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7-4 直线、平面平行的判定及其性质


[A 组 基础演练· 能力提升] 一、选择题 1.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 解析:对于 A,同时平行于平面 α 的两直线可能相交、平行、异面,因 此 A 不正确; 对于 B,垂直于同一平面的两个平面未必平行,它们也可能是相交的两个平面,因此 B 不 正确;对于 C,平行于同一直线的两个平面未必平行,它们也可能是相交的两个平面,因此 C 不正确;对于 D,由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知,D 正确.故选 D. 答案:D 2.(2014 年郑州模拟)下列命题正确的是( ) )

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
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解析:对于 A,两条直线与同一个平面所成角相等,根据线面角定义,可知两条直线可 能平行,可能相交,也可能异面,故 A 错;对于 B,若三点在同一条直线上,则两平面可 能相交,故 B 错;对于 C,设 α∩β=l,m∥α,m∥β,利用线面平行的性质定理可以证明 m ∥l,故 C 正确;对于 D,两 平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可能相交,也可能平 行,故 D 错,所以选 C. 答案:C 3.已知两条直线 a、b 与两个平面 α、β,b⊥α,则下列命题中正确的是( ①若 a∥α,则 a⊥b; ②若 a⊥b,则 a∥α; ③若 b⊥β,则 α∥β; ④若 α⊥β,则 b∥β. A. ①③ C.①④ B.②④ D.②③ )

解析:对于①:a∥α,在 α 内存在 a′∥a,又 b⊥α,∴b⊥a′,∴b⊥a 正确;对于 ②:a 还可以在 α 内;对于③:b⊥β,b⊥α,∴α∥β,正确;对于④:b?β 或 b∥β,故错

误. 答案:A 4.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的 中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( )

A.①③ C.①④

B.②③ D.②④

解析:对于图形①,平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行,即可得到 AB∥平面 MNP; 对于图形④,AB∥PN,即可得到 AB∥平面 MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无 法证明线面平行,故选 C. 答案:C 5.(2014 年济南模拟)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( A.存在一条直线 a,a∥α,a∥ β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 解析:若 α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,a∥α,a∥β,故排除 A.若 α∩β=l,a?α,a∥l, 则 a∥β,故排除 B.若 α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,则 a∥β,b∥α,故排除 C.故选 D. 答案:D 6.a、b、c 为三条不重合的直线,α、β、γ 为三个不重合的平面,现给出六个命题 ①
? ? ? a∥c? a∥γ? α∥c? ??a∥b ② ??a∥b ③ ??α∥β b∥c? b∥γ? β∥c? ? ? ?

)



α∥γ? ?

??α∥β ? β∥γ?



α∥c? a∥γ? ? ? ??a∥α ⑥ ??α∥a ? ? a∥c? α∥γ? ) B.①④⑤

其中正确的命题是( A.①②③

C.①④

D.①③④

解析:①④正确,②错在 a、b 可能相交或异面.③错与 α 与 β 可能 相交.⑤⑥错在 a 可能在 α 内. 答案:C 二、填空题 7.设互不相同的直线 l,m,n 和平面 α,β,γ,给出下列三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α,m?β,则 α∥β; ②若 α∥β,l?α,m?β,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数为________. 解析:①中 α 与 β 可能相交,故①错;②中 l 与 m 可能异面,故②错;由线面平行的性 质定理可知 l∥m,l∥n,所以 m∥n,故③正确. 答案:1
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8.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱 A1B1, a B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ, 3 Q 在 CD 上,则 PQ=________.X
k B 1 . c o m

解析:如图所示,连接 AC,

易知 MN∥平面 ABCD, ∴MN∥PQ. 又∵MN∥AC,∴PQ∥AC. a 又∵AP= , 3 ∴ PD DQ PQ 2 2 2 2 = = = ,∴PQ= AC= a. AD CD AC 3 3 3

2 2 答案: a 3 9.在四面体 ABCD 中,M,N 分别为△ACD 和△BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN 平行的是________. 解析:如图,取 CD 的中点 E,则

AE 过 M,且 AM=2ME, BE 过 N,且 BN=2NE. 则 AB∥MN, ∴MN∥面 ABC 和面 ABD. 答案:面 ABC 和面 ABD 三、解答题 10. (2014 年塘沽模拟)如图, 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形, AB∥CD, 且 AB=2CD, 在棱 AB 上是否存在一点 F, 使平面 C1CF∥平面 ADD1A1?若存在, 求点 F 的位置;若不存在,请说明理由.

解析:存在这样的点 F,使平面 C1CF∥平面 ADD1A1,此时点 F 为 AB 的中点, 证明如下:∵AB∥CD,AB=2CD, ∴AF 綊 CD,∴四边形 AFCD 是平行四边形. ∴AD∥CF. 又 AD?平面 ADD1A1,CF?平面 ADD1A1, ∴CF∥平面 ADD1A1.
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又 CC1∥DD1,CC1?平面 ADD1A1,DD1?平面 ADD1A1,∴CC1∥平面 ADD1A1. 又 CC1、CF?平面 C1CF,CC1∩CF=C, ∴平面 C1CF∥平面 ADD1A1. 11.(2013 年高考江苏卷)如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC, AS=AB.过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.

求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA. 证明:(1)因为 AS=AB,AF⊥SB,垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点.又因为 E 是 SA 的 中点,所以 EF∥AB. 因为 EF?平面 ABC,AB?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. 同理 EG∥平面 ABC.又 EF∩EG=E, 所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB,又 AF?平面 SAB,AF⊥SB, 所以 AF⊥平面 SBC, 因为 BC?平面 SBC,所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB?平面 SAB,所以 BC⊥平面 SAB. 因为 SA?平面 SAB,所以 BC⊥SA. 12.(能力提升)如图,四棱锥 E-ABCD 中,EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD.

(1)求证:AB⊥ED; EF (2)线段 EA 上是否存在点 F,使 DF∥平面 BCE?若存在,求出 ;若不存在,说明理 EA 由. 解析:(1)证明:取 AB 中点 O,连接 EO,DO. 因为 EA=EB,所以 EO⊥AB.
w W w .x K b 1 .c o M

因为 AB∥CD,AB=2CD,所以 BO∥CD,BO=CD. 又因为 AB⊥BC,所以四边形 OBCD 为矩形, 所以 AB⊥DO. 因为 EO∩DO=O,所以 AB⊥平面 EOD. 所以 AB⊥ED.

EF 1 (2)存在满足条件的点 F, = ,即 F 为 EA 中点时,有 DF∥平面 BCE. EA 2

证明如下:取 EB 中点 G,连接 CG ,FG. 1 因为 F 为 EA 中点,所以 FG∥AB,FG= AB. 2 1 因为 AB∥CD,CD= AB,所以 FG∥CD, 2 FG=CD. 所以四边形 CDFG 是平行四边形,所以 DF∥CG. 因为 DF?平面 BCE,CG?平面 BCE, 所以 DF∥平面 BCE. [B 组 因材施教· 备选练习] 1.已知直线 a,b,平面 α,则以下三个命题: ①若 a∥b,b?α,则 a∥α; ②若 a∥b,a∥α,则 b∥α; ③若 a∥α,b∥α,则 a∥b. 其中真命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

解析:对于命题①,若 a∥b,b?α,则应有 a∥α 或 a?α,所以①不正确; 对于命题②,若 a∥b,a∥α,则应有 b∥α 或 b?α,因此②也不正确; 对于命题③,若 a∥α,b∥α,则应有 a∥b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面,因此③是假命 题. 综上,在空间中,以上三个命题都是假命题. 答案:A 2.如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G,已知△A′D E 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是( )

①动点 A′在平面 ABC 上的射影在 线段 AF 上; ②BC∥平面 A′DE; ③三棱锥 A′-FED 的体积有最大值. A.① C.①②③ B.①② D.②③

解析:①中由已知可得平面 A′FG⊥平面 ABC,∴点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上.
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②BC∥DE,∴BC∥平面 A′DE. ③当平面 A′DE⊥平面 ABC 时,三棱锥 A′-FED 的体积达到最大. 答案:C 3.(2014 年北京海滨一模)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D 1 中,点 E,F 分 别是棱 BC,CC1 的中点,P 是侧面 BCC1B1 内一点,若 A1P∥平面 AEF,则线段 A1P 长度的 取值范围是( )

A.?1,

?

5? 2?

B.?

3 2 5? ? 4 ,2?

C.?

5 ? ? 2 , 2?

D.[ 2, 3]

解析:取 B1C1 的中点 M,BB1 的中点 N,连接 A1M,A1N,MN,可以证明平面 A1MN ∥平面 AEF ,所以点 P 位于线段 MN 上,因为 A1M = A1N = 1?2 5 1+? ?2? = 2 , MN =

?1?2+?1?2= 2,所以当点 P 位于 M,N 处时,A1P 最大,当 P 位于 MN 的中点 O 时, ?2? ?2? 2
A1P 最小,此时 A1O=

? 5?2-? 2?2=3 2, 所以 A O≤A P≤A M,即3 2≤A P≤ 5, 1 1 1 1 4 4 2 ?2? ?4?
3 2 5? ,选 B. , 2? ? 4

所以线段 A1P 长度的取值范围是? 答案:B


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