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2013高中新课程数学(苏教版必修四)3.1.1 两角和与差的余弦 教案

3.1.1 两角和与差的余弦
一、课题:两角和与差的余弦 二、教学目标:1.掌握两点间的距离公式及其推导; 2.掌握两角和的余弦公式的推导; 3.能初步运用公式 C(? ? ? ) 来解决一些有关的简单的问题。 三、教学重点:两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导。 四、教学难点:两角和的余弦公式的推导。 五、教学过程: (一)复习: 1.数轴两点间的距离公式: MN ? x1 ? x2 . 2.点 P( x, y ) 是 ? 终边与单位圆的交点,则 sin ? ? y,cos ? ? x . (二)新课讲解: 1.两点间的距离公式及其推导 设P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 是 坐 标 平 面 内 的 任 意 两 点 , 从 点 P 1, P 2 分别作 x 轴的垂线

PM 1 1, P 2 M 2 ,与 x 轴交于点 M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0) ;再从点 P 1, P 2 分别作 y 轴的垂线 PN 1 1, P 2 N 2 ,与 y 轴交于点 N1 (0, y1 ), N 2 (0, y2 ) .直线 P 1 N1 与 P 2 M 2 相交于点 Q ,那么 PQ ? M 1M 2 ? x2 ? x1 , QP2 ? N1 N 2 ? y2 ? y1 . 1 y
2 ? QP2 ? x2 ? x1 ? y2 ? y1 由勾股定理,可得 PP 1 2 ? PQ 1 2 2
2 2

N2 M1

P2 M2

? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
∴P 1P 2 ?

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) .
2 2

O
P 1 N1

x
Q

2.两角和的余弦公式的推导 在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O , 并作角 ? , ? 与 ? ? , 使角 ? 的始边为 Ox , 交⊙ O 于 点P 3 ;角 ? ? 的始边为 1 ,终边交⊙ O 于点 P 2 ;角 ? 的始边为 OP 2 ,终边交⊙ O 于点 P

OP 1, P 2, P 3, P 4 的坐标分别是 P 1 ,终边交⊙ O 于点 P 1 (1,0) , P 2 (cos ? ,sin ? ) , 4 ,则点 P
P3 (cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) , P4 (cos(? ? ),sin(? ? )) ,
2 2 ? PP 1 3 ? P 2P 4 ,∴ [cos(? ? ? ) ? 1] ? sin (? ? ? )

P3 y
?

P2
?
??

? [cos(? ? ) ? cos ? ]2 ? [sin(? ? ) ? sin ? ]2
得: 2 ? 2cos(? ? ? ) ? 2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ∴ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? .( C(? ? ? ) )

O

P1 x

P4

3.两角差的余弦公式 在公式 C(? ? ? ) 中用 ? ? 代替 ? ,就得到 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ( C? ? ? ) 说明:公式 C(? ? ? ) 对于任意的 ? , ? 都成立。 4.例题分析: 例:求值(1) cos 75 ; (2) cos195 ; (3) cos54 cos36 ? sin 54 sin 36 .
? ? ? ? ? ? ?

解:(1) cos 75 ? cos30 cos 45 ? sin 30 sin 45
? ? ?

?

3 2 1 2 6? 2 ; ? ? ? ? 2 2 2 2 4 ? ? ? ? (2) cos195 ? cos(180 ? 15 ) ? ? cos15
=

? ?(cos 45? cos 30? ? sin 45? sin 30? )

6? 2 ; 4 ? ? ? ? ? ? (3) cos54 cos36 ? sin 54 sin 36 ? cos(54 ? 36 ) ? 0 . 六、课堂练习: P38 2(3)(4). ??
七、小结:掌握 公式 C(? ? ? ) 的推导,能熟练运用 C(? ? ? ) 公式,注意 C(? ? ? ) 公式的逆用。 八、作业:习题 4.6 第三题(3)(4)(6)(8)


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