当前位置:首页 >> 数学 >>

专题3


专题3 规律探究问题

规律探究性问题指的是给出一组具有某种特定关
系的数、式、图形,题目的情景给出有限的几项,

或是给出与图形有关的操作、变化过程,要求通
过观察、分析、推理,探求其中所蕴涵的规律, 进而归纳或猜想出共同特征,或者发现变化的趋 势,在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、 试验、证明等数学活动,以加深学生对相关数学 知识的理解,认识数学知识之间的联系.

解题方法和步骤是: 1.通过对几个特例的分析,利用特殊值(特殊 点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等), 从特殊 到一般,寻找规律并且归纳;

2.猜想符合规律的一般性结论;
3.验证或说明结论是否正确.

数字规律探究

1 3 5 7 9 1. (2014· 毕节)观察下列一组数: ?, 4, 9, 16, 25, 36, 它们是按一定规律排列的 , 那么这一组数的第 n 个数 2n-1 是 . 2
(n+1)

2.(2014·株洲)在平面直角坐标系中,孔明做走棋的游戏,

其走法是:棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向
右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位… 依此类推,第n步的走法是:当n能被3整除时,则向上走1个 单位;当n被3除,余数为1时,则向右走1个单位;当n被3除, 余数为2时,则向右走2个单位.当走完第100步时,棋子所处

位置的坐标是(
A.(66,34) C.(100,33)

) C
B.(67,33) D.(99,34)

【解析】第1题观察已知一组数发现:分子为从1开
始的连续奇数,分母为从2开始的连续正整数的平

方,写出第n个数即可;第2题根据走法,每3步为
一个循环组依次循环,且一个循环组内向右3个单

位,向上1个单位,用100除以3,然后根据商和余
数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可.

3.(2014·湘潭)如图,按此规律,第6行最后一个 数字是 16 ,第
1 2 3 4

672 行最后一个数2014.

3 4 5

4 5 6

6 7

7 8

9

10

4.(2014· 烟台)将一组数, 3, 6,3,2 3, 15,?, 3 10,按下面的方式进行排列: 3, 6,3,2 3, 15; 3 2, 21,2 6,3 3, 30; ? 若 2 3的位置记为(1,4),2 6的位置记为(2,3),则这 组数中最大的有理数的位置记为( C ) A.(5,2) B.(5,3) C.(6,2) D.(6,5)

解答数字规律问题的关键是仔细分析数表中或行 列中前后各数之间的关系,从而发现其中所蕴涵 的规律,利用规律解题.

数式规律探究
1.(2014· 云南)观察规律并填空: 1 13 3 (1- 2)= ·= ; 2 22 4 1 1 132 4 14 2 (1- 2)(1- 2)= ··· = ·= ; 2 3 223 3 23 3 1 1 1 132435 15 5 (1- 2)(1- 2)(1- 2)= ·····= ·= ; 2 3 4 223344 24 8 1 1 1 1 (1- 2)(1- 2)(1- 2)(1- 2) 2 3 4 5 13243546 16 3 ······ · =2· 2 3 3 4 4 5 5=2 5=5; ? n+1 1 1 1 1 1 2n (1- 2)(1- 2)(1- 2)(1- 2)?(1- 2)= 2 3 4 5 n 表示,n 是正整数,且 n≥2)

.(用含 n 的代数式

2.(2014· 安徽)观察下列关于自然数的等式: 32-4×12=5 ① 52-4×22=9 ② 72-4×32=13 ③ ? 根据上述规律解决下列问题: 4 2=____ 17 ; (1)完成第四个等式:92-4×____ (2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示), 并验证 其正确性.
解: (1)92-4×42=17 (2)第 n 个等式为: (2n+1)2-4n2 =2(2n+1)-1,左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2= 4n+1,右边=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1,左边=右 边,∴(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1

3.(2014· 白银)观察下列各式: 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 ? 3 3 3 3 552 . 1 2 3 10 猜想 + + +?+ =____

4.(2014· 南充)一列数 a1,a2,a3,?an,其中 a1=-1, 1 1 1 a2= a= ? a= 求 a1+a2+a3 1-a1, 3 1-a2, , n 1-an-1 , +?+a2014.
1 1 1 1 a1=-1,a2= = ,a3= =2,a4 = =- 2 1-a1 1-a2 1-a3 1,…,由此可以看出三个数字一循环,2014÷3=671… 1 1,则 a1 +a2 +a3 +…+a2014 =671×(-1+ +2)-1= 2 1005.5

5.(2014·兰州)为了求1+2+22+23+…+2100的值, 可令S=1+2+22+23+…+2100,则2S=2+22+23 +24+…+2101,因此2S-S=2101-1,所以S=2101 -1,即1+2+22+23+…+2100=2101-1,仿照以 上推理计算1+3+32+33+…+32014的值.
设 M=1+3+32+33+…+32014 ①,①式两边都乘以 3,得 3M=3+32+33+…+32015 ②,②-①得 2M=32015-1,两 32015-1 边都除以 2,得 M= 2

解答数式规律问题的常用方法是: (1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式; (2)按规律顺序排列这些式子; (3)将发现的规律用代数式或等式表示出来;

(4)用题中所给数据验证规律的正确性.

循环规律探究

1.在直角坐标系中,已知点A(3,2),作点A关于y轴

的对称点为A1, 作点A1关于原点的对称点为A2, 作点A2
关于x轴的对称点为A3,作点A3关于y轴的对称点为

A4,……按此规律,则点A8的坐标为 (3,-2)



2.(2014·梅州)如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方 向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射 角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2 次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n次碰到矩形的边时的点

为Pn.

(1)点P3的坐标是

(8, 3)



(2)求点P2014的坐标. 经过6次反弹后动点回到出发点(0,3), ∵2014÷6=335…4,

∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的
第4次反弹,点P2014的坐标为(5,0)

3.(2014·绥化)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1, 1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),把一根长为 2014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的 一端固定在A处,并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在

四边形ABCD的边上,则细线的另一端所在位置的点的
坐标是

(-1,-1) .

4.(2014·钦州)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏,

游戏规则为:甲报1,乙报2,丙报3,再甲报4,乙
报5,丙报6,……依次循环反复下去,当报出的数

为2014时游戏结束,若报出的数是偶数,则该同学
得1分.当报数结束时甲同学的得分是 __

分. 336

根据前面所给的一些特殊数据,进行排序,找到循环 的规律.

图形特征规律探究
1.(2014·珠海)如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,

OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作
等腰Rt△OA2A3,……求OA6的长度.
解:∵△OAA1 为等腰直角三角形, OA=1,∴AA1=OA=1, OA1= 2OA= 2;……依此类推, OA6=( 2)6OA=8

2.(2014·资阳)如图,以O(0,0),A(2,0)为顶点作正 △OAP1,以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2,再 以点P2和线段P2B的中点C为顶点作正△P2CP3,……如此继续 下去,则第六个正三角形中,不在第五个正三角形上的顶点

P6的坐标是多少?

【解析】根据O(0,0),A(2,0)为顶点作△OAP1,再以P1 和P1A的中点B为顶点作△P1BP2,再以P2和P2B的中点C为顶 点作△P2CP3,……如此继续下去,结合图形求出点P6的坐 标.
解:由题意可得,每一个正三角形的边长都是上个三 1 1 角形的边长的 ,第六个正三角形的边长是 ,故顶点 P6 2 16 63 3 3 5 3 的横坐标是 ,P5 纵坐标是 3- - = ,P6 的纵坐 32 4 8 8 5 3 3 21 3 63 21 3 标为 + = ,故 P6( , ) 8 32 32 32 32

3.(2014·孝感)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1, A3B3C3C2,…按如图的方式放置.点A1,A2,A3,…和 点C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,则点B6的

坐标是

(63,32)



4.(2014· 泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO 绕点 A 顺时针旋转到△AB1C1 的位置,点 B,O 分别落在点 B1,C1 处,点 B1 在 x 轴上,再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到 △A1B1C2 的位置,点 C2 在 x 轴上,将△A1B1C2 绕点 C2 顺时 针旋转到△A2B2C2 的位置, 点 A2 在 x 轴上, 依次进行下去?? 5 若点 A(3,0),B(0,4).

(1)求B4的横坐标;
5 13 5 ∵AO= ,BO=4,∴AB= ,∴OA+AB1+B1C2= 3 3 3 13 + +4=10,∴B2 的横坐标为 10,B4 的横坐标为 2× 3 10=20

(2)点B2014的横坐标.
2014 点 B2014 的横坐标为 ×10=10070 2

5. (2014· 绍兴)如图, 边长为 n 的正方形 OABC 的边 OA, OC 在坐标轴上,点 A1,A2,?,An-1 为 OA 的 n 等分 点,点 B1,B2,?,Bn-1 为 CB 的 n 等分点,连结 A1B1, n-2 A2B2, An-1Bn-1, ?, 分别交曲线 y= x (x>0)于点 C1, C2,?,Cn-1.若 C15B15=16C15A15,求 n 的值.(n 为正 整数)

∵正方形 OABC 的边长为 n,点 A1,A2,?, An-1 为 OA 的 n 等分点,点 B1,B2,?,Bn-1 为 CB 的 n 等分点,∴OA15=15,CB15=15,∵C15B15= n-2 n 16C15A15,∴C15(15, ),∵点 C15 在曲线 y= x 17 x ( > 0)上, n ∴15×17=n-2,解得 n=17

在规律探索题中,往往把有几何背景的问题如三 角形、特殊四边形、圆和图形的变换等作为素材, 不是简单的数数来探究规律,而是要利用几何的 性质、定理通过计算来探索规律.

数形结合规律探究

1.(2014· 武汉)观察下列一组图形中点的个数,其中第 1 个图中共有 4 个点, 第 2 个图中共有 10 个点, 第 3 个图 中共有 19 个点, ……按此规律第 5 个图中共有点的个数 是( B )

A.31

B.46

C.51

D.66

2.(2014·娄底)如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个
▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成, 第4个图案由13个▲组成,……则第n(n为正整数)个图案由 (3n+1) 个▲组成.

【解析】第1题由图可知:其中第1个图中共有1+1×3=4个 点,第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点,第3个图中共

有1+1×3+2×3+3×3=19个点,……由此规律得出第n个
图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点;第2题仔细观察图 形,发现:第一个图形有3×1+1=4个三角形;第二个图形 有3×2+1=7个三角形;第三个图形有3×3+1=10个三角 形;得出三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之 间的关系,利用发现的规律求解即可.

3.(2013·乌兰察布)将一些半径相同的小圆按如图所

示的规律摆放,请仔细观察,第n个图形有
n(n+1)+4或n2+n+4 个小圆.(用含n的代数

式表示)

4.如图,下面是按照一定规律画出的 “树形图”,经观察可 以发现:图 A2 比图 A1 多出 2 个“树枝”, 图 A3 比图 A2 多 出 4 个“树枝” , 图 A4 比图 A3 多出 8 个“树枝”,??照 此规律,图 A6 比图 A2 多出“树枝”( C )

A.28 个

B.56 个

C.60 个

D.124 个

5.(2014·德阳)如图,直线a∥b,△ABC是等边三角形,点A 在直线a上,边BC在直线b上,把△ABC沿BC方向平移BC的 一半得到△A′B′C′(如图①);继续以上的平移得到图②,再继

续以上的平移得到图③,……则在第100个图形中等边三角形
的个数是 . 400

解决这类问题的关键是,仔细分析前后两个图形中基 础图案的数量关系,从而发现其数字变化规律.即先 根据图形写出数字规律,然后将每一个数字改写为等 式,再比较各等式的相同点和不同点,分析不同点(数

字)与等式序号之间的关系,从而得到一般规律.

几何规律探究

1.(2014·宜宾)如图,将n个边长都为2的正方形按如
n- 1 .

图所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形的中心,

则这n个正方形重叠部分的面积之是

2.(2014·遂宁)如图,在△ABC中,点A1,B1,C1

分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是
B1C1,A1C1,A1B1的中点,依此类推……若
1 △ABC的周长为1,则△AnBnCn的周长为 2n

__.

【解析】第 1 题根据题意可得,阴影部分的面积是正方 1 形面积的4,且两个正方形可得到一个阴影部分,则 n 个这样 的正方形重叠部分即为(n-1)个阴影部分的和;第 2 题由于 A1,B1,C1 分别是△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,就可以 1 得出△A1B1C1∽△ABC,且相似比为2,△A2B2C2∽△ABC 的 1 1 相似比为22,依此类推△AnBnCn∽△ABC 的相似比为2n.

3.(2014·荆门)如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B =CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,

得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,
使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,……按此做法继续下去, 则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是( 1n A.(2) ·75° 1 n-1 C.(2) ·75° ) C

1 n-1 B.(2) ·65° 1n D.(2) ·85°

根据各图形的边、角关系,寻求其规律.

函数规律探究
1.(2014·邵阳)如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,
现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度 至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从 C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个 单位长度至E点,……依此类推,这样至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于41. .

【解析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律(左减 右加),分别求出点所对应的数,进而求出点到原点 的距离;然后对奇数项、偶数项分别探究,找出其 中的规律(相邻两数都相差3),写出表达式;然后根

据点到原点的距离不小于41建立不等式,就可解决
问题.

2.(2014·德州)如图,抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐

标、纵坐标都为整数的点)依次为A1,A2,A3,…,An,….将抛物线y
=x2沿直线l:y=x向上平移,得一系列抛物线,且满足下列条件: ①抛物线的顶点M1,M2,M3,…,Mn,…都在直线l:

y=x上;
②抛物线依次经过点A1,A2,A3,…,An,…. 求顶点M2014的坐标.

(4027,4027)


相关文章:
专题3.doc
专题3 - 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 专题 3:正
专题三_图文.ppt
专题三 - 专题三 代词 一、人称代词 人称代词不仅指人, 也可以指物, 有人称
专题三.doc
专题三 - 专题三:机械效率 邢台县皇寺中学 李萍 教学目标: 1、 知道有用功
专题三.doc
专题三 - 泞湖中学九年级历史教案 历史专题复习 专题三:中国共产党领导下的中国
专题三.doc
专题三 - 专题三 由图像求三角函数的解析式 ) 1.若函数 f ? x ? ?
专题3_图文.ppt
专题3 - 第一部分 词法篇动词 1 核心考点精析 情态动词和虚拟动词在高考
专题三_图文.doc
专题三 - 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 第三单元 关
专题三.doc
专题三 - 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 第三单元 融
专题3_图文.ppt
专题3 - 中国青年教师,素养大赛一等奖课件,教学设计,高考专题复习,中考真题及
专题3_图文.ppt
专题3 -... 专题3_理化生_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 专题3_理化生_高中教育_教育专区。 文档贡献者 YSX68122508 贡献于2015-0...
专题3.doc
专题3_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。此系列为步步高考前三个月二轮复习
专题三_图文.ppt
专题三 - 八年级下册 专题三词语运用 专题三 1.下列句子中加点的词语使用不恰
专题三._图文.ppt
专题三. - 专题三.,增员专题,2018年专题党课讲稿,专题组织生话会,专题组
小专题3_图文.ppt
专题3 - 小专题3 电路的识别和设计 考点1 命题角度 电路的识别 1.电路
专题3.ppt
专题3 -... 专题3_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 专题3_数学_高中教育_教育专区。 文档贡献者 yanlilucky 贡献于2015-04-15...
重点专题3_图文.doc
重点专题3 - 专题九、列强侵华 列强的侵略与中国人民的抗争:近代列强的的侵略(
专题三_图文.ppt
专题三 - 现代史历史分期 新中国成立 三大改造完成,社会主 义制度确立 转折:
专题三.doc
专题三 - 专题三 记叙文阅读 分类突破训练 第 1 类 温暖真情 一、(201
专题3.doc
专题3 - 1. (2012 年天津卷, 10)The secretary ar
专题3_图文.ppt
专题3 - 高考总复习 物理 高考总复习 物理 导学目标 1.掌握动力学中图
更多相关标签: