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高中数学人教A版必修一同步辅导与检测3.1.2用二分法求方程的近似解_图文

函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解 1.根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求 相应方程的近似解. 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法. 基础梳理 1.对于在区间[a,b]上连续不断,且满足f(a)· f(b)<0的函 数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 叫做________. 例如:指出下列函数中哪些能用二分法求其近似零点,哪 些不能. ①y=2x+3;②y=x2+2x+1;③y=-3+lg x. 一分为二 二分法 ①③可以,②不行 2.图象在闭区间[a,b]上连续不断的单调函数f(x), 在(a,b)上至多有________. 例如:判断下列函数在(-2,2)上零点个数 ①y=-2x;②y=3x-10. 一个零点 ①一个 ②0个 3.函数零点的性质 0 ____的实数; (1)从“数”的角度看:即是使f(x)= x 轴 (2)从“形”的角度看:即是函数f(x)的图象与 ________ 交点的横坐标; x轴相切 ,则零点x0 (3)若函数f(x)的图象在x=x0处与__________ 通常称为不变号零点; x轴相交 ,则零点x0通 (4)若函数f(x)的图象在x=x0处与________ 常称为变号零点. 4.用二分法求函数的变号零点 二分法 求函数的近 二分法的条件f(a)· f(b)<0表明用________ 变号零点 . 似零点都是指__________ 5.给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步 骤: <0 ,给定精 (1)确定初始区间[a,b],验证f(a)· f(b)______ 确度ε; 的中点). a?b 中点x1 ;(将 (2)求区间(a,b)的__________ 称为区间[a,b] 2 (3)计算f(x1): ①若f(x1)=0,则x1是函数的零点; ②若f(a)· f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); ③若f(x1)· f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)). (4)判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近 似值a(或b);否则重复(2)~(4)步骤. 思考应用 1.用二分法求函数的零点近似值时应注意的问题有哪 些? 解析:首先要找到零点所在的一个区间[a,b],即满足 f(a)· f(b)<0;其次是区间[a,b]的长度尽量小;再次是函数值 f(a)、f(b)比较容易计算. 2.根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零 点与求相应方程根是等价的.若要求方程f(x)=g(x)的实根, 可研究哪个函数的零点? 解析:可构造函数F(x)=f(x)-g(x),研究函数F(x)的零 点, 函数F(x)的零点就是方程的f(x)=g(x)实根. 3.如何理解“精确度ε”的含义? 解析: 精确度ε是事先给定的任意一个正数.若函 数零点的存在区间[a,b]满足:|b-a|<ε,则区间[a,b]内的 任意一个实数都是满足要求的零点近似值. 自测自评 1.设f=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区 间(1,2)内近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0, f(1.25)< 0, 则方程的根所在的区间是( A ) A.(1.25,1.5) C.(1.5,2) B. (1,1.25) D.不能确定 2.根据下表,能判断方程f(x)=g(x)有实数解的区间是 ( B ) x f ( x) g(x) -1 -0.677 -0.530 0 3.011 3.451 1 5.432 4.890 2 5.980 5.241 D.(2,3) 3 7.651 6.892 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) 3.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时, 现已将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在 的区间为__________. 解析:令 f(x)=x3-2x-1, f(1)=-2<0,f(2)=3>0, 3? 5 ? f 2 =- <0. 8 ? ? 3 ? ? 故可断定该根所在的区间为 2,2 . ? ? 3 ? ? 答案: 2,2 ? ? 二分法概念的理解 下列函数图象与x轴均有交点,其中不 能用二分法求图中函数零点的是( ) 解析:利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数 值异号,在B中,不满足f(a)· f(b)<0,不能用二分法求零点, 由于A、C、D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求 零点. 答案:B 跟踪训练 1.下列函数中,能用二分法求零点的为( ) 解析:由二分法的使用条件可知,B正确. 答案:B 用二分法判断零点的存在区间 设f(x)=2x+x-2,用二分法求方程2x+x-2=0 在(0,1)内近似解的过程中得f(0)<0,f(1)>0,f(0.5)<0,则方程 的根落在区间( ) A.(0,0.5) C.不能确定 B.(0.5,1) D.都不正确 解析:用二分法求方程近似解的依据是零点存在定理,因 此在确定根情况前,先一定要判断函数图象是否在所给区间是 连续不断的,因函数f(x)=2x+x-2在(0,1)上是连续不断的,再 由题设条件知:f(0)<0,f(1)>0,故在(0,1)上有零点.又因为 f(0.5)<0,f(1)>0,故在(0.5,1)上有零点. 答案:B 跟踪训练 2.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时, 第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算:__________,这时可判 断x0∈________. 解析:由二分法知x0∈(0,0.5),这时f(0.25)=0.253+ 3×0.25-1<0,故x0∈(0.25,

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