当前位置:首页 >> 数学 >>

三元一次方程组典型例题讲解 2

中小学 1 对 1 课外辅导专家

泉州龙文教育
授课对象 授课时间 课 型 授课教师 授课题目 使用教具 三元一次方程组典型例题

教学目标 教学重点和难点 参考教材

会解三元一次方程组
能熟练的选择适当的方法解三元一次方程组 教材
教学流程及授课详案
时间分配及备注

一、三元一次方程组之特殊型
① ? x ? y ? z ? 12 ? 例 1:解方程组 ? x ? 2 y ? 5 z ? 22 ② ?x ? 4 y ③ ?

分析:方程③是关于 x 的表达式,通过代入消元法可直接转化为二元一 次方程组,因此确定“消 x”的目标。 解法 1:代入法,消 x.

?5 y ? z ? 12 ④ 把③分别代入①、②得 ? ?6 y ? 5z ? 22 ⑤
? y ? 2, 解得 ? ? z ? 2.
? x ? 8, ? 把 y=2 代入③,得 x=8.∴ ? y ? 2, ? z ? 2. ?

是原方程组的解.

根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为: 类型一:有表达式,用代入法型. 针对上例进而分析,方程组中的方程③里缺 z,因此利用①、②消 z,也 能达到消元构成二元一次方程组的目的。 解法 2:消 z. ①×5 得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得 4x+3y=38 ⑤

龙文教育〃教育是一项良心工程

中小学 1 对 1 课外辅导专家

③ ?x ? 4 y 由③、⑤得 ? ?4 x ? 3 y ? 38 ⑤
把 x=8,y=2 代入①得 z=2.
? x ? 8, ? ∴ ? y ? 2, ? z ? 2. ?

? x ? 8, 解得 ? ? y ? 2.

是原方程组的解.

根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为: 类型二:缺某元,消某元型.
?2 x ? y ? z ? 15 ? 例 2:解方程组 ? x ? 2 y ? z ? 16 ? x ? y ? 2 z ? 17 ? ① ② ③

分析: 通过观察发现每个方程未知项的系数和相等; 每一个未知数的系 数之和也相等, 即系数和相等。 具备这种特征的方程组, 我们给它定义为 “轮 换方程组” ,可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。 解:由①+②+③得 4x+4y+4z=48, 即 x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3, ②-④得 y=4, ③-④得 z=5,
? x ? 3, ? ∴ ? y ? 4, ? z ? 5. ?

是原方程组的解.

? x ? y ? 20, ? 典型例题举例:解方程组 ? y ? z ? 19, ? x ? z ? 21. ?

① ② ③

解:由①+②+③得 2(x+y+z)=60 , 即 x+y+z=30 .④ ④-①得 z=10, ④-②得 y=11, ④-③得 x=9,

2

中小学 1 对 1 课外辅导专家

? x ? 9, ? ∴ ? y ? 11, 是原方程组的解. ? z ? 10. ?

根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为: 类型三:轮换方程组,求和作差型.

?x : y : z ? 1 : 2 : 7 例 3:解方程组 ? ?2 x ? y ? 3z ? 21

① ②

分析 1:观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系,根据以往的 经验,学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解,即由 x:y=1:2 得 y=2x;由 x:z=1:7 得 z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式,

? y ? 2 x, ① ? 即 ? z ? 7 x, ② ?2 x ? y ? 3z ? 21. ?
代入法”求解。

,根据方程组的特点,学生可选用“有表达式,用



解法 1:由①得 y=2x,z=7x ,并代入②,得 x=1. 把 x=1,代入 y=2x,得 y=2; 把 x=1,代入 z=7x,得 z=7.
? x ? 1, ? ∴ ? y ? 2, 是原方程组的解. ? z ? 7. ?

分析 2:由以往知识可知遇比例式时,可设一份为参数 k,因此由方程 ①x:y:z=1:2:7,可设为 x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的,并把 三元通过设参数的形式转化为一元,可谓一举多得。 解法 2:由①设 x=k,y=2k,z=7k,并代入②,得 k=1. 把 k=1,代入 x=k,得 x=1; 把 k=1,代入 y=2k,得 y=2; 把 k=1,代入 z=7k,得 z=7.
? x ? 1, ? ∴ ? y ? 2, 是原方程组的解. ? z ? 7. ?

3

中小学 1 对 1 课外辅导专家

? x ? y ? z ? 111 ① ? ② 典型例题举例:解方程组 ? y : x ? 3 : 2 ?y : z ? 5 : 4 ③ ?

分析 1:观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系, 由例 3 的解题经验, 学生易选择将比例式化成关系式求解, 即由②得 x = 由③得 z=
4 y .从而利用代入法求解。 5 2 y; 3

解法 1:略. 分析 2:受例 3 解法 2 的启发,有的学生想使用设参数的方法求解,但 如何将②、③转化为 x:y:z 的形式呢?通过观察发现②、③中都有 y 项,所 以把它作为桥梁,先确定未知项 y 比值的最小公倍数为 15,由②×5 得 y:x=15:10 ,由③×3 得 y:z=15:12,于是得到 x:y:z=10:15:12。 解法 2:由②、③得 x:y:z=10:15:12. 设 x=10k,y=15k,z=12k,并代入①,得 k=3. 把 k=3,代入 x=10k,得 x=30; 把 k=3,代入 y=15k,得 y=45; 把 k=3,代入 z=12k,得 z=36.
? x ? 30, ? ∴ ? y ? 45, 是原方程组的解. ? z ? 36. ?

根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为: 类型四:遇比例式找关系式,遇比设元型. 二、三元一次方程组之一般型
?3x ? y ? z ? 4, ? 例 4:解方程组 ? x ? y ? z ? 6, ?2 x ? 3 y ? z ? 12. ? ① ② ③

分析:对于一般形式的三元一次方程组的求解,应该认清两点:一是确 立消元目标——消哪个未知项;二是在消元的过程中三个方程式如何正确的 使用,怎么才能做到“目标明确,消元不乱” ,为此归纳出: (一) 消元的选择 1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元;

4

中小学 1 对 1 课外辅导专家

2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。 (二) 方程式的选择 采取用不同符号标明所用方程,体现出两次消元的过程选择。
?3 x ? y ? z ? 4 ? 解: ? x ? y ? z ? 6 ?2 x ? 3 y ? z ? 12 ? ① ? ② ? ③ ? ?

(明确消 z,并在方程组中体现出来——画线) ①+③ 得 5x+2y=16, ②+③ 得 3x+4y=18, ④ ⑤ (体现第一次使用在①③后做记号√) (体现第二次使用在②③后做不同记号△)

?5 x ? 2 y ? 16, 由④、⑤得 ? ?3x ? 4 y ? 18.
? x ? 2, 解得 ? ? y ? 3.

④ ⑤

把 x=2 ,y=3 代人②,得 z=1.
? x ? 2, ? ∴ ? y ? 3, 是原方程组的解. ? z ? 1. ?
?2 x ? 4 y ? 3 z ? 9, ??? ? ? 典型例题举例:解方程组 ?3 x ? 2 y ? 5 z ? 11, ??? ? ?5 x ? 6 y ? 7 z ? 13. ??? ? ① ? ② ? ③ ? ?

分析:通过比较发现未知项 y 的系数的最小公倍数最小,因此确定消 y。 以方程②作为桥梁使用,达到消元求解的目的。 解:②×2 得 6x-4y+10z=22, ④ 2x +4y+ 3z=9, ①+④ 得 8x ①

+13z=31 . ⑤

②×3 得 9x-6y+15z=33 ,⑥ 5x-6y+7z =13, ③ ⑥-③得 4x x +8z =20 . +2z=5 . ⑦

5

中小学 1 对 1 课外辅导专家

?8 x ? 13z ? 31, 由⑤、⑦得 ? ? x ? 2 z ? 5.
? x ? ?1, 解得 ? ? z ? 3.
把 x=-1 ,z=3 代人① ,得 y ?

⑤ ⑦

1 . 2

? x ? ?1, ? 1 ? ∴ ? y ? , 是原方程组的解. 2 ? ? z ? 3. ?
三、三元一次方程组的相关变式题型
x ? 2 y ? z 2 x ? y ? 3z 3x ? 2 y ? 4 z ? ?? ?1 9 10 3 例五、解方程组

解:原方程组可化为 由(1)+(3) ,得 4 x ? 3z ? 6 (4) 由(1)+(2) ? 2 ,得 5 x ? 7 z ? 29 (5)

? x ? 2 y ? z ? 9(1) ? ?2 x ? y ? 3z ? 10(2) ?3 x ? 2 y ? 4 z ? ?3(3) ?

?4 x ? 3z ? 6(4) ? 由(4)和(5)组成方程组,得 ?5x ? 7 z ? 29(5)
?x ? 3 ? 解这个方程组,得 ? z ? 2 把 x ? 3, z ? 2 代入(1) ,得 3 ? 2 y ? 2 ? 9
?x ? 3 ? ? y ? ?2 ?z ? 2 ?

∴ y ? ?2



是原方程组的解

x? y?z 例六、已知 2 x ? 3 y ? 4 z ? 0 , 3x ? 4 y ? 5z ? 0 ,求 x ? y ? z 的值。 ?2 x ? 3 y ? 4 z ? 0(1) ? 解:由题意,得 ?3x ? 4 y ? 5z ? 0(2) ? x ? ?31z ? 解这个方程组,得 ? y ? 22z x ? y ? z ? 31z ? 22z ? z ?8 2 ? ? ? 当 x ? ?31z , y ? 22z 时, x ? y ? z ? 31z ? 22z ? z ? 52 13

6

中小学 1 对 1 课外辅导专家

2 ∴ 所求代数式的值为 13 ? x ? y ? 3a (1) ? ? y ? z ? 5a(2) ? z ? x ? 4a(3) [例 6] 已知方程组 ? 的解使代数式 x ? 2 y ? 3z 的值等于 ? 10 ,求 a 的值。 解: (2)-(1) ,得 z ? x ? 2a (4) (3)+(4) ,得 2 z ? 6a, z ? 3a

把 z ? 3a 代入(2)和(3) ,得 y ? 2a, x ? a ?x ? a ? ? y ? 2a ? z ? 3a ∴ ? ,把 x ? a, y ? 2a, z ? 3a 代入 x ? 2 y ? 3z ,得 a ? 2 ? 2a ? 3 ? 3a ? ?10 5 5 a?? ? 3 ∴ ∴ 所求 a 的值为 3

?ax ? by ? 2 ?x ? 2 ? ? [例 7] 甲、乙两同学解方程组 ?cx ? 2 y ? 10 ,已知甲的正确解答是 ? y ? 4 , ?x ? 3 ? 乙由于看错了 c ,求出的解是 ? y ? 6.5 ,则求 a, b, c 的值。 ?x ? 2 ?2a ? 4b ? 2 ? ? 解:把 ? y ? 4 代入原方程组,得 ?2c ? 2 ? 4 ? 10
∴ c ?1

?x ? 3 ? 由 ? y ? 6.5 满足 ax ? by ? 2 ,得 3a ? 6.5b ? 2 和(1)组成方程组,得 ?2a ? 4b ? 2(1) ? ?3a ? 6.5b ? 2(2) ?a ? 5 ? 解得 ?b ? ?2
?a ? 5 ? ?b ? ?2 ?c ? 1 ?



∴ 所求 a, b, c 的值分别为 5,?2,1 在此需要说明的是,每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的, 需要进一步的观察,但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略,就 可以以不变应万变,就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。

四、三元一次方程组的实际应用 例一:甲地到乙地全程是 3.3km,一段上坡,一段平路,一段下坡。上坡

7

中小学 1 对 1 课外辅导专家

每小时行 3km,平路每小时行 4km,下坡每小时行 5km,那么,从甲地到乙 地要 51 分钟,乙地到甲地要 53.4 分。求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的 路程各是多少? 解:设从甲地到乙地上坡为 Xkm,平路为 Ykm,下坡为 Zkm,则 X+Y+Z=3.3 ① X/3 + Y/4 + Z/5 = 51/60 ② Z/3 + Y/4 + X/5 = 53.4/60 ③ 由②式得到 20X+15Y+12Z=51 ④ 由③式得到 20Z+15Y+12X=53.4 ⑤ 由⑤式-④式得到 Z-X=0.3,那么 Z=X+0.3 ⑥ 将⑥式带入①式,得到 X+Y+X+0.3=3.3,那么 Y=3-2X ⑦ 将⑥⑦式带入④式,得到 20X+15(3-2X)+12(X+0.3)=51,那么,X=1.2,所以 Y=0.6,Z=1.5 所以,从甲地到乙地,上坡 1.2 千米,平路 0.6 千米,下坡 1.5 千米。 练习 1.甲、乙、丙三数的和是 41,甲数的 2 倍比丙数的 3 倍大 3,甲、乙两数的比为
3:2。求这三个数。

8