 z 满足 z2=3+4i(i 是虚数单位),则 z 的模为________. 3. 5 [解析] 因为 z2=3+4i,所以|z2|=|z|2=|3+4i|= 9+16=5,所以|z|= 5. [2015· 全国卷文Ⅰ] 已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z=( ) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 3.C [解析] 设复数 z=a+bi(a,b∈R),代入(z-1)i=1+i 得(a-1+bi)i=1+i,即-
?-b=1, ? b+(a-1)i=1+i.根据复数相等可得? 得 a=2,b=-1,所以复数 z=2-i. ?a-1=1, ?

[2015· 全国卷理Ⅱ] 若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.B [解析] 因为(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,所以 4a=0,且 a2-4=-4, 解得 a=0,故选 B. 1+z [2015· 全国卷理Ⅰ] 设复数 z 满足 =i,则|z|=( ) 1-z

A.1 B. 2 C. 3 D.2 1.A 1+z -1+i [解析] 由 =i,得 z= =i,所以|z|=1. 1-z 1+i )

2+ai [2015· 全国卷文Ⅱ] 若 a 为实数,且 =3+i,则 a=( 1+i A.-4 B.-3 C.3 D.4 2.D =4.

2+ai [解析] 由 =3+i 得 2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,根据复数相等的意义知 a 1+i

(2015· 北京理卷复数 i(2-i)=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 1.A [解析] i(2-i)=2i-i2=1+2i,故选 A. [2015· 北京文卷] 复数 i(1+i)的实部为________. 9.-1 [解析] i(1+i)=i+i2=-1+i,所以答案是-1. [2015· 福建理卷] 若集合 A={i,i2,i3,i4}(i 是虚数单位),B={1,-1},则 A∩B 等于 ( ) A.{-1} B.{1} C.{1,-1} D.? 1.C [解析] A={i,-1,-i,1},所以 A∩B={1,-1}. 2015· 福建文卷若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i 是虚数单位),则 a,b 的值分别等 于( ) A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4 1.A [解析] (1+i)+(2-3i)=3-2i,所以 a=3,b=-2. (1-i)2 [2015· 湖南卷] 已知 =1+i(i 为虚数单位),则复数 z=( z A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 1.D (1-i)2 -2i [解析] 由题得 z= = =-i(1-i)=-1-i,故选 D. 1+i 1+i ) )

- z [2015· 山东卷] 若复数 z 满足 =i,其中 i 为虚数单位,则 z=( 1-i A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 2.A - z - [解析] ∵ =i ,∴ z =i(1-i)=1+i ,即 z=1-i. 1-i

(

11.K3、L4[2015· 陕西卷] 设复数 z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则 y≥x 的概率为 )

3 1 A. + 4 2π 1 1 C. - 2 π

1 1 B. + 2 π 1 1 D. - 4 2π

11.D [解析] 由|z|≤1 得(x-1)2+y2≤1,其表示圆心为(1,0),半径为 1 的圆及其内 部.在此区域内 y≥x 表示的区域为图中的阴影部分,其面积为圆(x-1)2+y2=1 面积的四分 π 1 - 4 2 1 1 π 1 之一减去一个等腰直角三角形的面积,即 - ,故 y≥x 的概率为 = - . 4 2 4 2π π

2 [2015· 四川理卷] 设 i 是虚数单位,则复数 i3- =( i A.-i B.-3i C.i D.3i 2 2.C [解析] i3- =-i+2i=i. i

)

1 [2015· 四川卷] 设 i 是虚数单位,则复数 i- =________. i 1 11.2i [解析] i- =i+i=2i. i [2015· 天津理卷] i 是虚数单位, 若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数, 则实数 a 的值为________. 9.-2 [解析] (1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.因为其为纯虚数,所以 a+2=0 且 1- 2a≠0,解得 a=-2. 1-2i [2015· 天津卷] i 是虚数单位,计算 的结果为________. 2+i 1-2i (1-2i)(2-i) -5i 9.-i [解析] = = =-i. 5 2+i (2+i)(2-i) [2015· 重庆理卷] 设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 3,则(a+bi)(a-bi)=________. 11.3 [解析] 由题知(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3. [2015· 重庆卷] 复数(1+2i)i 的实部为________. 11.-2 [解析] 因为(1+2i)i=-2+i,所以该复数的实部为-2.


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