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【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第10练 重应用-函数的实际应用 理


第 10 练

重应用——函数的实际应用

[题型分析·高考展望] 函数的实际应用也是高考常考题型,特别是基本函数模型的应用, 在选择题、填空题、解答题中都会出现,多以实际生活、常见的自然现象为背景,较新颖、 灵活,解决此类问题时,应从实际问题中分析涉及的数学知识,从而抽象出基本函数模型, 然后利用基本函数的性质或相应的数学方法,使问题得以解决. 常考题型精析 题型一 基本函数模型的应用 例 1 (1)(2014·北京)加工爆米花时, 爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食 用率”.在特定条件下, 可食用率 p 与加工时间 t(单位: 分钟)满足函数关系 p=at +bt+c(a、
2

b、c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加
工时间为( )

A.3.50 分钟 C.4.00 分钟

B.3.75 分钟 D.4.25 分钟

(2)为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了 把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本 y(元)与 月 处 理 量
3 2

x( 吨 ) 之 间 的 函 数 关 系 可 近 似 地 表 示 为

y =

1 ? ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144?, ?1 ?2x -200x+80 000,x∈[144,500], ?
2

且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产

品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. ①当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国 家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? ②该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
1

点评 解决实际应用问题关键在于读题,读题必须细心、耐心,从中分析出数学“元素”, 确定该问题涉及的数学模型,一般程序如下: 读题 建模 求解 反馈 ? ? ? . 文字语言 数学语言 数学应用 检验作答 变式训练 1 (1)(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满, 下表记录了该车相邻两次加 油时的情况. 加油时间 2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日 加油量(升) 12 48 加油时的累计里程(千米) 35 000 35 600

注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为( A.6 升 B.8 升 C.10 升 D.12 升 (2)2015 年“五一”期间某商人购进一批家电, 每台进价以按原价 a 扣去 20%, 他希望对货物 定一新价,以使每台按新价让利 25%销售后,仍可获得售价 20%的纯利,则此商人经营这种家 电的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系式是______________. 题型二 分段函数模型的应用 例 2 2015 年 4 月,某地自来水苯超标,当地自来水公司对水质检测后,决定在水中投放一 种药剂来净化水质,已知每投放质量为 m 的药剂后,经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y(毫 )

2

克/ 升)满足 y= mf(x),其中

x ? ?16+2,0<x≤4, f(x)=? x+14 ? ?2x-2,x>4,

2

当药剂在水中的浓度不低于

4(毫克/升)时称为有效净化; 当药剂在水中释放的浓度不低于 4(毫克/升)且不高于 10(毫克/ 升)时称为最佳净化. (1)如果投放的药剂质量为 m=4,试问自来水达到有效净化一共可持续几天? (2)如果投放药剂质量为 m, 为了使在 7 天(从投放药剂算起包括 7 天)之内的自来水达到最佳 净化,试确定应该投放的药剂质量 m 的最小值.

点评 函数有关应用题的常见类型及解题关键 (1)常见类型:与函数有关的应用题,经常涉及物价、 路程、产值、环保等实际问题,也可 涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.

3

(2)解题关键:解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不 等式和导数的有关知识加以综合解答. 变式训练 2 季节性服装当季节即将来临时, 价格呈上升趋势, 设某服装开始时定价为 10 元, 并且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元价格平稳销售;10 周后当季节即将过去时, 平均每周削价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系式; (2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系为 Q=-0.125(t-8) +12,t∈[0,16],t∈N, 试问该服装第几周每件销售利润最大?最大值是多少?(注:每件销售利润=售价-进价)
2

高考题型精练 1.(2015·北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程.下图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多 C.甲车以 80 千米/时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 2.(2014·湖南)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p, 第二年的增长率为 q, 则该市这两年生产总值的年平均增长率为( A. )

p+q
2

B.

?p+1??q+1?-1 2

C. pq

D. ?p+1??q+1?-1

3.(2014·陕西)如图, 某飞行器在 4 千米高空水平飞行, 从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处
4

开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为(

)

1 3 3 A.y= x - x 125 5 3 3 C.y= x -x 125

2 3 4 B.y= x - x 125 5 3 3 1 D.y=- x + x 125 5

4.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物 的繁殖数量 y(只)与引入时间 x(年)的关系为 y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数 量为 100 只,则第 7 年它们发展到( A.300 只 C.600 只 ) B.400 只 D.700 只

5.如果在今后若干年内,我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长 9%的水平,那么要达 到国民经济生产总值比 1995 年翻两番的年份大约是(lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1,lg 109 =2.037 4,lg 0.09=-2.954 3)( A.2015 年 C.2016 年 ) B.2011 年 D.2008 年
2

6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单元:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x 和 L2 =2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润 为( ) B.45.6 万元 D.45.51 万元
3

A.45.606 万元 C.45.56 万元

7.(2014·福建)要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造 价是每平方米 20 元, 侧面造价是每平方米 10 元, 则该容器的最低总造价是________.(单位: 元) 8.某化工厂打算投入一条新的生产线, 但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线 1 连续生产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过 150 吨,将会给 2 环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年. 9.一个容器装有细沙 a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余
5
3

的细沙量为 y=ae

-bt

(cm ),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过______ min,

3

容器中的沙子只有开始时的八分之一. 10.(2015·四川)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系

y=ekx+b(e=2.718?为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0

℃的保鲜时间是 192

小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小时. 11.为了保护学生的视力,课桌椅子的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课 桌的高度为 y cm,椅子的高度为 x cm,则 y 应是 x 的一次函数,下表列出了两套符合条件的 课桌椅的高度: 第一套 椅子高度 x(cm) 课桌高度 y(cm) 40.0 75.0 第二套 37.0 70.2

(1)请你确定 y 与 x 的函数关系式(不必写出 x 的取值范围). (2)现有一把高 42.0 cm 的椅子和一张高 78.2 cm 的课桌,它们是否配套?为什么?

12.某企业实行裁员增效,已知现有员工 a 人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1 万元,据 评估在生产条件不变的情况下,每裁员一人,则留岗员工每人每年可多创纯收益 0.01 万元, 但每年需付给每位下岗工人 0.4 万元的生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员 3 工的 ,设该企业裁员 x 人后年纯收益为 y 万元. 4 (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出 x 的取值范围; (2)当 140<a≤280 时,该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益?(注:在保证能取得 最大经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁员)

6

答案精析

第 10 练

重应用——函数的实际应用

常考题型精析 例 1 (1)B [根据图表,把(t,p)的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入函数关 系式,联立方程组得 0.7=9a+3b+c, ? ? ?0.8=16a+4b+c, ? ?0.5=25a+5b+c,
?7a+b=0.1, ? 消去 c 化简得? ? ?9a+b=-0.3,

a=-0.2, ? ? 解得?b=1.5, ? ?c=-2.0.
1 2 15 225 45 1 15 2 13 15 2 所以 p=-0.2t +1.5t-2.0=- (t - t+ )+ -2=- (t- ) + , 所以当 t= 5 2 16 16 5 4 16 4 =3.75 时,p 取得最大值,即最佳加工时间为 3.75 分钟.] (2)解 ①当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S,

?1 2 ? 则 S=200x-? x -200x+80 000? ?2 ?
1 2 1 2 =- x +400x-80 000=- (x-400) , 2 2 所以当 x∈[200,300]时,S<0,因此该单位不会获利. 当 x=300 时,S 取得最大值-5 000, 所以国家每月至少补贴 5 000 元才能使该项目不亏损. ②由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为 1 x -80x+5 040,x∈[120,144?. ? y ?3 = x ?1 80 000 ? ?2x+ x -200,x∈[144,500].
2

y 1 2 (ⅰ)当 x∈[120,144)时, = x -80x+5 040 x 3
1 2 = (x-120) +240, 3 所以当 x=120 时, 取得最小值 240.

y x

7

(ⅱ)当 x∈[144,500]时,

y 1 80 000 = x+ -200≥2 x 2 x

1 80 000 x× -200=200, 2 x

1 80 000 y 当且仅当 x= ,即 x=400 时, 取得最小值 200. 2 x x 因为 200<240,所以当每月的处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低. 变式训练 1 (1)B (2)y= x (x∈N ) 3 解析 (1)由表知:汽车行驶路程为 35 600-35 000=600 千米,耗油量为 48 升,∴每 100 千米耗油量 8 升. (2)设每台新价为 b,则售价 b(1-25%), 让利 b×25%,由于原价为 a,则进价为 a(1-20%), 4 根据题意, 得每件家电利润为 b×(1-25%)×20%=b×(1-25%)-a(1-20%), 化简得 b= a. 3 4 a * ∴y=b×25%·x= a×25%×x= x (x∈N ), 3 3 即 y= x(x∈N ). 3 例 2 解 (1)由题意,得当药剂质量 m=4 时,

a

*

a

*

x ? ? 4 +8,0<x≤4, y=? 2x+28 ? x-1 ,x>4. ?
当 0<x≤4 时, +8≥4,显然符合题意. 4 2x+28 当 x>4 时, ≥4,解得 4<x≤16. x-1 综上 0<x≤16. 所以自来水达到有效净化一共可持续 16 天.

2

x2

? ? 16 +2m,0<x≤4, (2)由 y=m·f(x)=? m?x+14? ? 2x-2 ,x>4, ?
当 0<x≤4 时,y=

mx2



mx2
16

+2m 在区间(0,4]上单调递增,即 2m<y≤3m;

-30m 当 x>4 时,y′= 2<0, ?2x-2?

8

所以函数在区间(4,7]上单调递减, 7m 7m 即 ≤y<3m,综上知, ≤y≤3m, 4 4 为使 4≤y≤10 恒成立,只要 16 10 即 ≤m≤ . 7 3 16 所以应该投放的药剂量 m 的最小值为 . 7 10+2t,t∈[0,5],t∈N, ? ? 变式训练 2 解 (1)P=?20,t∈?5,10],t∈N, ? ?40-2t,t∈?10,16],t∈N. (2)设该服装每件销售利润为 L 元. 由题意,得 10+2t+0.125?t-8? -12,t∈[0,5],t∈N, ? ? 2 L=?20+0.125?t-8? -12,t∈?5,10],t∈N, ? ?40-2t+0.125?t-8?2-12,t∈?10,16],t∈N 0.125t +6,t∈[0,5],t∈N, ? ? 2 =?0.125t -2t+16,t∈?5,10],t∈N, ? ?0.125t2-4t+36,t∈?10,16],t∈N. ①当 t∈[0,5]时,Lmax=9.125,此时 t=5; ②当 t∈(5,10]时,Lmax=8.5,此时 t=6 或 10; ③当 t∈(10,16]时,Lmax=7.125,此时 t=11; ∴第五周每件销售利润最大,最大值为 9.125 元. 高考题型精练 1.D [根据图象知消耗 1 升汽油,乙车最多行驶里程大于 5 千米,故选项 A 错;以相同速度 行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项 B 错;甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升,行驶 1 小时,里程为 80 千 米,消耗 8 升汽油,故选项 C 错;最高限速 80 千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项 D 对.] 2.D [设年平均增长率为 x,则(1+x) =(1+p)(1+q), ∴x= ?1+p??1+q?-1.] 3.A [函数在[-5,5]上为减函数,所以在[-5,5]上 y′≤0,经检验只有 A 符合.故选 A.] 4.A [将 x=1,y=100 代入 y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得 a=100,所以 x =7 时,y=100log2(7+1)=300.]
9
2 2 2

7m ≥4 且 3m≤10 即可, 4

2lg 2 x 5.B [设 1995 年生产总值为 a,经过 x 年翻两番,则 a·(1+9%) =4a.∴x= ≈16.] lg 1.09 6.B [依题意可设甲销售 x 辆,则乙销售(15-x)辆,所以总利润 S=5.06x-0.15x +2(15 -x)=-0.15x +3.06x+30 (x≥0),所以当 x=10 时,S 有最大值为 45.6(万元).] 7.160 4 解析 设该长方体容器的长为 x m,则宽为 m.又设该容器的造价为 y 元,则 y=20×4+2(x
2 2

x

4 4 4 + )×10,即 y=80+20(x+ )(x>0).因为 x+ ≥2

x

x

x

x· =4(当且仅当 x= ,即 x=2 时 x x

4

4

取“=”),所以 ymin=80+20×4=160(元). 8.7 1 * 解析 设第 n(n∈N )年的年产量为 an,则 a1= ×1×2×3=3;当 n≥2 时,an=f(n)-f(n 2 1 1 2 2 - 1) = n(n +1)·(2n + 1)- n(n - 1)(2n - 1)= 3n .又 a1 = 3 也符合 an =3n ,所以 an= 2 2 3n (n∈N ).令 an≤150,即 3n ≤150,解得-5 2≤n≤5 2,所以 1≤n≤7,n∈N ,故最长 的生产期限为 7 年. 9.16 解析 当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=ae ∴e
-8b -8b 2 * 2 *

1 = a, 2

1 = ,容器中的沙子只有开始时的八分之一时, 2
-bt

即 y=ae

1 1 -bt -8b 3 -24b = a,e = =(e ) =e , 8 8

则 t=24,所以再经过 16 min. 10.24 解析
?e =192, ? 由题意得? 22k+b ?e =48, ?
b

48 1 1 22k 11k ∴e = = , ∴e = , ∴x=33 时, y=e33k+b=(e11k)3·eb 192 4 2

?1?3 b 1 =? ? ·e = ×192=24. 8 ?2?
11.解 (1)根据题意,课桌高度 y 是椅子高度 x 的一次函数,故可设函数关系为 y=kx+b. 将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式,
? ?40k+b=75, 得? ?37k+b=70.2, ?

∴?

? ?k=1.6, ?b=11. ?

∴y 与 x 的函数关系式是 y=1.6x+11. (2)把 x=42 代入上述函数关系式中,

10

有 y=1.6×42+11=78.2. ∴给出的这套课桌椅是配套的. 12.解 (1)由题意可知,

y=(a-x)(1+0.01x)-0.4x
1 2 ? a 140? =- x +? - ?x+a. 100 ?100 100? 3 1 ∵a-x≥ a,∴x≤ a, 4 4 即 x 的取值范围是?0, ?中的自然数. ? 4? (2)∵y=- 1 ? ?a 1 ?a ?? ? x-? -70??2+ ? -70?2+a, ? 2 100? ? ?? 100?2 ?

?

a?

且 140<a≤280,∴当 a 为偶数时,x= -70,y 取最大值. 2 当 a 为奇数时,x=

a

a-1
2

-70,y 取最大值(∵尽可能少裁人,∴舍去 x=

a+1
2

-70).

? ? ∴当员工人数为偶数时,裁员? -70?人,才能获得最大的经济效益; ?2 ?
a
当员工人数为奇数时,裁员?

?a-1-70?人,才能获得最大的经济效益. ? ? 2 ?

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