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高考不等式选讲专题复习(经典)

不等式选讲 高考导航 考试要求 重难点击 本章重点:不 1.理解绝对值的几何意义,并能用它证明绝对值三角不等 等式的基本性质; 式等较简单的不等式.①|a+b|≤|a|+|b|; 基本不等式及其应 ②|a-b|≤|a-c|+|c-b|. 用、绝对值型不等 2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式, 式 的 解 法 及 其 应 如|ax+b|≤c 或|ax+b|≥c,以及|x-a|+|x-b|≥c 或|x-a|+|x 用;用比较法、分 -b|≤c 类型. 析法、综合法证明 3.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、 不等式;柯西不等 反证法和放缩法. 式、排序不等式及 4.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用它证明一些 其应用. 简单不等式及其他问题. 5.了解柯西不等式的几种不同形式:二维形式(a2+b2)(c2 + d2)≥(ac + bd)2 、 向 量 形 式 |α|·|β|≥|α·β| 、 一 般 形 式 n n n ? ai2 ? ? bi2 ≥ (? aibi )2 ,理解它们的几何意义.掌握柯西不等 本章难点:三 个正数的算术—— 几何平均不等式及 其应用;绝对值不 i?1 i?1 i?1 式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用. 等式的解法;用反 6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用. 证法、放缩法证明 7.会用数学归纳法证明贝努利不等式: 不等式;运用柯西 (1? x)n>1? nx(x>?1, x ? 0, n为大于1的正整数). 不等式和排序不等 式证明不等式. 命题展望 本专题在数学必修 5 “不等式”的基础上,进 一步学习一些重要的不等 式,如绝对值不等式、柯 西不等式、排序不等式以 及它们的证明,同时了解 证明不等式的一些基本方 法,如比较法、综合法、 分析法、反证法、放缩法、 数学归纳法等,会用绝对 值不等式、平均值不等式、 柯西不等式、排序不等式 等解决一些简单问题.高 考中,只考查上述知识和 方法,不对恒等变形的难 度和一些技巧作过高的要 求. 知识网络 §1 绝对值型不等式 典例精析 题型一 解绝对值不等式 【例 1】设函数 f(x)=|x-1|+|x-2|. (1)解不等式 f(x)>3; (2)若 f(x)>a 对 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 第 1 页 共 10 页 ?3 ? 2x, x<1, 【解析】(1)因为 f(x)=|x-1|+|x-2|= ??1,1 ≤x ≤2, ??2x - 3, x>2. 所以当 x<1 时,3-2x>3,解得 x<0; 当 1≤x≤2 时,f(x)>3 无解; 当 x>2 时,2x-3>3,解得 x>3. 所以不等式 f(x)>3 的解集为(-∞,0)∪(3,+∞). ?3 ? 2x, x<1, (2)因为 f(x)= ??1,1 ≤x ≤2, 所以 f(x)min=1. ??2x - 3, x>2. 因为 f(x)>a 恒成立, 所以 a<1,即实数 a 的取值范围是(-∞,1). 【变式训练 1】设函数 f(x)= |x+1|+|x-2|+a. (1)当 a=-5 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的定义域为 R,试求 a 的取值范围. 【解析】(1)由题设知|x+1|+|x-2|-5≥0,如图,在同一坐标系中作 出 函数 y=|x+1|+|x-2|和 y=5 的图象,知定义域为(-∞,-2]∪[3,+∞). (2)由题设知,当 x∈R 时,恒有|x+1|+|x-2|+a≥0,即|x+1|+|x-2|≥-a,又由(1)知|x+1|+|x-2|≥3, 所以-a≤3,即 a≥-3. 题型二 解绝对值三角不等式 【例 2】已知函数 f(x)=|x-1|+|x-2|,若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)对 a≠0,a、b∈R 恒成立,求实数 x 的范围. |a+b|+|a-b| 【解析】由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)且 a≠0 得 |a| ≥f(x). |a+b|+|a-b| |a+b+a-b| 又因为 |a| ≥ |a| =2,则有 2≥f(x). 解不等式|x-1|+|x-2|≤2 得12≤x≤52. 【变式训练 2】(2010 深圳)若不等式|x+1|+|x-3|≥a+4a对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 是 . 【解析】(-∞,0)∪{2}. 题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例 3】(2009 辽宁)设函数 f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若 a=-1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果?x∈R,f(x)≥2,求 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a=-1 时,f(x)=|x-1|+|x+1|. 由 f(x)≥3 得|x-1|+|x+1|≥3, ①当 x≤-1 时,不等式化为 1-x-1-x≥3,即-2x≥3, 不等式组 ?x ? ? f ≤ ?1, (x) ≥3 的解集为(-∞,-32]; ②当-1<x≤1 时,不等式化为 1-x+x+1≥3,不可能成立, 不等式组 ?? ? ? f 1<x ≤1, (x) ≥3 的解集为?; ③当 x>1 时,不等式化为 x-1+x+1≥3,即 2x≥3, 第 2 页 共 10 页 不等式组 ?x>1, ? ? f ( x) ≥3 的解集为[32,+∞). 综上得 f(x)≥3 的解集为(-∞,-32]∪[32,+∞). (2)若 a=1,f(x)=2|x-1|不满足题设条件. ?? 2x ? a ?1, x ≤a, 若 a<1,f(x)= ??1 ? a, a<x<1, ??2x - (a ?1), x ≥1, f(x)的最小值为 1-a.由题意有 1-a≥2

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