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江苏省泰州市海陵区2015-2016学年高二上学期期末考试数学理试卷


2015~2016 学年度第一学期期末考试 高二数学试题(理科)
一. 填空 . 1. 命题“ ?x ? R, x2 ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为 2. 若复数 z ? ?1 ? 5i ,则 z ? . . . .

3. 顶点在原点,焦点为 F (1, 0) 的抛物线方程为 4. 命题“若 x ? 2 ,则 x ? 2 ”的否命题为 5. 已知函数 f ( x) ? x sin x ,则 f '( ) ?

?

2

6. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 2 x ,则 a ? a2 4

.

7. “ x ? 2 ”是“ x ? 1 ”的 条件.(从“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”和 “既不充分又不必要”中,选出适当的一种填空)

x2 2 ? y 2 ? 1上一点 P 到右焦点的距离为 8. 椭圆 ,则点 P 到左准线的距离为 2 2
9. 已知数列

.

1 1 1 1 1 , , , , 计算得 S1 ? , ?, ? 的前 n 项和为 Sn , 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 3 (2n ? 1)(2n ? 1)
.

S2 ?

2 3 , S 3 ? ,照此规律, Sn ? 5 7 1 2

10.已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ?1 ,对于区间 [ , 2] 上的任意 x1 , x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的最大 值是 .

11. 已知动抛物线 的准线 方程为 y ? ?1 ,且 经过点 (0, 0) ,则动抛物线焦 点的轨迹方程 是 .

12.已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x) ? a( x ? 1)( x ? a) ,若 f ( x ) 在 x ? a 处取得极大值,则实数

a 的取值范围是

.

x2 y 2 ? 1(0 ? m ? 4) 的左顶点为 A , 13.如图, 已知椭圆 C : ? 点 N 的坐标为 (1, 0) .若椭圆 C 4 m
上存在点 M (点 M 异于点 A ),使得点 A 关于点 M 对称的点 P 满足 PO ? 2PN ,则实 数 m 的最大值为 .

P

M

A

O

N

14. 若函数 y ? e x 与函数 y ? 为 . 二.解答题

1 2 x ? mx ?1 的图像有三个不同交点,则实数 m 的取值范围 2

15.设 z1 ? a ? 2i(a ? R) , z2 ? 3 ? 4i . (1)若 z1 ? z2 为纯虚数,求 a 的值; (2)若

z1 在复平面内对应的点位于第二象限,求 a 取值范围. z2

16.设命题 p : 方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线; 命题 q : 方程 y 2 ? (k 2 ? 2k ) x 表示焦点在 x 3 ? k k ?1

轴的正半轴上的抛物线. (1)若命题 p 为真,求实数 k 的取值范围; (2)若命题 (?p) ? q 是真命题,求实数 k 的取值范围. 17.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 4an ? 2an?1 ? 9an an?1 ? 1 (n ? N *) . (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)由此猜想 ?an ? 的通项公式,并用数学归纳法给出证明. 18.已知 A , B 两地相距 100km .按交通法规规定: A , B 两地之间的公路上车速要求不低于 60km / h 且 不 高 于 1 0 0 k m / h . 假 设 汽 车 以 x k m/ h 速 度 行 驶 时 , 每 小 时 耗 油 量 为 (4?

1 1 x 3 ? x )升,汽油的价格是 6 元 / 升,司机每小时的工资是 24 元. 128000 80

(1)若汽车从 A 地以 64km / h 的速度匀速行驶到 B 地,需耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从 A 地到 B 地的总费用最低? 19.如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 、 F2 ,过 F2 作垂直于 x 轴的直线交椭圆于 a 2 b2

P 点 ( 点 P 在 x 轴 上 方 ) , 连 结 PF1 并 延 长 交 椭 圆 于 另 一 点 Q . 设

3 6 4 5 , PF2 ? 5 ,求椭圆的方程; (1)若 PF1 ? 5 5
(2)求椭圆的离心率的范围; (3)当离心率最大时,过点 P 作直线 l 交椭圆于点 R ,设直线 PQ 的斜率为 k1 ,直线 RF1 的 斜率为 k2 ,若 k1 ?

???? ???? 7 ). PF1 ? ? FQ 1 (2 ? ? ?

3 k 2 ,求直线 l 的斜率 k . 2

P R

O Q

20.已知 f ( x) ? 2ln x ? (1)当 k ?

1 2 x ? kx . 3

2 时,求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? 1 处的切线方程; 3 4 2 (2)讨论 g ( x) ? f ( x) ? x 的单调性; 3
(3)若函数 h( x) ? xf ( x) 在定义域内单调递减, k ? Z ,求 k 的最大值.

2015~2016 学年度第一学期期末考试

高二数学试题(理科)参考答案
1. ?x ? R, x2 ? 2x ? 4 ? 0 5. 1 6.1 2. 26 8. 3 3. y 2 ? 4 x 9. 4.若 | x |≥ 2 ,则 x ≥ 2 10. 5 13. 7.必要不充分

n 2n ? 1

11. (剔除点 (0, ?1) ) (不剔除的不扣分) x2 ? y 2 ? 1

1) 12. (0 ,

1 2

14. (1, ??)

15.解: (1) z1 ? z2 ? (a ? 2i) ? (3 ? 4i) ? (3a ? 8) ? (6 ? 4a)i 为纯虚数,???4 分

?3a ? 8 ? 0 8 ,解得 a ? ? . 3 ?6 ? 4a ? 0 z a ? 2i (a ? 2i) ? (3 ? 4i) 3a ? 8 6 ? 4a (2) 1 ? ? ? ? i z2 3 ? 4i 25 25 25
所以 ?

????????7 分 ???????10 分

? 3a ? 8 ?0 ? z1 ? 25 因为 在复平面内对应的点位于第二象限,所以 ? , ???12 分 6 ? 4 a z2 ? ?0 ? ? 25 3 8 3 8 解得 ? ? a ? .所以 a 的取值范围是 ( ? , ) . ????????14 分 2 3 2 3 16.解: (1)因为 p 为真,所以 (3 ? k )(k ? 1) ? 0 , ??????3 分 所以实数 k 的取值范围为 (??,1) U (3, ??) . ??????6 分 (2)当 ? p 是真命题时,实数 k 的取值范围是 [1,3] , ??????8 分 2 当 q 是真命题时, k ? 2k ? 0 , 解得 k ? 2 或 k ? 0 , ??????11 分 因为命题 (?p) ? q 是真命题,所以 ? p 是真命题且 q 也是真命题, ?1 ≤ k ≤ 3 所以 ? ,所以实数 k 的取值范围是 (2,3] . ????14 分 ?k ? 2或k < 0 4an ? 1 17.解 :(1) 由 4an +2an?1 ? 9an an?1 ? 1 ,得 an ?1 ? ,??????2 分 9an ? 2 3 5 7 因为 a1 ? 1 ,所以求得 a2 ? , a3 ? , a4 ? . ??????5 分 7 13 19 2n ? 1 (2)猜想 an ? ,并用数学归纳法证明如下: ?????7 分 6n ? 5 ①由(1)知,当 n ? 1 时,猜想成立. ???????9 分 2 k ? 1 ? ②假设当 n ? k ( k ? N )时猜想成立,即 ak ? ,那么当 n ? k ? 1 时,有 6k ? 5 2k ? 1 4? ?1 4ak ? 1 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1 6k ? 5 ak ?1 ? ? ? ? 9ak ? 2 9 ? 2k ? 1 ? 2 6k ? 1 6(k ? 1) ? 5 6k ? 5 这就是说,当 n ? k ? 1 时,猜想也成立. ???14 分 ? 综合①和②可知,对任何 n ? N ,猜想成立. ????15 分 3 64 64 100 41 ? )? ? ? 8.2 ???5 分 18.解: (1)当 x ? 64 时,总耗油量为: (4 ? 128000 80 64 5 答:当汽车从 A 地以 64 km/h 的速度匀速行驶到 B 地,共耗油 8.2 升. ????6 分

(2)设总费用为 y 元,则

1 1 100 4800 3x 2 15 3 y =[24+(4 ? x ? x) ? 6] ? = ? ? , 60 ≤ x ≤ 100 ??10 分 128000 80 x x 640 2 4800 3x 3( x3 ? 803 ) ? 则 y' ? ? 2 ? ,由 y ' ? 0 得 x ? 80 , ???????12 分 x 320 320 x 2 当 x ? (60,80) 时, y ' ? 0 ,当 x ? (80,100) 时, y ' ? 0 ,所以当 x ? 80 时, y 取得极小值,
且是最小值. ????????14 分 答:当汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶时,从 A 地到 B 地的总费用最低. ????15 分
2 2 19. 解: (1) 所以 a ? 5 .又因为 (2c)2 ? PF 所以 c ? 1 . 2a ? PF1 ? PF2 ? 2 5 , 1 ? PF 2 ? 4,

x2 y 2 ? ? 1. ????????3 分 5 4 b2 (2)由题意,点 P 的坐标为 (c , ) , ????????4 分 a uuu r uuu r b2 ( ? 2 c , ? ) ? ? ( x1 ? c, y1 ) , 又F ,设 ,因为 ,所以 Q ( ? c , 0) ( x , y ) PF ? ? FQ 1 1 1 1 1 a 2c ? (x1 ? c) , ? x1 ? ? ? c , ??2c ? ? ? ? ? 所以 ? b 2 所以 ? ????????6 分 2 ? ? y1 , ?y ? ? b ?? , ? a 1 ? a? ? 2 2c b2 2 2 ( ? 1)2 c 2 ( ? ? c) ( ? ) a2 ? c2 ? a? ? 1 ,即 ? 代入椭圆方程,得 ? ? 1, ? a2 a 2? 2 a2 b2 2 1 ? e2 ? 2 ?1 ? ?1 4 2 2 2 ? 1 即 ( ? 1) e ? ,解得 .????8 分 e ? ? ? 1? 2 2 ? ? ? ? 4? ? 3 ? ? 3 ? ?3
所以 b ? 2 .所以椭圆方程为

1 7 1 5 1 2 ,所以 ≤ e ≤ ,即椭圆的离心率的范围为 [ , ] .??10 分 5 3 4 5 2 1 (3)解法一: 由(2)知,椭圆的离心率的最大值为 ,即 a ? 2c , b2 ? 3c2 2 b2 ?0 3 1 b2 3c 2 3 ? ? 2 ? ,因为 k1 ? k 2 ,所以 k 2 ? . ?????13 分 所以 k1 ? a 2 2 c ? (?c) 2ac 4c 4 1 所以直线 RF1 的方程为 y ? ( x ? c ) ,与椭圆方程联立,解得 2 3 5 ?3 5 ? 1 ?3 5 ? 3 3 5 ?1 3 5 ? 3 .??16 分 R( c, c ) 或 R( c, c) .所以 k ? ? 10 4 8 4 8 1 解法二:由(2)知,椭圆的离心率的最大值为 ,即 a ? 2c , b2 ? 3c2 2 b2 ?0 3 1 b2 3c 2 3 ? ? 2 ? ,因为 k1 ? k 2 ,所以 k 2 ? .??????13 分 所以 k1 ? a 2 2 c ? (?c) 2ac 4c 4 3 3 因为 P 的坐标为 (c , c) ,所以直线 PR 的方程为 y ? c ? k ( x ? c ) , 2 2
因为 2 ≤ ? ≤

即 y ? kx ? kc ?

3 c ,代入椭圆方程 3x2 ? 4 y 2 ? 12c2 ,整理得: 2 (4k 2 ? 3) x2 ? 4(3kc ? 2k 2c) x ? 4k 2c2 ?12kc2 ? 3c2 ? 0 .

4k 2 c ? 12kc ? 3c , 4k 2 ? 3 3 5 ?12k 2c ? 6kc 3 y ?0 1 ? c .由 k2 ? R 所以 yR ? . ???16 分 ? ,解得 k ? ? 2 4k ? 3 2 10 xR ? c 2 1 2 2 2 2 2 20.解: (1) f ( x) ? 2 ln x ? x ? x ,则 f '( x) ? ? x ? , ???1 分 3 3 x 3 3 1 1 ) ( ? , 则 f '(1) ? 2 , 又 f1 所以函数 y ? f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? 2( x ? 1) 3 3 5 即 y ? 2x ? . ???3 分 3 (2) g ( x) ? 2ln x ? x 2 ? kx ,定义域为 (0, ??) , ???4 分
因为方程有一根为 c ,所以另一个根 xR ?

2 2 x 2 ? kx ? 2 ? 2x ? k ? , x x 当 k ≥ 0 时,显然 g '( x) ? 0 恒成立,此时 g ( x) 在 (0, ??) 单调增; ???6 分 2 2 当 k ? 0 时, 2 x ? kx ? 2 ? 0 (*) , ? ? k ? 16 , ①当 ?4 ≤ k ? 0 时, g '( x) ≥ 0 恒成立,此时 g ( x) 在 (0, ??) 单调增; ???7 分 ②当 k ? ?4 时,方程(*)有两个不等的实数根
则 g '( x) ?

?k ? k 2 ? 16 ?k ? k 2 ? 16 x1 ? ? x2 ? ?0 4 4 所以 g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调增,在 ( x2 , x1 ) 上单调减,在 ( x1 , +?) 上单调增, 综上,当 k ≥ ?4 时, g ( x) 在 (0, ??) 单调增; 当 k ? ?4 时, g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调增,在 ( x2 , x1 ) 上单调减,在 ( x1 , +?) 上单调增.
???9 分

1 3 x ? kx 2 ,定义域为 (0, ??) ,则 h '( x) ? 2(ln x ? 1) ? x2 ? 2kx . 3 因为 h( x) 在定义域内单调减,所以 h '( x) ≤ 0 在 (0, ??) 恒成立,
(3) h( x ) ? 2 x ln x ?

x 2 ? 2 ln x ? 2 x 2 ? 2ln x ? 2 )min 在 (0, ??) 恒成立,即 2k ≤ ( ???11 分 x x x 2 ? 2ln x ? 2 2ln x 2 2 ? 2ln x 2 x 2 ? 2ln x ? x? ? ,则 s '( x) ? 1 ? ? 2 ? 令 s ( x) ? , x x x x2 x x2 2 2 记 t ( x) ? x ? 2ln x ,则 t '( x) ? 2 x ? ? 0( x ? 0) ,所以 t ( x) 在 (0, ??) 单调增,且 x 2 1 2 1 t ( ) ? ? 2ln ? ? ln 2 ? 0 , k (1) ? 1 ? 0 , 2 2 2 2 2 x0 ? 2ln x0 2 2 所以存在唯一的 x0 ? ( ,???13 分 ,1) , s '( x0 ) ? ? 0 ,有 2ln x0 ? ? x0 2 2 x0 此时,当 x ? (0, x0 ) 时, s '( x) ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时, s '( x) ? 0 ,
即 2k ≤ 所以,当 x ? x0 时, s( x) 取得极小值,且是最小值.

所以 2k ≤ s( x)min ? 又 x0 ? (

2 2 x0 ? 2ln x0 ? 2 2 x0 ?2 1 ,即 k ≤ x0 ? , ? x0 x0 x0

???15 分

2 1 2 ,1) ,所以 x0 ? ? (? ,0) , 2 x0 2 因为 k ? Z ,则 k 的最大值为 ?1 .

???16 分


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